控制系统的数学模型

这是一篇关于控制系统的数学模型的思维导图，描述系统性能的数学表达式就是系统的数学模型，介绍的就是关于控制系统的数学模型的相关知识。

2控制系统的数学模型

• 微分方程
  • 微分方程的建立及标准化
    • 1.根据元件的工作原理及其在控制的系统中的作用，确定其输入量和输出量
    • 2.分析元件工作中所遵循的物理或化学规律，列写相应的微分方程
    • 3.消去中间变量，得到输出量与输入量之间的微分方程，便是元件时域的数学模型
    • 4.标准化，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂次序排列
  • 基本定律
    • 电气系统
      • 无源器件
        • 电阻
          • u=Ri
        • 电容
          • i=C*du/dt
        • 电感
          • u=L*di/dt
      • 有源器件
        • 放大器
          • 虚短：U+=U-,虚断：i+=i-
      • 遵循的基本定律：基尔霍夫电流定律（节点电流定律）+基尔霍夫电压定律（回路电压定律）
    • 机械系统
      • 质量要素：F=ma
      • 弹性要素：F=kx
      • 阻尼要素：F=fv
      • 惯性要素：T=Ja=J*dw/dt=J*d^2(Q)/dt^2
      • 遵循的基本定律：线位移—牛顿第二定律（合力F=Ma)；角位移—牛顿转动定律（合力矩T=Ja)
  • 典型系统的微分方程
    • 弹簧-质量-阻尼器系统
    • RLC电路
    • 直流电动机
    • 电动机转速控制系统
    • 热力系统
    • 流体过程
  • 非线性微分方程的线性化
    • （小偏差法-泰勒级数法）在给定工作点泰勒展开，只取一阶微量各项，忽略高阶无穷小项（非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化）
  • 线性微分方程的求解
    • 经典法（高数方法）
    • 拉氏变换法
      • 定义
      • 拉普拉斯变换定理
      • 拉普拉斯反变换
      • 求解线性定常微分方程过程
        • 1.考虑初始条件，对微分方程的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程
        • 2.由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式
        • 3.对输出量拉氏变换函数反变换，得到输出量的时域表达式，即所求微分方程的解
    • 计算机求解
  • 运动的模态(振型)
    • n阶特征根(li)且无重根：y=c1*e^(l1t)+c2*e^(l2t)+……+cn*e^(lnt)
    • 有多重根l，则模态会出现t*e^(lt),t^(2)*e^(lt),……
    • 共轭复根l=s+jw,共轭复模态e^[(s+jw)t],e^[(s-jw)t](即e^(st)*sinwt,e^(st)*coswt)
• 传递函数
  • 定义
    • 在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。（注意零初始条件2层含义：1.系统输入量及各阶导数在t=0时的值均为0；2.系统的输出量及各阶导数在t=0时的值也为0）
  • 性质及局限性
    • 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数（分子阶数m≤n分母阶数）
    • 2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。
    • 3.传递函数与系统的微分方程之间有相通性，两者可以相互转换。
    • 4.传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。
    • 5.传递函数与复平面上的一定的零极点图相对应。
    • 6.（局限性）传递函数是对动态系统的外部描述（内部状态无法反映），只适用于描述线性定常的单输入、单输出系统，只直接反映系统在零状态下的动态特性。
  • 表示形式
    • 1.零极点形式（K为根轨迹增益）
    • 2.典型环节形式/尾1型（K为开环增益）
  • 典型环节
    • 1.比例环节（又无惯性环节，成比例不失真也不延滞复现）
    • 2.惯性环节（3T-4T时才能比较好的复现）
    • 3.积分环节（具有记忆功能）
    • 4.微分环节（预示输入信号的变化趋势/与输入导数成比例）
    • 5.振荡环节（典型二阶系统）
    • 6.延滞环节（也是线性环节，拖延一定时间/死时才复现）
  • 典型元部件的传递函数
    • 1.电位器（把线位移或角位移变换为电压量的装置~电压与角度Q（位移x）成比例）
    • 2.测速发电机TG（测量角速度w并将其转换为电压量的装置~电压与角速度w成比例）
    • 3.无源网络（复阻抗）
      • 电阻R、电容1/Cs、电感Ls
    • 4.两相伺服电动机（同直流电动机~K/(Ts+1））
    • 5.单容水槽（流量变化与液位高度变化的关系~K/(Ts+1））
    • 6.电加热炉（温度变化与控制电压变化之间的关系~K/(Ts+1））
• 结构图（方框图）
  • 概念（组成）
    • 由信号线、函数方框、分支点和相加点等组成
  • 特点
    • 1.结构图具有概括性和抽象性，不一定表示某具体系统的物理结构
    • 2.用结构图可以直观的研究系统特性，分析各环节对系统性能的影响。
    • 3.同一系统的结构图形式不唯一，但其在输入、输出信号确定后，对应的系统传递函数是唯一的。
  • 方框图的绘制
    • 1.建立控制系统各元部件的微分方程。（要分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。
    • 2.对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。
    • 3.按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，（与微分方程标准化方向相反），便得到了系统的结构图。
  • 结构图的等效变换
    • 1.串联G0=G1*G2
    • 2.并联
    • 3.反馈
    • 4.比较点/综合点移动
      • 比较点前移
        • 在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数
      • 比较点后移
        • 在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数
      • 相邻比较点之间的移动
        • 互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系
    • 5.引出点移动
      • 引出点前移
        • 在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数
      • 引出点后移
        • 在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数
      • 相邻引出点之间的移动
        • 相互交换位置不会改变引出信号的性质
    • 6.比较点与引出点之间的移动
      • 遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则
• 信号流图
  • 定义
    • 由节点和支路组成的信号传递网络（节点、支路、输入节点、输出节点、混合节点、通路、前向通路、回路、不接触回路、回路增益）
  • 梅逊公式
  • 注意
    • 不要遗漏回路
• 控制系统的传递函数
  • 开环传递函数
  • 输入作用下的闭环传递函数
  • 扰动作用下的闭环传递函数
  • 系统总输出
  • 闭环系统的误差传递函数
    • 系统误差定义
    • 输入作用下的误差传递函数
    • 扰动作用下的误差传递函数
    • 系统的总误差
  • 闭环系统的特征方程