导图社区 小学数学1-6年级知识归纳框架图谱
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小学数学1-6年级知识归纳框架图谱
以北师大版为基础，系统性的归纳总结整个小学1-6年级的知识，涵盖所有核心内容，非常方便大家学习。适用于考试复习、预习，提高学习效率。赶紧收藏一起学习吧！
编辑于2024-12-31 16:14:30
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小学数学
代数
代数，是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支
数的基础知识
数的分类：整数、分数、小数等；
整数
什么是整数
正整数
0
自然数
负整数
计数和计数单位
计数含义
表示物体的个数
计数单位
个、十、百、千、万... ...
计数符号
正、负
十进制计数法
数位
计数单位按一定的顺序排列起来，它们所占的位置就叫数位
整数的读写
从高位到低位
正整数的读写
整数的改写以及近似数
准确数
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把125430000改写成以万做单位的数是125430万; 改写成 以亿做单位的数12.543亿。
近似数
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。例如:1302490015省略亿后面的尾数是13亿。四舍五入法:求近似数, 看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍去局尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数的大小比较
位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。以此类推。
整数分类
奇数
1、3、5、7...
偶数
0、2、4、6...
质数
质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数
2、3、5、7...
合数
合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数
4、6、8、9...
因数和倍数
2、3、5的倍数的特征
最大公因数
最小公倍数
最小数
最小的偶数：0
最小的奇数：1
最小的质数：2
最小的合数：4
小数
小数的基本性质
整数部分、小数部分、小数点部分
小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份.........得到的十分之几、百分之几、千分之几.......可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。
小数的读写
小数的分类
纯小数
整数部分为0的小数，如：0.25
带小数
整数部分不是零的小数，如：3.25
有限小数
小数部分的数位是有限的小数，如：41.7
无限小数
小数部分的数位是无限的小数，如：4.33...
无限不循环小数
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限，如:𝝅
循环小数
一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。例如:0.0333 .....一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节
纯循环小数
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。 例如:3.111...
混循环小数
循环节不是从小数部分第一位开始的，如：3.12222...
小数数位的变化
小数大小比较
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大........
分数
分数的意义
把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫叫做分数。 在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位"1"平均分成 多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。 把单位"1"平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位
分数的读写
分数大小比较
(1)分母相同的分数,分子大的那个分数就大。
(2)分子相同的分数,分母小的那个分数就大。
(3)分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分类数,再比较大小。
(4)如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大;如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个个带分数就大。
分数分类
真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数Q。假分数大于或等于1。
带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分分数。
分数与除法的关系
(1)除法是一种运算,有运算符号;分数是一种数。因此,一般应叙述为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子。
(2)由于分数和除法有密切的关系,根据除法中"商不变"的性质可得出分数的基本性质。
(3)分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫做分数的基本性质,它是约分和通分的依据。
约分和通分
(1)分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
(2)把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
(3)约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
(4)把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(5)通分的方法:先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
倒数
(1)乘积是1的两个数互为倒数。
(2)求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置
(3)1的倒数是1,0没有倒数
百分数
百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做放百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
百分数、分数、小数互化
折扣、税率、利率
数的表示
数的运算、因式分解等
数的运算
整数混合运算
加法
意义
把两个或几个数合并成一个数的运算
计算方法
多位数加法通常用竖式计算，相同数位对齐，从低位加起，那一位数上的相加满十，就向前一位进一
运算定律
加法交换律
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a
加法结合律
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
减法
意义
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算
计算方法
多位数减法通常用竖式计算，相同数位对齐，从低位减起，那一位上的数不够减，就从前一位退一作十，和本位上的数合并再减
运算定律
从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变。即a-b-c=a-(b+c)
一个数连续减去两个数,可以先减去第二个减数,再减去第一个减数,即a-b-c=a-c-b
变化规律
被减数、减数与差的变化规律
乘法
意义
求几个相同加数和的简便运算
因数 × 因数 = 积
积 ÷ 因数 = 另一个因数
