数值分析

这是数学专业大二专业课数值的思维导图，主要是分析专业课数值考点的详细概述，内容包含了内容涉及到插值法、函数逼近与计算和数值积分与数值微分等。

数值分析

• 1. 绪论
  • 1.1. 数值分析研究的对象与特点
  • 1.2. 误差来源与误差分析的重要性
  • 1.3. 误差的基本概念
    • 1.3.1. 误差与误差限
    • 1.3.2. 相对误差与相对误差限
    • 1.3.3. 有效数字
    • 1.3.4. 数值运算的误差估计
  • 1.4. 数值运算中误差分析的方法与原则
    • 1.4.1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法
    • 1.4.2. 要避免两相近数相减
    • 1.4.3. 要防止大数“吃掉”小数
    • 1.4.4. 注意简化计算步骤,减少运算次数
• 2. 插值法
  • 2.1. 引言
  • 2.2. Lagrange插值
    • 2.2.1. 插值多项式的存在唯一性
    • 2.2.2. 线性插值与抛物插值
    • 2.2.3. Lagrange插值多项式
    • 2.2.4. 插值余项
  • 2.3. 逐次线性插值法
  • 2.4. 差商与牛顿插值
    • 2.4.1. 差商及其性质
    • 2.4.2. 牛顿插值公式
  • 2.5. 差分与等距节点插值公式
    • 2.5.1. 差分及其性质
    • 2.5.2. 等距节点插值公式
  • 2.6. 埃尔米特插值
  • 2.7. 分段低次插值
    • 2.7.1. 多项式插值的问题fen
    • 2.7.2. 分段线性插值
    • 2.7.3. 分段三次埃尔米特插值
  • 2.8. 三次样条插值
    • 2.8.1. 三次样条函数
• 3. 函数逼近与计算
  • 1. 引言
    • 1.1. 问题的提出
    • 1.2. 理论基础——Weierstrass定理
      • 定理3.1(连续函数收敛)
    • 1.3. 连续函数空间
      • 范数的三个特征
  • 2. 最佳一致逼近多项式
    • 1. 存在性
      • 定义3.19（偏差）
      • 下确界是最小偏差
      • 定义3.2（最佳一致逼近多项式）
      • 定理3.2（最佳一致逼近多项式收敛）
    • 2. 切比雪夫定理
      • 定义3.3(偏差点)
      • 定理3.3（最佳一致逼近多项式同时存在正负偏差点）
      • 定理3.4（最佳一致逼近多项式的充要条件是存在交错点组）
        • 推论1：连续函数存在唯一的最佳逼近多项式
        • 推论2：若是连续函数，则其最佳一致逼近多项式就是朗格拉日插值多项式
    • 3. 最佳一致逼近多项式
      • 例3.1
  • 3. 最佳平方逼近
    • 3.1. 内积空间
      • 定义3.4（权函数）
      • 定义3.5（内积空间）
      • 定义3.6（平方范数）
      • 定理3.5（平方范数的三条结论）
      • 定义3.7（带权正交、带权正交函数族、标准正交函数族）
      • 定义3.8（线性无关函数族）
      • 定理3.6（克莱姆法则）
    • 3.2. 函数的最佳平方逼近
      • 例3.2
  • 4. 正交多项式
    • 4.1. 正交化手续
      • 定义3.9
    • 4.2. 勒让德多项式
      • 性质1：正交性
      • 性质2：奇偶性
      • 性质3：递推关系
      • 性质4：最高项系数为1的多项式中，与零的平方误差最小
      • 性质5：在[-1，1]内有n个不同的实零点
    • 4.3. 切比雪夫多项式
      • 性质1：递推关系
      • 性质2：对零的偏差最小
        • 定理3.7
      • 性质3：在[-1，1]带权正交
      • 性质4:奇偶次幂取决于下标的奇偶
      • 性质5：在[-1，1]上有n个零点
    • 4.4. 其他常用的正交多项式
      • 第二类切比雪夫多项式
      • 勒让德多项式
      • 埃尔米特多项式
    • 4.5. 函数按正交多项式展开
      • 例3.4
    • 4.6. 曲线拟合的最小二乘法
      • 一般的最小二乘逼近
        • 例3.5
      • 用正交函数作最小二乘拟合
      • 多元最小二乘拟合
• 4. 数值积分与数值微分
  • 1. 引言
    • 数值求积的基本思想：加权平均
    • 代数精度的概念
      • 定义4.1（m次代数精度）
    • 插值型求积公式
      • 定理4.1（插值型和有n次代数精度是等价的）
  • 2. 牛顿-柯特斯公式
    • 柯特斯系数
      • 取九个节点的系数表
    • 偶阶求积公式的代数精度
      • 定理4.2：偶次至少有n+1次
    • 几种低阶求积公式的余项
      • 梯形公式
      • 辛普森公式
      • 柯特斯公式
    • 复化求积公式及其收敛性
      • 复化梯形：2阶误差减至1/4
      • 复化辛普森：4阶误差减至1/16
      • 复化柯特斯：6阶误差减至1/64
      • 定义4.2
  • 3. Romberg算法
    • 梯形法的递推化
      • 变步长主次减半
    • Romberg公式
  • 4. Gauss公式
    • Gauss点
    • Gauss-Legendre公式
    • Gauss公式的余项
    • Gauss公式的稳定性
    • 带权的Gauss公式
  • 5. 数值微分
    • 机械求导：差商的极限就是导数
      • 中心差商
• 5. 常微分方程数值解法
  • 5.1. 引言
  • 5.2. 欧拉方法
    • 5.2.1. 引言
    • 5.2.2. 欧拉格式
    • 5.2.3. 后退的欧拉格式
    • 5.2.4. 梯形格式
    • 5.2.5. 改进的欧拉格式
  • 5.3. 龙格库塔方法
    • 5.3.1. 泰勒级数法
    • 5.3.2. 基本思想
    • 5.3.3. 二阶龙格库塔
    • 5.3.4. 三阶龙格库塔你
    • 5.3.5. 四阶龙格库塔
    • 5.3.6. 变步长的龙格库塔
  • 5.4. 单步法的收敛性和稳定性
    • 5.4.1. 单步法的收敛性
• 6. 方程求根
  • 6.1. 根的搜索
    • 6.1.1. 逐步搜索法
    • 6.1.2. 二分法
  • 6.2. 迭代法
    • 6.2.1. 迭代过程的收敛性
      • 定理6.1（全局收敛定理）
      • 定义6.1（局部收敛）
      • 定理6.2
  • 6.3. 牛顿法
    • 6.3.1. 简化的牛顿公式
    • 6.3.2. 几何解释
    • 6.3.3. 局部收敛性
    • 6.3.4. 下山法
  • 6.4. 弦截法与抛物线法
    • 6.4.1. 弦截法
    • 6.4.2. 抛物线法
  • 6.5. 代数方程求根