人教版初中数学七年级下册：第八章 二元一次方程组

人教版初中数学七年级下册第八章《二元一次方程组》知识点梳理，包含①二元一次方程组②消元—解二元一次方程组（消元思想、代入法和加减法）③实际问题与二元一次方程组④三元一次方程组的解法

二元一次方程组

• 二元一次方程组
  • 二元一次方程
    • 定义
      • 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程
      • • 在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数
        • “未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1
        • 二元一次方程的左边和右边都必须是整式
  • 二元一次方程的解
    • 定义
      • 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解
      • • 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来
          • 如
    • 解的个数
      • 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解
      • 即有无数多对数适合这个二元一次方程
    • 解的检验
      • 检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程（即方程左右两边相等），就说这组数是该二元一次方程的解。否则，不是该二元一次方程的解。
  • 二元一次方程组
    • 定义
      • 由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组
        • 方程组中有且只有两个未知数
          • 两个方程不必同时含有两个未知数
        • 方程组中含有未知数的项的次数为 1
        • 方程组中每个方程均为整式方程
      • 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起
    • 一般形式
      • 
        • 其中， ，， 不同时为零
    • 方程组的解
      • 二元一次方程组中几个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解
        • 必须是一个数对，而不能是一个数
        • 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程
        • 方程可以超过两个
        • 有的方程可以只有一元
      • 二元一次方程组解的个数情况
        • 
          • 
          • 
          • 
      • 解的检验
        • 应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解
        • 而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解
    • 注意事项
      • 书写方程组的解时，必须用“｛”把各个未知数的值连接在一起
        • “｛”表示同时满足，相当于“且”的意思
        • 一般写成的形式
• 消元—解二元一次方程组
  • 消元思想
    • 两个未知数，消去一个，把二元一次方程组转化为一元一次方程。这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想
    • • 基本思路
        • 未知数由多变少
      • 基本方法
        • 把二元一次方程组转化为一元一次方程
  • 方法
    • 代入消元法
      • 定义
        • 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程
      • 解题步骤
        • 1.变
          • 选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay+b的形式
        • 2.代
          • 将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程
          • 变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程
        • 3.解
          • 解这个一元一次方程，求出x或y的值
        • 4.回代
          • 将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b，求出另一个未知数
        • 5.联
          • 把求得的两个未知数的值用花括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解
    • 加减消元法
      • 定义
        • 把方程组的两个方程（或先做适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程
      • 步骤
        • 1.化
          • 将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式
        • 2.加减
          • 根据其系数特点将变形后的两个方程相加或者相减，得到一元一次方程
        • 3.解
          • 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值
        • 4.回代
          • 把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值
        • 5.联
          • 把求得的两个未知数的值用“｛”联立起来，这样就得到二元一次方程组的解
        • 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单
• 实际问题与二元一次方程组
  • 常见等量关系
    • 行程问题
      • 公式
        • 路程=速度*时间
        • 
        • 
      • 类型
        • 相遇
          • 快者走的路程+慢者走的路程=两者相距的路程
        • 追击
          • 快者走的路程-慢者走的路程=原来的距离
        • 环形跑道
          • 同一地点，同时出发时
            • 同向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长
            • 背向而行时
              • 首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长
        • 水流行船
          • 顺水（风）
            • 顺水（风）速=静水（风）速+水流（风）速
          • 逆水（风）
            • 逆水（风）速=静水（风）速-水流（风）速
    • 工程问题
      • 公式
        • 甲乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
        • 甲的工作量+乙的工作量=总的工作量
        • 工作量=工作效率×工作时间
      • • 甲的工作时间与乙的工作时间的和不等于总的工作时间
        • 工作总量通常用1来表示
    • 配套问题
      • 基本等量关系
        • 加工总量成比例.
      • 根据已知条件分清数量关系，尤其是倍数关系
    • 利润问题问题
      • 利润＝售价－成本(进价)
      • 
      • 利润＝成本（进价）×利润率
      • 标价＝成本(进价)×(1＋利润率)
      • 实际售价＝标价×打折率
    • 和差倍分问题
      • 增长量＝原有量×增长率
      • 较大量＝较小量＋多余量
      • 总量＝倍数×倍量
    • 其他问题
      • 数字问题
      • 方案问题
      • 古代问题
      • 开放性问题
  • 基本思想
    • 把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系
    • 一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足
      • ①方程两边表示的是同类量
      • ②同类量的单位要统一
      • ③方程两边的数要相等
  • 解题步骤
    • 1.审：弄清题意，找出等量关系
    • 2.设：根据问题设出两个未知数
      • 直接
      • 间接
    • 3.列：根据等量关系，列出方程组
      • 分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组
    • 4.解：解这个方程组，得出未知数的值
    • 5.验：检验所求是否符合题意
    • 6.答：写出答案，包括单位
  • 
• 三元一次方程组
  • 三元一次方程
    • 定义
      • 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
      • • ①是整式方程
        • ②含有三个未知数
        • ③含未知数的项的最高次数是1次
    • 一般形式
      • ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零
  • 三元一次方程组
    • 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组
      • 
      • 
    • • 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可
  • 解题思路
    • 三元→二元→一元
  • 方法
    • ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
    • ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
    • ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程
    • ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值
    • ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起