0和任何数相乘都等于0
1和任何数相乘都等于任何数
计算方法
九九乘法表
多位数乘多位数常用竖式计算，先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数女位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
运算定律
乘法交换律
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a
乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数放相乘,再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c
两个数的差与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数放相乘,再把两个积相减,即(a-b)×c=a×c-b×c
变化规律
因数与积的变化规律
一个因数不变,另一个因数扩大或缩小若干倍,积也扩大 (或缩小)相同的倍数。
一个因数扩大A倍,另一个因数扩大B倍,积扩大AB倍
一个因数缩小A倍,另一个因数缩小B倍,积缩小AB倍。
除法
意义
已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算
被除数 ÷ 除数 = 商
被除数 ÷ 商 = 除数
商 × 除数 = 被除数
被除数 = 商 × 除数 + 余数
0不能作除数
计算方法
除法表
展转相除法，先从被除数的高位除起,除数是几个位数,就看被除数的前几位:如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1,要补"0"占位。每次除得的余数要小于除数。
运算定律
从一个数里连续除以几个数，等于从这个数里除以所有除数的积，商不变。即a ÷ b ÷ c=a÷(b×c)
个数连续除以两个数,可以先除以第二除数,再除以第一个除数，即a ÷ b ÷ c=a ÷ c ÷ b
变化规律
被除数、除数与商的变化规律
商不变性质:在除法中,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。m≠0 a÷b=(a×m)÷(b×m)=(a÷m)÷(b÷m)
被除数扩大(或缩小)A倍,除数不变,商也扩大(或缩小)A倍
被除数不变,除数扩大(或缩小)A倍,商反而缩小(或扩大)A倍
乘方
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如3×3=3²
混合运算
运算顺序
没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
有括号的混合运算:先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
第一级运算:加法和减法叫做第一级运算。
第二级运算:乘法和除法叫做第二级运算。
小数混合运算
加法
减法
乘法
计算方法
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点:如果位数不够,就用"0"补足。
除法
计算方法
除数是整数的计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添"0;再继续除。
除数是小数的计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,被除数的小数点也向右移动几L位(位数不够的补"0),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
混合运算
运算顺序
同整数
分数混合运算
加法
计算方法
同分母分数加减法计算方法
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变
异分母分数加减法计算方法
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算
带分数加减法的计算方法
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来
减法
乘法
计算方法
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母
能约分的先约分
除法
计算方法
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数
混合运算
运算顺序
同整数
计算方法
口算
估算
笔算
计算工具
电子计算器
算盘（珠算）
常见的量
量的常识
量与计量
量是事物的一种属性,像长度、面积、体积、时间、质量等都是量。量都是可以被计量的,量的多少必须用标准的量作单位计量后,才能知道它的大小,才能比较。比如:一件物品的长度和质量,长度只有用米或其它长度计量单位测量后,才能知道它的的长短;质量只有用千克或其它质量单位测量后才能知道它的轻重
计量。在测量物体的大小、长短、轻重、运动的快慢等时,要把测定的量与一个作为标准的量相比较,这就是计量。计量在历史上称为度量衡,其含义是关于长度、容积、质量、速度等的测量
计量单位
主单位和辅助单位
高级单位和低级单位
高级单位 × 进率 = 低级单位
低级单位 ÷ 进率 = 高级单位
长度计量单位,如:厘米、分米、米、千米;面积计量单位,如:平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米;体积计量单位,如:立方厘米、立方分米、立方米。质量计量单位,如:克、千克、吨。时间计量单位,如:年、月、日、时、分、秒。人民币计量单位,如:元、角、分。
进率与换算
质量单位换算
1吨=1000千克
1千克=1000克
1000克=1公斤
1公斤=2斤
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1分=10厘
时间单位换算
1年=12月
1日=24时
1时=60分
1分=60秒
长度单位换算
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公倾
1公倾=1000平方米
1平方米=100平方分米
体积单位换算
I立方米=1000立方分米
I立方分米=1000立方厘米
I立方分米=1升
I立方厘米=l毫升
名数
单名数：只含有一个单位名称，如8.7吨
复名数：含有两个或两个以上单位名称，如1元5角
名数的改写
化法
聚法
时间
时间与时间单位
年、月、日、时、分、秒
认识钟表
认识钟面
认识整时、半时
认识几时几分几秒
平年、闰年
平年365天，闰年366天（平年2月有28天，闰年2月有29天）
非整百年份中，能被4整除的为闰年，不能被4整除的为平年，如：2004年是闰年，2004年是平年
整百年份，能被400整除的是闰年，否则为平年，如：2000年是闰年，1900年是平年
时刻与时间
“时刻”是指针钟面上所表示的时刻，是指正在那个时候
“时间”是指从某一个时刻(日期)到另一个时刻(日期)的间隔
普通计法与24时计法
普通计法
时针走到几时,就说几时,然后在前面加上凌晨,早上,上午,中午,下午,晚上
24时计法
去掉时间限制词如凌晨、早晨、上午、下午、晚上等直接到了下午1时的 +12
普通计法与24时计法转换
上午的时间不变，下午和晚上的时间加上或减去12小时
质量
质量的意义
物体所含物质的多少
质量的单位
人民币
货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品
货币的出现是人类文明进步的标志
中国是最早出现货币的国家
人民币
人民币是中国的法定货币，由中国人民银行发行
从制作材料上分成纸币和硬币
人民币基本单位是元
速度
速度的意义
表示物体运动的快慢和方向
速度的单位
千米/时、米/秒
温度
温度的意义
指物体的冷热程度
温度的单位
摄氏度
在一个标准大气压下，纯水的冰点温度为0摄氏度，沸点为100摄氏度，0到100之间均分成100份，每份表示1度摄氏度
华氏度
在一个标准大气压下，纯水的冰点温度为32华氏度，沸点为212华氏度，32到212之间均分成180份，每份表示1华氏度
1摄氏度=33.8华氏度
华氏度 = 32°F+ 摄氏度 × 1.8
数的确定
方程：一元一次方程，一元二次方程等
比和比例
比
比的意义
两个数相除，叫这两个数的比
比的读写与各部分名称
