初中数学：第九章 不等式与不等式组

人教版初中数学七年级下学期第九章《不等式与不等式组》知识点梳理，包含①不等式相关概念及性质②一元一次不等式相关概念、解法及实际应用③不等式组相关概念、解集及实际应用

不等式与不等式组

• 不等式
  • 相关概念
    • 不等式
      • 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式
      • • 不等号：＞，＜，≠，≥，≤
          • 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式
        • 不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大
        • 对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
      • 五种不等号的读法及其意义
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    • 列不等式
      • 用不等号将两个具有不等关系的量表示出来
    • 不等式的解
      • 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
    • 不等式的解集
      • 不等式的解集
        • 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集
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      • 不等式解集的表示方法
        • 用最简的不等式表示
          • 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示
          • 如：不等式x-2≤6的解集为x≤8
        • 用数轴表示
          • 大于向右画，小于向左画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点
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          • 注意两个“确定”
            • 一是确定“边界点”
              • 若边界点是不等式的解，则用实心圆点
              • 若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈
            • 二是确定方向
              • 对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画
              • 对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画
    • 解不等式
      • 求不等式解集的过程叫做解不等式
  • 不等式的基本性质
    • ①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变
      • 如果a＞b，那么a±c＞b±c
    • ②不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
      • 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc或者
    • ③不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
      • 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc或者
    • • ①若a±c＞b±c，那么a＞b
      • ②若ac＞bc（c＞0），那么a＞b
      • ③若ac＞bc（c＜0），那么a＜b
      • 若只知ac＞bc,而不知c的正负号，那么无法判断a和b的大小
• 一元一次不等式
  • 一元一次不等式
    • 定义
      • 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0的不等式
    • • 不等号两边都是整式(单项式或多项式)
      • 不等式中只含有一个未知数
      • 未知数的次数都是1
  • 一元一次不等式的解法
    • 与一元一次方程的解法类似，根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x＜a （或x＞a ）的形式
    • 步骤
      • 1.去分母
      • 2.去括号
      • 3.移项
      • 4.合并同类项
      • 5.系数化为1
      • 注意：如果乘的因数或除数是负数，则不等号的方向要改变
      • • 在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用
        • 解不等式应注意
          • ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项
          • ②移项时不要忘记变号
          • ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号
          • ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变
  • 不等式ax＞b或ax＜b的解集
  • 列一元一次不等式解决实际问题
    • 常见等量关系
      • 1.行程问题
        • 路程＝速度×时间
      • 2.工程问题
        • 工作量＝工作效率×工作时间
        • 各部分劳动量之和＝总量
      • 3.利润问题
        • 商品利润＝商品售价－商品进价
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      • 4.和差倍分问题
        • 增长量＝原有量×增长率
      • 5.银行存贷款问题
        • 本息和＝本金+利息
        • 利息＝本金×利率
      • 6.数字问题
        • 多位数的表示方法
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    • 步骤
      • 1.审题
        • 分清已知量、未知量及其关系
      • 2.设未知数
      • 3.找不等关系
        • 要抓住题中的关键字眼
          • 如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等
      • 4.列不等式
      • 5.解不等式
      • 5.写出答案，并检验是否符合题意
    • • 列不等式的关键在于确定不等关系
      • 求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来
      • 构建不等关系解应用题的流程如图所示
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    • 注意
      • 求出解集后注意解要满足题目要求和实际意义
• 一元一次不等式组
  • 一元一次不等式组
    • 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组
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    • • 这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上
      • 这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数
  • 一元一次不等式组的解集
    • 一元一次不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集
    • • 找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分
      • 当一元一次不等式组中的各不等式的解集没有公共部分时，即无解
  • 一元一次不等式组的解法
    • 求不等式组解集的过程叫作解不等式组
    • 步骤
      • 1.分别求出不等式组中各个不等式的解集
      • 2.将各个不等式的解集在数轴上表示出来
      • 3.在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集
  • 一元一次不等式组解集的基本类型（a＞b）
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  • 列一元一次不等式组解实际问题
    • 步骤
      • 1.审题
      • 2.设未知数
      • 3.找不等关系
      • 4.列不等式组
      • 5.解不等式组
      • 6.检验
      • 7.答