人教版初中数学八年级下册：第十七章 勾股定理

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》知识点梳理，包含1.勾股定理（勾股定理及应用） 2.勾股定理的逆定理（①逆定理②逆定理的应用③互逆命题）想要顺利拿下数学，备考复习期间的知识点需要重点把握。后续内容正在缓慢更新中。

勾股定理

• 勾股定理
  • 描述
    • 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
    • a²+b²=c²（a,b为两直角边，c为斜边）
      • 把“形”转为“数”
  • 应用条件
    • 勾股定理只适用于直角三角形，所以常做辅助线——高，构造直角三角形
  • 应用
    • ①已知直角三角形的两边，求第三边
    • ②表示长度为无理数的线段
    • ③在数轴上做出表示无理数的点
  • • 勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系
    • 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解
      • 将数与形有机地结合起来
    • 勾股定理的一些变式
      • a²=c²-b²
      • b²=c²-a²
      • c²=（a+b）²-2ab
• 勾股定理的逆定理
  • 逆定理
    • 如果三角形的三边长分别为a,b,c,且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形
      • 把“数”转为“形”
    • • 勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形
  • 勾股数
    • 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
      • 勾股数组
        • 常见勾股数组
          • ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
        • 毕达哥拉斯
          • 2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1（n是正整数）
        • 柏拉图
          • 2n，n²-1，n²+1（n＞1，且n为正整数）
        • 若a,b,c是一组勾股数，则ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数
  • 应用
    • 判定一个三角形是否是直角三角形
    • 判定步骤
      • 1.确定最长边（如c）
      • 2.验证c²与a²+b²的关系
        • 若c²=a²+b²，则△ABC是∠C=90°的直角三角形
        • 若c²≠a²+b²，则△ABC不是直角三角形
          • 当c²＞a²+b²
            • 三角形为钝角三角形
          • 当c²＜a²+b²
            • 三角形为锐角三角形
  • 互逆命题
    • 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题
    • • 如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题
      • 每个命题都有逆命题，说逆命题时只需将题设和结论调换即可
      • 确定一个命题的逆命题
        • 先正确分析命题的条件和结论，再交换它们的位置，成为新命题的结论和条件
        • 分清题设和结论，并注意语言的运用
    • 原命题与逆命题的真假不存在依赖关系
      • 原命题正确，逆命题未必正确
      • 原命题不正确，其逆命题也不一定错误
    • • 真命题
        • 正确的命题我们称为真命题
      • 假命题
        • 错误的命题我们称它为假命题
• 勾股定理的简单应用
  • 基本思路
    • 构造直角三角形
  • 解决一般问题的步骤
    • 1.由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题
    • 2.将待求的量看成直角三角形的一条边
    • 3.利用勾股定理求解
  • 利用勾股定理解决最短路线问题
    • 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法
      • 将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离
    • 2.求几何体表面上最短路线问题
      • 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线
  • 利用勾股定理解决航海类问题
    • 先确定方位角，然后画出正确的几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形