比用":"或"一"来表示，5比4 可表示为5:4或5/4，读作:五比四
前项、后项、比值、比号
比与除法、分数的关系
比与除法比较,比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于商,比号相当于除号
比与分数相比,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数值,比号相当于分数线
比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变
等同与分数的约分和通分,上下同乘或同除以
化简比与求比值
求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一 个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数日比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
比的应用
按比例分配：计算溶液的浓度、物质的比例
按比例分配:在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比比例分配。
比例，如：黄金比例:0.618:1
比例尺
图上距离:实际距离=比例尺
比例
意义
表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内功烦
性质
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积
解比例
根据比例的基本性质,如果已经知道比例中的任何三项,就可求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例
正比例与反比例
正比例
成正比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。用字母表示:y/x=k(一定)
两种量成正比例的条件
两种量是相关联的量：即一种量的变化会影响另一种量的变化。
一种量变化，另一种量也随着变化：当一种量发生变化时，另一种量也会按照一定的比例关系发生变化。
这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定：这意味着两种量的变化是成比例的，即它们的比值保持不变。
正比例关系的图像
反比例
成反比例的量
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示:xy=k(一定)
两种量成反比例的条件
反比例关系的图像
式与方程
定义
式：指的是代数式，由数字和字母组成。代数式可以分为单项式和多项式。单项式是数字与字母的积，单独的一个数字或一个字母也是单项式。例如，3ab是一个单项式，而3ab+5cd是一个多项式
方程：是含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如，x+2=5是一个方程，而5=2+3则不是方程，因为它不含未知数
用字母表示数
意义与作用
可以简明的表达数量关系，也可以表示运算结果
为了书写方便，人们常用字段来表示计量单位，如：米：m，厘米:cm
写法
乘号可以记着∙，或者直接省略
“1”与任务字母相乘，“1”都省略
不同的量用不同的字母表示
除数一般写成分母
一个字母只能表示一种数量吗?
一种数量用什么字母表示,一般是约定俗成的,但也不是绝对的。一个字母可以表示不同的数量,但在同一个数量关系中,一个字母只能表示一种数量。
在做题时,把字母想像成可具体参与运算的数字,原来全是数字时该怎样列式,现在就怎样列式。例如:客车上原有乘客38人,到站后,下去α人,上来b人,当用字母表示时,列式为38-a+b。
方程
必须满足的条件
必须是等式
必须含有未知数
方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程
方程的性质
等式性质：等式两边同时加、减、乘、除一个数或式子，结果仍相等
解方程
定义
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程
等式的性质
等式的左右两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立
等式的左右两边同时乘或者除以同一个不为0的数,等式仍然成立
步骤
移项（等式的性质）：将方程中的某些项从一边移到另一边
合并同类项（四则运算）：将方程中的同类项合并
系数化为1，将方程中未知数的系数化为1
解法
代入消元法：将方程组中的一个方程的未知数用另一个方程的未知数的代数式表示,代入另一个方程,消去一个未知数
加减消元法:将方程组中的两个方程相加或相减,消去一个未知数
十字相乘法:对于形如ax+by=c的方程,可以通过十字相乘法求解
方程的检验
把所求出的未知数的值代入原方程,看看方程的左边、右边得数是否相等。若得数相等,则所求的值是原方程的解,否则,就不是原方程的解
解决问题
解决问题
解决问题的特征
重视过程;不仅仅依附一个知识点
具体问题具体分析;问题的开放性和多元性
解决问题的策略
画图的策略;列表的策略;尝试的策略
模拟操作的策略;逆推的策略;简化的策略
推理的策略
解决问题的基本过程
分析问题;设计求解计划;对所得结果做检验和回顾
应用题的有关知识
定义及结构
定义、已知条件及问题
分类
简单应用题（或一步计算应用题）
只含有一种基本数量关系,或用一步运算解答的应用题,通常叫做简单应用题
加法应用题
a.求总数
b.求比一个数多几的数(求大数)
减法应用题
a.求剩余
b.求两个数相差多少（求相差）
c.求比一个数少几的数(求小数)
乘法应用题
a求相同加数和(求几个几是多少)
b求一个数的几倍是多少(求多倍数)
除法应用题
a.把一个数平均分成若干份,求一份是多少(求每份数)
b.求一个数里包含几个另一个数的应用题(求份数)
c.求一个数是另一个数的的几倍的应用题(求倍数)
d.已知一个数的几倍是多少,求这个数(求一倍数)
复合应用题
一般复合应用题
有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫复合应用题
典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题
平均数问题
解题关键:在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数:已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少。数量关系式:数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数:已知两个以上若干份的平均数,求总平均数是多少。数量关系式(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
差额平均数:是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分,求的是标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式:(大数一小数)÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应得数 最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例:一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析:求汽车的平均速度同样可以利用公式。总路径÷总时间=平均速度。此题可以把甲地到到乙地的路程设为"1"则 汽车行驶的总路程为2"，从甲地到乙地的速度为100,所用的的时间为1/100,汽车从乙地到甲地速度为60千米,所用的时间是1/60,汽车共行的时间为1/100+1/60=2/75,汽车的平均速度为2÷2/75=75(千米)
每份数、份数与总数
归一问题
已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题。
数量关系式: 单一量×份数=总数量(正归一) 总数量÷单一量=份数(反归一)
解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。
例：一个织布工人,在七月份织布4774米,照这样计算,织布6930米,需要多少天?
