七年级上册数学第3章、代数式

苏科版7上数学，第3章：代数式，详细知识点梳理，包含：①字母表示数②代数式③代数式的值④合并同类项⑤去括号⑥整式的加减等相关知识，使用其他版本教材的同学也可以正常使用。

中心主题

• 5个概念
  • 单项式
  • 多项式
  • 整式
  • 代数式
  • 同类项
• 2种运算
  • 整式的加法
  • 整式的减法
• 2个法则
  • 合并同类项法则
  • 去括号法则
• 2种求值方法
  • 直接代入法
  • 整体代入法
• 4种思想方法
  • 整体思想
  • 方程思想
  • 分类讨论思想
  • 数形结合思想

代数式

• 字母表示数
  • 用字母表示数学运算律、公式、问题中的数量关系、未知数等
  • 特点
    • 任意性
      • 字母可以表示任意的数或式子
    • 限制性
      • 字母的取值应使式子有意义
    • 确定性
      • 字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定
    • 一般性
      • 用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性
  • 书写
    • 字母与字母相乘,字母与数字相乘时
      • “×”通常省略不写,或用“·”连接
    • 数字与字母相乘
      • 一般把数字放在字母的前边,并省略乘号
  • • 同一个问题中,相同的字母只表示相同的量,不同的量必须用不同的字母表示
    • 用字母表示数时,某些特定的字母表示特定的数,如用π表示圆周率
    • 用字母表示实际问题中的量时，字母的取值要保证使这个式子有意义，并且符合实际意义
• 代数式
  • 代数式
    • 定义
      • 用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式
      • • 这里的运算指的是“+”“-”“×”“÷”和乘方及以后要学习的开方
        • 等式、不等式都不是代数式（代数式中不含有“=”、“≠”“＞”“＜”等）
        • 单独一个数或一个字母也是代数式（a、-2等）
        • 代数式中可以有数、字母、基本的运算符号，还可以有括号（）
    • 书写
      • “×”的写法
        • 数字与数字相乘
          • 仍用“×”
          • • “×”不能用“·”代替,更不能省略不写
            • 如2×3,不能写成2·3,更不能写成23
        • 数字与字母相乘时
          • “×”可以省略不写或用“·”代替
          • 数字放在字母的前面
          • • 如2×a,写作2a或2·a,不能写成a2
        • 字母与字母相乘
          • “×”可以省略不写或用“·”代替
          • • 如a×b,写作ab 或a· b
        • 相同因数相乘
          • 要用乘方表示
        • 数字或字母、与括号相乘 或括号与括号相乘
          • 数字或字母与括号相乘可省略乘号,数字和字母要写在括号前;括号与括号相乘可省略乘号
          • • 如2× ( a+b)写作2 ( a+b ) ; a x ( a+b )写作a( a+b ); ( a+b )x( m+n)写作( a+b )( m+n )或( a+b ) ( m+n )
      • “÷”的写法
        • 除法，一般按照分数的写法来写
        • • 被除数做分子，除数做分母。“÷”转化为分数线
          • 5除以a
            • 不要写成5÷a
          • c除以d
            • 不要写成c÷d
      • 系数是带分数的写法
        • 带分数与字母相乘，带分数要化成假分数
      • 单位的写法
        • 在代数式后面要注明单位时
          • 若结果是乘除关系，直接在后面写单位
          • 若结果是加减关系的，先把式子用括号括起来，再在后面写单位
      • • 同一个问题中，一个字母只能代表一个量
        • 几个字母因数排列时，一般按字母表的顺序排列
  • 多项式、多项式与整式
    • 单项式
      • 单项式
        • 数字与字母的积所组成的代数式叫作单项式
        • • 单独一个数或字母也是单项式
          • 代数式中不含加减号
          • 字母不能出现在分母里
      • 单项式的系数
        • 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
        • • 当单项式的系数是1时,“1”通常省略不写,如 a²b
          • 当单项式的系数是-1时,“1”可以省略不写,但“-”号不能省略,如 -abc
          • 当单项式的系数是带分数时,通常写成假分数
          • 一个单项式只含有数字因数，它的系数就是它本身
          • 负数作系数时，应包括前面的符号
      • 单项式的次数
        • 单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数
        • • 单项式中字母的指数为1时，“1”省略不写,但计算单项式次数时不能丢掉.
          • 希腊字母“π”表示圆周率,它是一个常数,不看作字母.
          • 一个单项式只含有数字因数且非0，它的次数是0
          • 一个单项式的次数是几，这个单项式就是几次单项式
          • 不能将数字的指数一同计算
      • • 单独一个数一般不说次数和系数.
    • 多项式
      • 多项式
        • 几个单项式的和叫做多项式
        • • ①“几个”是指两个或两个以上
          • ②式子中有加减号
          • ③分母中不含有字母
      • 多项式的项
        • 多项式中，每个单项式叫做多项式的项
        • • ①多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式
          • ②每个单项式要包括前面的符号
          • ③不含字母的项叫作常数项
      • 多项式的次数
        • 多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
        • • 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数
          • 多项式的次数是n次，有m个单项式，把这个多项式称为n次m项式
      • 降幂排列和升幂排列
        • 降幂排列
          • 按照某个字母的指数从大到小的顺序排列
        • 升幂排列
          • 按照某个字母的指数从小到大的顺序排列
      • • 多项式的项和项数是不同的概念
        • • “项”是指组成多项式的单项式，包括前面的符号
          • “项数”是指项的个数
    • 整式
      • 单项式和多项式统称为整式
        • 
      • • 分母中含有字母的式子一定不是整式
    • 代数式、整式、单项式、多项式之间的关系
      • • 代数式包含整式
        • 整式包含单项式和多项式
  • 列代数式
    • 列代数式就是把文字语言转化为数学符号语言,把问题中与数量有关的语句,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来
    • 列代数式时应注意以下几点
      • ①抓住语句中的关键词语的意义,如和、差、积、商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少、几倍、几分之几等
      • ②注意读出关键词并恰当地断句及使用括号
    • • 先读先算原则
        • 列代数式时,常对文字语言的叙述理解不准确,弄错运算顺序而出错，一般应遵循“先读先算”的原则
