常微分

数学专业课大二下学期常微分方程，按照课本整理的思维导图。解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性：定义2.5：初值的解在一点连续依赖于初值、定理2.8：：解对初值连续依赖定理。

常微分

• 1. 初等积分法
  • 1.1. 微分方程和解
  • 1.2. 变量可分离方程
    • 1.2.1. 显式
      • 不为零（可以两边积分）
      • 存在为零
    • 1.2.2. 微分形式
  • 1.3. 齐次方程
    • 1.3.1. 可以改写（换元法化成变量可分离方程）
    • 1.3.2. 不可以改写
      • 系数行列式不为零
        • 通过代换化成齐次方程
      • 为零
        • 化为变量可分离方程
  • 1.4. 一阶线性微分方程
    • 1.4.1. 一阶线性非齐次方程的通解-24
      • 例1
      • 例2
      • 结论：对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和
      • 例3
      • 常数变异法求通解
    • 1.4.2. 伯努利方程
      • p
      • 例4
      • 化成一阶线性方程，两端同除再
  • 1.5. 全微分方程及积分因子
    • 1.5.1. 全微分方程
      • 定理1.1
      • 求原函数的方法
        • 观察法
          • p
        • 定理1.2（矩形区域连续可微是全微分方程的充要条件）
          • 积分与路径无关性
      • 例2
      • 例3
    • 1.5.2. 积分因子
      • 连续可微函数可以使方程全微分
      • 两种特殊积分因子求法
        • 存在只与x有关的积分因子
          • 充要条件
          • 积分因子
        • 存在只与y有关的积分因子
          • 充要条件
          • 积分因子
      • 例4
      • 例5
  • 1.6. 一阶隐式微分方程
  • 1.7. 几种可降阶的高阶方程
  • 1.8. 一阶微分方程应用举例
• 2. 基本定理
  • 1. 常微分方程的几何解释
  • 2. 解的存在唯一性定理
    • 叙述
      • 利普希茨条件
    • 存在性的证明
    • 唯一性的证明
    • 两点说明
  • 3. 解的延展
    • 延展解、不可延展解的定义
  • 4. 奇解与包络
    • 存在奇解
      • 定义2.3：方程的积分曲线上每一点处，解的唯一性都被破坏，称此解为奇解
    • 不存在判别法
      • 函数在区域上连续，导函数有界；那么方程的任一解是唯一的
    • 包络线
      • 定义2.4：一连续可微曲线，其上任一点有某一曲线与所在的曲线相切
      • 定理2.6：奇积分曲线是积分曲线族的包络线
      • 定理2.7：包络线满足C-判别式
        • ①通解
        • ②通解导数为零
  • 5. 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性
    • 定义2.5：初值的解在一点连续依赖于初值
    • 定理2.8：：解对初值连续依赖定理
    • 定理2.9：解对初值的可微性定理
• 3. 一阶线性微分方程组
  • 1. 一阶微分方程组
    • 方程组右端函数不显含x，称为自治的方程组
    • 解的存在唯一性定理
      • 按范数收敛的概念
      • n维向量函数连续的概念
    • 方程组解的几何意义
      • n+1维空间中的一条曲线，也成为方程组的积分曲线
  • 2. 一阶线性微分方程组的一般概念
  • 3. 一阶线性齐次微分方程组的一般理论
    • 定理3.2：线性齐次方程组的任何有限个解的线性组合仍为方程组的解
    • 定义3.1（m个n维向量函数线性相关与线性无关的定义）
    • 定理3.3（n个n维向量函数组判别准则）：线性相关则朗斯基行列式恒等于零
    • 定理3.4（逆定理）：n个线性无关解，朗斯基行列式不恒为零
      • 推论3.1：某点朗斯基行列式不为零则线性无关
      • 推论3.2：朗斯基行列式某点为零，则必线性相关
      • 推论3.3：n个解线性无关的充要条件是朗斯基任一点不为零
    • 定理3.5：方程组必存在基本解组
      • n个线性无关解构成基本解组
      • 标准基本解矩阵
    • 定理3.6：基本解组与系数的线性组合构成通解
      • 推论3.4：线性齐次方程组的线性无关解的个数不能多于n
    • 定理3.7（刘维尔公式）：朗斯基行列式与方程组系数的关系式
      • 引入迹的概念表示刘维尔
  • 4. 一阶线性非齐次微分方程组的一般理论
    • 通解结构
      • 定理3.8：线性非齐次方程的解与其对应齐次方程的解之和还是非齐次方程的解
      • 定理3.9：两个线性非齐次方程的差是其对应齐次方程的解
      • 定理3.10：线性非齐次方程通解等于齐次方程的通解与方程组的一个特解之和
    • 常数变异法
  • 5. 常系数线性微分方程组的解法
    • 特征根是单根
      • 定理3.11：互异特征根与特征向量组合构成基本解组
      • 定理3.12：实系数线性齐次方程组有复值解，实部和虚部都是实向量函数，则实部和虚部都是方程的解
      • 定理3.13：n个线性无关的向量函数，与两个不为零的常数与某两个向量函数组成的一样的函数线性组合，仍是线性相关的
    • 特征根有重根
    • 稳定性
      • 定理3.16：方程组所以特征根都具有负实部，则它的所有解都趋于零，则零解渐进稳定；如果有一个特征根具有正实部，则不稳定
    • 常系数线性非齐次
      • 通解用代数方法
      • 特解用常数变异法
• 4. N阶线性微分方程组
  • 4.1. 一般理论
    • 4.1.1. 线性微分方程的一般概念
      • 定理4.1
    • 4.1.2. N阶线性齐次微分方程的一般理论
      • 定义4.1
      • 引理4.2
      • 定义4.2（朗斯基行列式）
        • 区间一点不为零整个区间不为零
        • 区间一点为零整个区间为零
      • 定理4.2（n个解线性无关的充要条件是朗斯基行列式不等于0）
      • 定理4.3（基本定理）
      • 定义4.3（基本解组）
      • 定理4.4（线性无关解的个数不超过n个）
      • 定理4.5（n阶齐次总存在基本解组）
      • 定理4.6（刘维尔公式）
    • 4.1.3. N阶线性非齐次微分方程的一般理论
      • 定理4.7（通解是齐次通解与一个非齐特解之和）
      • 例5
  • 4.2. N阶常系数线性齐次方程解法
    • 4.2.1. 特征根都是单根
      • 定理4.8（特征方程的n个互异根构成基本解组）
      • 例1
      • 例2
      • 例3（复根）
      • 例4（复根）
    • 4.2.2. 特征根有重根
      • 定理4.9
      • 例5（二重特征根）
      • 例6（二重+复值根）
      • 例7（三重根）
  • 4.3. N阶常系数线性非齐次方程解法
    • 4.3.1. 第一类非齐次方程特解的待定系数法
      • 用非齐次项的次数判断特解形式
        • 不是根
          • 例1
        • 单根
          • 例2
        • 重根
      • 推广到n阶
        • 不是根
          • 例1
        • 重根
    • 4.3.2. 第二类非齐次方程特解的待定系数法
  • 4.4. 拉普拉斯变换
• 5. 定性和稳定性理论简介
  • 5.1. 稳定性概念
  • 5.2. 李雅普诺夫第二方法
  • 5.3. 平面自治系统的基本概念