分析:必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。6930÷(4774÷31)=45(天)
归总问题
归总问题:是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。
特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化化,不过变化的规律相反,和反比例算法彼此相通。
数量关系式: 单位数量x单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量
例：修一条水渠,原计划每天修800米,6天修完。实际4天修完,每天修了多少米?
分析:因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做"归总问题",不同之处是"归一"先求出单一量,再求总量,归总问题,是先求出总量,再求单一量。800×6÷4=1200(米)
植树问题
这类应用题是以"植树"为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。
解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。
解题规律: 沿线段植树 棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷(棵树-1) 总路程=株距×(棵树-1) 沿周长植树 棵树=总路程÷株距 株距=总路程÷棵树 总路程=株距×棵树
例：沿公路一旁埋电线杆301根,每相邻的两根的间距是50米。后来全部改装,只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。
分析:本题是沿线段埋电线杆,要把电线杆的根数减掉一。列式为50×(301-1)÷(201-1)=75(米)
盈亏问题
是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余和不足的数量,求物品数量和参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。
解题关键:盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。
解题规律:总差额÷每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况: 第一次多余,第二次不足,总差额=多余+不足 第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足 第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余 第一次不足,第二次也不足,总差额=大不足-小不足
例：参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组10人,则多25支,如果小组有12人,色笔多余5支。求每人分得几支?共有多少支色铅笔?
分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人,比10人多2人,而色笔多出了(25-5)=20(支),2个人多出20支,一个人分得10支。 列式为(25-5)÷(12-10)=10(支) 共有：10 x 12+5=125(支)
和差问题
已知大小两个数的和,以及他们的差,求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题
解题关键:是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和),然后再求另一个数。
解题规律: (和+差)÷2=大数 大数−差=小数 (和−差)÷2=小数 和−小数=大数
例：某加工厂甲班和乙班共有工人94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少12人,求原来甲班和乙班各有多少人?
分析:从乙班调46人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成2个乙班,即94−12,由此得到现在的乙班是(94−12)÷2=41(人),乙班在调出46人之前应该为41+46=87(人),甲班为94-87=7(人)
大数、小数与相差数，相差数是一个普通数或倍数
和倍问题
已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题
解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是"谁"的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。
解题规律:和+倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例：汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
分析:大货车比小货车的5倍还多7辆,这7辆也在总数115辆为,为了使总数与(5+1)倍对应,总车辆数应(115-7)辆。 列式为(115-7)÷(5+1)=18(辆),18×5+7=97(辆)
差倍问题
已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题，叫做差倍问题
解题规律:两个数的差÷(倍数-1)=标准数 标准数×倍数=另一个数。
例：甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?各剪去多少米?
分析:两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的3倍,实比乙绳多(3-1)倍,以乙绳的长度为标准数。列式(63-29)÷(3-1 )=17(米) 甲绳剩下的长度：17×3=51(米) 乙绳剩下的长度：17×1=17(米) 剪去的长度：29-17=12(米)
年龄问题
将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为年龄问题
解题关键:年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题题是一种"差不变"的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。
例父亲48岁,儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍?
分析:父子的年龄差为48-21=27(岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍,可知父子年龄的倍数差是(4-1)倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年 龄是儿子的4倍。列式为:21-(48-21)÷(4-1)=12(年)
行程问题
关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律: 同时同地相背而行：路程=速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 同时同向而行(速度慢的在前,快的在后)：追及时间=追及路程÷速度差 同时同地同向而行:相差路程=速度差×时间。
例：甲在乙的后面28千米,两人同时同向而行,甲每小时行16千米,乙每小时行9千米,甲几小时追上乙?