  • 代数式的读法及意义
    • 读法
      • 按运算顺序来读,如 a+b读成a加上b
      • 按运算结果来读,如a+b读成a与b的和
    • 意义
      • 若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的意义,则代数式的内容就会变得丰富、有内涵
      • • 正确理解句子的意义非常关键.如:“甲、乙两数和的平方”与“甲、乙两数的平方和”意义是不相同的
• 代数式的值
  • 代数式的值
    • 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值
    • • 代数式的值由式子中字母的取值确定.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化
      • 代数式中字母的取值,必须使代数式有意义
      • 当代数式表示实际问题的数量关系时,字母的取值还要保证具有实际意义
    • • 代数式与代数式的值是两个不同的概念
      • • 代数式表述的是问题的一般规律
        • 而代数式的值是这个规律下的特殊情形
  • 求代数式值的步骤
    • ①代入
      • 用数值代替代数式里的字母,简称为“代入”
      • • 代入时,将相应的字母换成数字,其他的运算符号、原来的数字都不能改变
        • 字母的取值是负数和分数时，带入要加括号
        • 代数式中原来省略的乘号,代入数字后出现数字与数字相乘时,必须添上乘号.
    • ②计算
      • 按照代数式指明的运算,计算出结果,简称为“计算”
    • • 代数式的值是由所含字母取值确定的,随着代数式中字母取值的变化而变化,所以求代数式的值的书写格式,在代入前必须写出“当……时”,表示代数式的值是在这种情况下求得的
    • 整体代入法
      • 当条件能直接代入代数式时，可将某个代数式看成一个整体，再将整体的值代入所求代数式中求值
      • 当条件不能直接代入代数式时,可以把条件变形后直接代入，也可以把所求式子适当变形后再将条件代入
  • 程序中的代数式
    • 利用程序求值的方法
      • ①确定程序所给的运算及运算顺序
      • ②根据运算顺序写出输出的代数式
      • ③将代数式中所含字母的值分别代入求值
    • 设计代数式的计算程序的方法
      • ①确定代数式中所含的运算
      • ②确定所含运算的顺序,并依次填空
• 合并同类项
  • 同类项
    • 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
    • • 1.两个相同
        • ①所含字母相同
        • ②相同字母的指数分别相同
      • 2.两个无关
        • ①与单项式的系数无关
        • ②与单项式中字母的排列顺序无关
    • • 同类项不一定是两项，也可以是三项、四项或者更多项，但至少有两项
      • 一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项
      • 所有的常数项都是同类项
  • 合并同类项
    • 概念
      • 根据乘法分配律把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项
    • 法则
      • 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变
      • • 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用
        • 不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有
        • 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算
        • 如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0
        • 将代数式合并同类项后,最终结果不能再有同类项,结果可能是单项式,也可能是多项式
        • 在使用加法交换律移动各项的位置时，项前面的符号一定要一起移动,否则容易出错
    • 步骤
      • ①找
        • 准确找出同类项,并标上相同记号
        • • 合并同类项时，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同标记
      • ②合
        • 利用法则,把同类项的系数相加(用括号),字母和字母的指数不变
      • ③并
        • 写出合并后的结果
  • 代数式的化简求值
    • 求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项后再代入数值进行计算
    • • 向化简后的式子中代入数值时不要改变运算顺序,分数或负数乘方时要加上括号
      • 合并同类项后,如果代数式的值为常数,则与字母的值无关
• 去括号
  • 法则
    • 法则1
      • 括号前面是“+”号的，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不变
      • • 相当于用“+1”乘括号中的每一项
    • 法则2
      • 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变
      • • 相当于用“﹣1”乘括号中的每一项
    • • 去括号法则依据是乘法分配律
      • 去括号时要把括号连同它前面的符号都去掉
      • 去括号后，如果项的系数为“+”号，又不是第一项，则不能省略正号
      • 去掉括号与它前面的“-”号时，括号里面的各项都要改变符号，不能只改变部分项的符号
      • 当括号前有数字因数时
        • 可利用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘,再去括号
        • 也可以用这个因数(包括它的符号)去乘括号内的每一项,直接去括号
      • 多重括号,一般先去小括号,再去中括号,然后去大括号.每去掉一层括号,若有同类项可随时合并,这样可以简化计算过程.也可以按从大括号到中括号再到小括号的顺序去括号
    • 口诀
      • 去掉“正括号” 各项不变号 去掉“负括号” 各项都变号
  • 添括号
    • 法则
      • ①添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号
      • ②添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号
    • 注意事项
      • 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的
      • 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误
• 整式的加减
  • 整式的加减运算
    • 实质
      • 合并同类项
    • 步骤
      • 如果有括号，先去括号，再合并同类项
    • 结果的要求
      • ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止
      • ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列
      • ③不能出现带分数，带分数要化成假分数
  • 化简求值
    • 步骤
      • ①化
        • 通过去括号、合并同类项将整式化简
      • ②代
        • 把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子
      • ③算
        • 依据有理数的混合运算法则进行计算
    • • 在常见的字母的使用习惯中，常用单个的大写字母表示一个多项式
      • 把各多项式代入算式时,应将各多项式用括号括起来