7.4 一元一次方程

苏科版初中数学七年级上册第4章《一元一次方程》知识点梳理，包含1.从问题到方程 2.解一元一次方程 3.用一元一次方程解决问题等

一元一次方程

• 从问题到方程
  • 一元一次方程
    • 方程
      • 含有未知数的等式叫做方程
      • • ①必须是等式
        • ②必须含有未知数
        • 二者缺一不可
      • • ①方程一定是等式，但等式不一定是方程
        • ②方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示
        • ③方程中可含有多个未知数
    • 一元一次方程
      • 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程
      • • ①只含有一个未知数（“元”是指未知数）
        • ②未知数的次数都是1（“次”是指未知数的次数）
        • ③是整式方程
        • 三个条件，缺一不可
  • 列一元一次方程解决实际问题
    • 设未知数
      • 直接设
      • 间接设
    • 找关系式
      • 分析题目中已知量和未知量之间的关系，列出相关代数式
    • 列方程
      • 找到能够反映应用题全部含义的相等关系，将相关代数式代替等式左右两边
• 解一元一次方程
  • 方程的解和解方程
    • 方程的解和解方程
      • 方程的解
        • 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解
          • 方程的解可能不止一个，也可能无解
        • • 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点
            • ①它（或它们）是方程中未知数的值
            • ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是
      • 解方程
        • 求方程的解的过程叫做解方程
      • • 方程的解是一个数（或者说一个值），而解方程有“动”的意思，是一个解题过程；解方程的目的是求方程的解，方程的解是解方程的结果
    • 检验一个数是否是方程的解
      • ①将未知数的值分别代入方程的左边和右边
      • ②分别计算方程左边和右边的值
      • ③比较两边的值是否相等
      • ④得出结论
        • 相等，该数是方程的解
        • 不相等，该数不是方程的解
  • 等式
    • 定义
      • 用等号把两个代数式连接而成的式子叫等式
    • 性质
      • ①等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式
      • ②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式
    • • 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形
  • 移项
    • 概念
      • 方程的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项
    • 依据
      • 移项的实质是利用等式性质1对方程进行变形
    • 目的
      • 移项时，一般把含未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边
  • 解方程步骤
    • 1.去分母
      • 方程两边同乘各分母的最小公倍数
        • ①不要漏乘
        • ②分子是一个整体，去分母后应加上括号
    • 2.去括号
      • 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
        • ①若括号前有数字因数，去括号时数字因数不要漏乘括号内的项
        • ②若括号前有负号，则去括号后原括号内各项都要变号
    • 3.移项
      • 含有未知数的移到方程的一边，其他项移到另一边
        • ①移项要变号
        • ②不要丢项
    • 4.合并同类项
      • 把方程化成ax=b（a≠0）的形式
        • 字母及其指数不变
        • 同类项的系数为负数时，不要出现符号错误
    • 5.化未知数的系数为1
      • 方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解
        • 不要把分子、分母搞颠倒
        • 注意除数和被除数的性质符号
    • • 解方程时要灵活，不必呆板的按照解方程步骤来，有些步骤可以合并简化
  • 解特殊的一元一次方程
    • 含绝对值的方程
      • 
        • 当c＜0时，无解
        • 当c=0时，原方程可化为ax+b=0
        • 当c＞0时，原方程可化为ax+b=-c
    • 含字母的一元一次方程
      • 此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论
        • 当a≠0时，
        • 当a＝0，b＝0时，x为任意有理数
        • 当a＝0，b≠0时，方程无解
• 用一元一次方程解决问题
  • 基本思路
  • 基本过程
    • ①先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关量
    • ②再根据实际问题中数量之间的相等关系列出方程
    • ③解方程，写出答案
  • 列方程解应用题步骤
    • 1.审题
      • 读懂题目，弄清题意
        • 哪些是已知量
        • 哪些是未知量
        • 寻找它们之间的等量关系
          • 列表法
          • 图示法
    • 2.设未知数
      • 直接
      • 间接
    • 3.列方程
      • 注意方程两边是同一类量，单位要统一
    • 4.解所列方程
    • 5.检验未知数的值是否符合题意
      • 检验可以不写出，但一定要进行，既要检验是否满足方程，又要检验解是否符合实际情况
    • 6.根据问题需要写出答案
      • 注意单位要写清楚
    • 书面：设、列、解、答
• 常见类型
  • 路程问题
    • 相等关系
      • 路程=速度×时间（s=vt）
    • 类型
      • 相遇
        • 基本等量及关系
          • 相遇路程=速度和×相遇时间
        • 寻找相等关系
          • 甲走的路程+乙走的路程＝两地距离
      • 追击
        • 快者走的路程-慢者走的路程=原来的距离
        • 基本等量及关系
          • 追及路程=速度差×追及时间
        • 寻找相等关系
          • 同地不同时出发
            • 前者走的路程＝追者走的路程
          • 同时不同地出发
            • 前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程
      • 环形跑道
        • 同一地点，同时出发时
          • 同向而行时
            • 首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长
          • 背向而行时
            • 首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长
      • 水流行船
        • 顺水（风）
          • 顺水（风）速=静水（风）速+水流（风）速
        • 逆水（风）
          • 逆水（风）速=静水（风）速-水流（风）速
        • 基本等量及关系
          • 顺水速度=静水速度+水流速度
          • 逆流速度=静水速度－水流速度
          • 顺水速度－逆水速度＝2×水速
        • 寻找相等关系
          • 抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑
  • 工程问题
    • 相等关系
      • 总工作量=工作效率×工作时间
      • 总工作量=各单位工作量之和
    • • 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1
  • 配套问题
    • 根据已知条件分清数量关系，尤其是倍数关系
  • 商品销售问题
    • 相等关系
      • 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
      • 
      • 商品售价=商品标价×折扣率
      • 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
    • • 商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损
      • 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售
  • 其他问题
    • 存贷款问题
      • 利息=本金×利率×期数
      • 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
      • 实得利息=利息-利息税
      • 利息税=利息×利息税率
      • 年利率＝月利率×12
    • 数字问题
    • 方案问题
      • 运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况
      • 用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论