分析：已知甲在乙的后面28千米(追击路程),28千米里包含着几个(16-9)千米,也就是追击所需要的时间。列式28÷(16-9)=4(小时)
甲乙两辆旅游车同时从ab两地相向出发，甲车每小时行58千米，乙车每小时行49千米，两车在离中点54千米处相遇，求ab两地的路程？
分析：两车在离中点54千米处相遇，也就是说甲车比乙车多行了54×2=108千米，根据甲车比乙车每小时多行58-49=9千米，可以求出相遇时两车行了108÷9=12小时，再根据路程=时间×速度解答。 解：54×2÷（58-49）×（58+49）=108÷9×107=12×107=1284（千米）答：两地的路程是1284千米。
路程、速度、时间
流水问题
一般是研究船在"流水"中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型,它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速:船在静水中航行的速度。 水速:水流动的速度。 顺水速度:船顺流航行的速度。 逆水速度:船逆流航行的速度。 顺速=船速+水速 逆速=船速-水速
解题关键:因为顺流速度是船速与水速的和,逆流速度是船速与水速的差,所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。
解题规律:船行速度=(顺水速度+逆流速度) 流水速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 路程=顺流速度x顺流航行所需时间 路程=逆流速度x逆流航行所需时间
例：一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行28千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。逆水比顺水多行2小时,已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米?
分析:此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间,或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度,因此不难算出逆水的速度,但顺水所用的的时间,逆水所用的时间不知道,只知道顺水比逆水少用2小时,抓住这一点,就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间,这样就能算出甲乙两地的路程。 列式：船速=顺速-水速=28-4=24(千米) 逆流速度=船速-水速=24-4=20(千米) 逆流2小时的路径=20×2=40(千米) 顺流时间(追及时间)=追及路径÷速度差=40÷(4×2)=5(小时) 甲乙两地路径=28×5=140(千米)
工程问题
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作效率×时间=工作总量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”
解题关键:把工作总量看作单位"1",工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。 工作总量=工作时间x工作效率
例：一件工程，甲队单独做要15天完成，乙队单独做要10天完成。两队合做要多少天完成？
分析：将工程总量看作“1”，甲的工效:1÷15=1/15，乙的工效：1÷10=1/10，合做需要时间：1÷(1/15+1/10)=6(天)
例：一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？
解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天） 答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）
解三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）
例：一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：共做了6天后， 原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的（倍） 甲做6天相当于乙做（天）， 如果乙独做，所需时间是 6+4+40=50天。 如果甲独做，所需时间是6×(1+3/2)+40×3/2=75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
工作总量、工作时间、工作效率
还原问题
已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
解题关键:要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律:从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算算推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。
例：某小学三年级四个班共有学生 168人,如果四班调3人到三班,三班调6人到二班,二班调6人到一班,一班调2人到四班,则四个班的人数相等等,四个班原有学生多少人?
分析:当四个班人数相等时,应为168÷4,以四班为例,它调给三班3人,又从一班调入2人,所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。 四班原有人数列式为168÷4-2+3=43(人) 一班原有人数列式为168÷4-6+2=38(人) 三班原有人数列式为168÷4-3+6=45(人) 二班原有人数列式为168÷4-6+6=42(人)
逆向思维
鸡免问题
已知"鸡兔"的总头数和总腿数。求"鸡"和和"兔"各多少只的一类应用题。通常称为"鸡兔问题"又称鸡兔同笼问题
解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全是一种动物(如全是"鸡"或全是"兔"),然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。
解题规律: 如果假设全是鸡,可以有下面的式子: (总腿数-鸡腿数x总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2 如果假设全是兔子,可以有下面的式子: 鸡的只数=(4x总头数-总腿数)÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
例鸡兔同笼共50个头,170条腿。问鸡兔各有多少只?
兔子只数=(170-2×50)÷2=35(只) 鸡的只数=50-35=15
牛吃草问题
排水问题
数量关系
基本的数量关系
部分量与总量;大数、小数与相差数
每份数、份数与总数;倍数
常见的数量关系
总价=单价x数量
路程=速度x时间
工作总量=工作时间x工作效率
总产量=单产量x数量
常见的术语
同样多;多、少;增加、增加了、增加到
减少、减少了、减少到;扩大、扩大了、扩大到
1.减少：从原有的数里去掉一部分，叫作减少。例如，去年种大白菜140公顷，今年减少20公顷，今年种大白菜120公顷。又如：在建筑工地上，原计划安排30人运土，后来减少6人，由24人运土。
2.减少了：比原有的数减少了的部分。例如，第一车间制造一种机器零件，上个月出废品7件，这个月出废品4件，减少了3件。又如，学校锅炉房上个月烧煤1100千克，这个月烧煤950千克，减少了150千克。
3.减少到：从原有的数里减少一部分之后，所得的结果。也就是说，原有的数减去减少的数，得出减少到的数。即：原有的数-减少的数=减少到的数
缩小、缩小了、缩小到
思路与方法
简单应用题
a、审题理解题意:了解应用题的内容,知道应用题的条件和问题。读题时,不丢字不添字，边读边思考,弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题,帮助理解题意。
b、选择算法和列式计算:这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么,要求什么着手,逐步根据所给的条件和问题,联系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单位名称。
C、检验:就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确,是否符合题意。如果发现错误,马上改正。
复合应用题
综合法
先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。
分析法
先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。
一般方法
弄清题意,分清已知条件和问题，分析题中的数量关系,把应用题反映的实际问题抽象为数学问题，列出算式或方程,进行计算或解方程，检验并得到结果
简单应用题
整数、小数的复合应用题
1.某市出租车的收费标准是:3千米以内收费9元,3千米以以外每千米收费2.4元,另外每次加收燃油附加费2元。小强从家坐出租车去书城共付了25.4元,他家到书城大约多少千米?
