人教版初中数学七年级下册：第六章 实数

人教版初中数学七年级下册第六章《实数》知识点梳理，包含：平方根、立方根、实数几个内容。数学想要考高分，就要知道公式的意义和使用方式，基础扎实才能轻松应对不断变化的题目。

实数

• 平方根
  • 算术平方根
    • 定义
      • 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根
    • • 规定0的算术平方根还是0
      • a的算术平方根记作
        • 读作“a的算术平方根”
        • a叫做被开方数
      • 当式子有意义时， 一定表示一个非负数
        • 即 ≥0， a≥0.
  • 平方根
    • 定义
      • 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根
      • • 如果x²=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根
        • 在x²=a中，因为x²≥0，所以a≥0
        • 检验x是不是a的平方根，只需验证x²是不是等于a就可以了
        • 一个数的平方根平方后仍然等于这个数
    • 开平方
      • 求一个数平方根的运算叫做开平方
        • 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确
        • 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根
        • 开平方时，被开方数a必须是非负数
        • 开平方是求一个非负数的平方根
        • 平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程
    • 表示方法
      • 正数a的正的平方根记作“√a”，负的平方根记作“-√a”
      • 正数a的两个平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”
      • a（a≥0）
        • 正的平方根记作
          • 读作“正根号a”
          • • 2：根指数
              • 根指数2常省略不写，所以
              • 其他根指数不能省略
            • ：根号
            • a:被开方数
        • 负的平方根记作
          • 读作“负根号a”
        • 两个平方根记作
          • 读作“正负根号a”
    • 特征
      • 正数有两个平方根，它们互为相反数
        • 正的那个叫它的算术平方根
      • 0的平方根是0
        • 平方根等于本身的只有0
      • 一个负数没有平方根
    • 性质
  • 平方根与算术平方根的区别与联系
    • 区别
      • 定义不同
      • 结果不同
        • ±√a和√a
    • 联系
      • 平方根包含算术平方根
      • 被开方数都是非负数
      • 0的平方根和算术平方根均为0
  • 平方根小数点移动规律
    • 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
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  • 平方根的估算
    • 夹逼法
      • ①先确定估算数的整数范围
        • 如2²＜7小于3²，所以2＜√7＜3
      • ②以较小整数为基础，开始逐步加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位
        • 或以较大整数为基础，开始逐步减0.1
      • ③如此继续下去
• 立方根
  • 立方根
    • 立方根
      • 一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根或三次方根
    • 开立方
      • 求一个数的立方根的运算叫做开立方
        • 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
        • 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根
        • 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值
        • 开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号
  • 立方根的表示方法
    • 一个数的立方根，符号表示为
      • 读作“三次根号a”，
      • a是被开方数
      • 3是根指数
        • 不能省略，若省略表示平方
  • 特征
    • 所有的数都有一个立方根，且与原数同号
      • 正数的立方根是正数
      • 负数的立方根是负数
      • 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数
      • 0的立方根是0
      • 立方根等于本身的有0和±1
  • 性质
  • 立方根小数点移动规律
    • 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
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  • 平方根与立方根
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• 实数
  • 有理数与无理数
    • 有理数
      • 有限小数和无限循环小数都称为有理数
        • 能写成分数形式
    • 无理数
      • 概念
        • 无限不循环小数叫做无理数
      • 特征
        • ①无理数的小数部分位数无限
        • ②无理数的小数部分不循环
        • ③不能表示成分数的形式
      • 常见的无理数
        • ①所有开方开不尽的方根
          • 如
        • ②化简后含有π的数
        • ③无限不循环小数
          • 如0.320 030 250...
  • 实数
    • 实数及其分类
      • 实数的定义
        • 有理数和无理数统称为实数
      • 实数的分类
        • （按定义分）实数
          • 有理数
            • 正有理数
            • 0
            • 负有理数
            • 有限小数或无限循环小数
          • 无理数
            • 正无理数
            • 负无理数
            • 无限不循环小数
        • （按正负分）实数
          • 正（实）数
            • 正有理数
            • 正无理数
          • 0
          • 负（实）数
            • 负有理数
            • 负无理数
    • 实数与数轴上的点一一对应
      • 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
      • 数轴上的每一个点都表示一个实数
  • 实数的运算
    • • 相反数
        • 数a的相反数-a，这里a表示任意一个实数
      • 绝对值
        • 一个正实数的绝对值是它本身
        • 一个负实数的绝对值是它的相反数
        • 0的绝对值是0
        • • lal=
            • a（a＞0）
            • 0（a=0）
            • -a（a＜0）
      • 倒数
        • 实数a（a≠0）的倒数为
        • • ①若a,b互为倒数，则ab=1
          • ②若ab=1，则a,b互为倒数
          • ③注意：0是没有倒数的
    • 实数的运算
      • 有理数的运算法则及运算性质等同样适用
    • 实数运算的顺序
      • 先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，右括号的先算括号里面的
  • 实数的三个非负性及性质
    • 常见非负数形式
      • lal≥0
      • a²≥0
      • √a≥0
        • a≥0
    • 性质
      • 若两个非负数的和为0，那么这两个数一定都为0
      • 非负数有最小值，0
      • 有限个非负数之和仍然为非负数
  • 实数的大小比较
    • 1.类别比较法
      • 正数＞0＞负数
      • 两个负数比较大小，绝对值大的反而小
    • 2.数轴比较法
      • 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的数大
    • 3.作差比较法
      • 对于任意实数a,b
        • 若a-b＞0→a＞b
        • 若a-b=0→a=b
        • 若a-b＜0→a＜b
    • 4.平方比较法
      • • a²＞b（b＞0）
          • 主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较
    • 5.作商比较法
      • 设a,b为正数
        • • 则a＞b
        • • 则a=b
        • • 则a＜b