总理程费=总费用-燃油附加费=25.4-2=23.4(元) 由于总理程费超过了初始3千米的收费9元，所以理程超过3千米。超过部份的费用=23.4-9=14.4(元) 超过部份理程=超过部份的费用÷每千米费用=14.4÷2.4=6（千米） 家到书城距离=3+6=9（千米）
分数、百分数应用题
1．修一段路，第一天修了全长的1/4，第二天修了180m，两天正好修了全长的40%。这条路全长多少米？
40%-1/4=3/20 180÷3/20=1200（米） 答：这条路全长1200米。
2. 红旗村要挖一条水渠，第一天挖了全长的20%，第二天挖了全长的1/8，还剩324米没挖，这条水渠有多少米？
324÷（1-20%-1/8）＝480（米） 答：这条水渠有480米。
3. 实验小学上学期书法兴趣小组，女生人数占37.5%，本学期男生人数没变，女生增加了4人，这时女生人数占总人数的4/9。本学期书法兴趣小组一共有多少人？
上学期女生人数是男生人数的： 37.5%÷(1﹣37.5%)＝37.5%÷62.5%=3/5 本学期女生人数是男生人数的：4/9÷（1-4/9）=4/5 女生人数：4÷(4/5-3/5)＝20（人） 本学期书法兴趣小组总人数：20÷（1-4/9）＝36（人） 答：本学期书法兴趣小组一共有36人。
4、一本文艺书,小明第一天看了全书的1/3,第二天看了余下的3/5,还剩下48页,这本书共有多少页?
从"剩下48页"入手倒着往前推,它占余下的1-3/5=2/5。 第一天看后还剩下48÷2/5=120页, 这120页占全书的1-1/3=2/3, 这本书共有120÷2/3=180页。 答:这本书共有180页。
列方程解应用题
意义
用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
步骤
列方程解答应用题的步骤 1弄清题意,确定未知数并用×表示; 2找出题中的数量之间的相等关系; 3列方程,解方程; 4检查或验算,写出答案。
方法
综合法
先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。
分析法
先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。
比和比例应用题
例：建筑工人用水泥、沙子、石子按2：3：5配制成96吨的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？
例：甲、乙、丙三个数的平均数是84，甲、乙、丙三个数的比是3：4：5，甲、乙、丙三个数各是多少？
甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙。已知甲、乙的速度比是3：2，湖的周长是600米，求丙的速度
解析：甲乙两人的速度和600÷（5/4+15/4））=120 甲的速度120÷（1+2/3）=72 乙的速度120-72=48 甲和丙的速度和600÷（5/4+15/4+5/4）=96 丙的速度96-72=24
甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的'钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问： (1)甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ (2)这台电视机售价多少钱？
探索规律
算式中的规律
在数学算式中探索规律,一般情况下, 出现三次或三次以上才能称其为规律
探索规律的方法
一个数乘以11、101的规律
一个数乘11的规律:可采用"两头一拉,中间相加"的方法
一个数乘101的规律:可采用"两两一位,隔位一加"的方法
一个两位数乘101的规律:还可以将这个两位数连续写两遍,组成一个四位数
一个数乘5、15、25、125的规律
一个非0自然数乘10,100,1000,... 可以在这个自然数(非0)末尾添0
一个数乘5,转化为一个数乘10,然后再除以2
一个数乘15,可分解为先用这个数乘10,再加上这个数乘5
一个数乘25,因为25x4=100,所以可将一个数乘25转化为先乘100,再除以4
一个数乘125,因为125x8=1000,所以可将一个数乘125转化为先乘1000,再除以8;或先除以8,再乘1000
式的规律
探索"式"的规律中,一般要按照对应思想,从组成"式"的要素中去探索
数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律时,一方面需要考虑图形的特点(形状、方向、颜色、对称等);另一方面需要考虑数(图形的边数、个数等)的排列规律,通过数形结合、对应、转化等思想去解决问题
数列中的规律
数列
按一定次序排列的一列数叫做数列
数列中的规律
规律蕴含在相邻两数的差中
规律蕴含在相邻两数的倍数中
前后几项为一组,以组为单位蕴含一定的规律
数列中间隔的项之间存在着一定的规律
相邻两数的关系中隐含着规律
数列的各项分别是平方数
探索规律的方法
依据数列隐含规律的几种表现形式,从不同的角度,认真观察、对比、尝试、计算
综合与实践
基本特征
实践性
要亲身经历和体验活动过程
数学性
含有数学成分,有数学学习或运用的过程
自主性
自主选择方式、方法
开放性
活动的内容、场地、时间开放;方式、方法灵活多样;结果不求统一
综合性
所用的知识和方法一般来自多种学科,来自多方面的学习和生活经验
探索性
方法和结果要在解决问题的过程中,不断地分析、试验、判断、修改
学习特点
加深对数学内容的理解;培养数学应用意识
建立数学知识问的联系;积累数学活动经验
培养数学创新意识
思维方法
解决问题的策略
常见的策略有:画图、列表、猜想与尝试、从特例开始寻找规律
把复杂问题简化、具体化
最优化问题
主要包括统筹安排、排队问题、最短路线问题
用最少的时间做完一件事,用最少的人力去完成一件工作,以最少的运费运输一批货物
综合应用
数与代数、图形与几何、统计与概率综合应用
把复杂问题生活化
应用举例
测量树高
用普通的测量工具很难测量大树的高度,如果结合比例的知识,采用计算的方法就会比较方便
探索物体高度与影子长度的关系
同一时间,同一地点,物体的高度与影子的长度成正比例关系
测量步骤
学校操场边上有一棵大树,求树高?
方法:因为物体高度与影子长度成正比例关系,所以可以选择一个容易测量的物体做参照,用正比例关系计算得出树高
邮票中的数学问题
鸡免同笼问题
几何
图形的认识
基本图形
点
线
直线
射线
线段
角
角的表示
角的分类
角的性质
角的大小是由两条边张开的程度决定的,与边的长短无关
两点间的距离
连接两点之间的线段的长度,叫做两点间的距离,简称距离
两条直接的位置关系
平面图形
四边形
长方形
正方形
平行四边形
梯形
四边形的关系
三角形
圆
立体图形
长方体、正方体
圆柱、圆锥
球
测量
基本图形
线的测量
长度和长度单位
长度测量方法
将刻度尺的0刻度线对准要测量的物体的一端,另一端所对应的刻度线就是被测物体的长度
累积法:把数个相同的微小量放在一起测量,再将测量结果除以被测量的个数就得到一个微小量的长度
化曲为直法:将线与曲线完全重合,做好两端的记号,然后轻轻地将线拉直,用刻度尺量出长度,就是曲线的长度
滚轮法:可用轮子沿曲线或直线滚动,记下轮子的滚动的圈数,测出轮子的周长,用轮子周长乘圈数就得到被测曲线或直线的长度
角的度量
角的度量单位
量角器
角的度量方法
平面图形
长方形、正方形、平行四边形的周长及面积
周长
封闭图形一周的长度,是它的周长
面积
长方形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
平行四边形的面积=底×高
三角形周长及面积
周长
三角形三条边的长度和
面积
三角形的面积=底×高÷2
梯形的面积
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
圆周长及面积
圆周率
圆周率是一个无限不循环小数,我们常常取圆周率的近似值3.14
周长
如果用d表示圆的直径,用r表示圆的半径,用C表示圆的周长,圆的周长的字母公式是:C=πd或C=2πr
面积
字母公式S=𝞹r²
圆环的面积
字母公式S=𝜋R²-𝜋r²=𝜋(R²-r²)
圆弧、弦、圆心角、扇形
扇形可看做是圆的一部分,扇形的圆心角是多少度,其面积就是同半径圆面积的三百六十分之几
立体图形
体积和容积
体积
物体所占空间的大小
容积
所能容纳物体的体积叫容积
长方体、正方体
长方体表面积
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
长方体体积
长方体体积=长×宽×高
长方体的棱长之和
长方体的棱长之和=(长+宽+高)×4
正方体表面积
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积
正方体体积=棱长×棱长×棱长=棱长^3
正方体的棱长之和
长方体的棱长之和=棱长×12
圆柱
侧面积
圆柱的侧面积=底面的周长×高
表面积
圆柱的侧面积与两个底面面积的和
体积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥
侧面积
侧面积=πrl：这是最常用的公式，其中r是底面半径，l是母线长度
表面积
等于圆锥的侧面积和底面积之和
体积
圆锥体积=底面积×高×1/3
球
表面积
S = 4πr²，其中r表示球的半径
体积
半径为r的球体积公式是:V=4/3πr³
图形位置及运动
位置
确定物体的空间位置
首先明确参考物体,然后用上、下、前、后、左、右这六个方位词来描述它们的具体相对位置
确定物体的平面位置
在一个平面内确定物体位置,只需两个独立数据就能将物体定位
方位
方向
在实际生活中,常常需要辨认东、南、西、北等方向,以正确确定事物的位置或判断物体运动的方向
基本方向
东、南、西、北、西南、西北、东南、东北八个方向
线路图
从一处到另一处所经过的道路叫做路线。把所经过的路线上的一系列地点按实际形状绘制成图,就是路线图
比例尺
定义
图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺
各部份关系
图上距离:实际距离=比例尺
比例尺记法
形式上分:数值比例尺、线段比例尺
从功能、作用上分:放大比例尺、缩小比例尺
图形的放大与缩小
图形的放大与缩小是比的实际应用。图形的各边按相同的比放大或缩小后,所得的图形只是大小发生了变化,形状不变
平移和旋转
平移
物体或图形在同一平面内沿直线移动,而本身没有发生大小、形状和方向上的改变
旋转
物体围绕着某一点或轴进行不改变其大小和形状的圆周运动的现象就是旋转
对称图形
轴对称图形
如果一个图形沿一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴
中心对称图形和对称中心
如果一个图形绕着一个点旋转180°后,能够和原图形互相重合,也就是旋转后的图形和它本身重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心
正方形、长方形、平行四边形都是中心对称图形,它们的对称中心是两条对角线的交点。圆也是中心对称图形,它的对称中心就是它的圆心
对称的应用
对称还是建筑艺术设计的重要准则。像天安门、天坛等闻名世界的古代建筑,都是采用对称的图形,既宏伟又美观
数据统计
统计
数据的收集和整理
分类
将事物或物体按照人们统一的标准进行分门别类地整理、划分的过程
原始数据
进行各种统计、计算、科学研究或技术设计等所依据的数值,叫做数据。其中最初的或第一手的、没有经过加工或整理的数据和资料称为原始数据
数据整理
把收集到的原始资料和数据按一定的顺序和范围进行归类、分组、整理的过程叫做数据的整理
数据的收集
全面调查;抽样调查(部分调查)
数据分组整理的方法
找出原始数据的范围;
确定组数;
统计各组中的原始数据的数量(可以采用画"正"字的方法)
统计量
平均数
意义
平均数是表示数据集中程度的一个统计特征量
计算方法
平均数=总数÷总份数
中位数
意义
将一组数据按从大到小的顺序依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数),叫做这组数据的中位数
计算方法
将一组数据按从大到小的顺序排列,当数据个数是奇数个时,取正中间的一个为中位数;当数据个数是偶数个时,取正中间的两个,计算出这两个数据的平均数作为中位数
众数
在一组数据中,出现次数最多的那个数值叫做众数
统计表
统计
对与某一现象有关的一组数据进行收集、整理、计算和分析等过程中,可以观察、比较和发现这一现象的特征或规律,这个过程称为统计
统计表
把统计数据按照一定的标准整理,并按一定的顺序进行排列制成表格,用来反映情况、说明问题,这种表格叫做统计表
统计表的结构
统计表一般分为表格外的和表格内的两部分内容
统计表的分类
单式统计表;
复式统计表;
百分数统计表
制作步骤
收集数据;
整理数据;
设计表格;
正式制表
例子
统计图
定义
用点、线、面来表示相互关联的数据关系的图形
统计图的意义、类型、特点以及作用
条形统计图
条形统计图的认识
制作方法
拆线统计图
扇形统计图
概率
不确定现象
确定现象
事前可以预言的现象,即在相同的条件下,它的结果总是肯定可以重复出现的
确定与不确定
确定:生活中的一些事件是必然的,是一定发生的,这些事件的发生就是确定的
不确定:生活中还有一些事件时而发生,时而不发生,这些事件的发生是不确定的
一定、可能与不可能
一定:例如我们在地球的地面上垂直向上抛一块石头,就知道它必然会下落到地面上,这时就可以用"一定"这个词来描述
可能:是指不确定的现象。例如,我们掷一枚硬币,硬币落下也许是正面朝上,也许是反面朝上,这时就可以用"可能"这个词来描述
不可能:在地球上"瀑布的水倒流"是不可能发生的,这类事件就可以用"不可能"来描述
随机现象
事前不可预言结论的现象,即在相同条件下重复进行试验,每次结果都未必相同,或知道事物过去的状况,但未来的发展却不能完全肯定
模糊现象
事物本身的含义或界定范围不十分确定的现象
概率
定义
数学课程中的概率内容,要求在具体情境中感受某些现象的随机性,并用"数"来标志事件发生"可能性"的大小,这就是概率
意义
概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支
理论概率
理论概率就是指许多随机现象,可以从理论上进行分析,对相应的事件指定一个合理的概率,来表示该事件发生的可能性的大小
实验概率
有些随机事件的概率不能通过理论分析的方法得到,而是需要大量重复试验做出来的,称为实验概率
频率
样本的实际发生率称为频率
事件发生的可能性
可能性大小
可能性的大小与事件的基础条件和发展过程等许多因素有关系
可能性大小描述
某种事件发生的可能性有大有小,对事件发生的可能性的大小,可以用"一定""经常""偶尔""不可能""可能"等词语来描述,也可以用分数来表示
游戏输赢的可能性
输赢的可能性
游戏的输赢结果取决于游戏双方各自出现的机会。出现的机会多,则赢的可能性大;出现的机会小,则赢的可能性小。但当游戏双方的机会均等时,游戏的结果一般仍会有输赢
规则的公平性
游戏双方机会均等时,游戏规则较公平;当游戏双方机会不均等时,游戏规则不公平。在设计游戏规则时,要力求游戏双方机会均等
例子