几何图形思维导图

人教版初中数学七年级上册第四章《几何图形初步》知识点梳理，包含：1.几何图形（①几何图形 ②立体图形 ③平面图形 ④三视图 ⑤展开图 ⑥点线面体） 2.直线、射线、线段（①直线 ②射线和线段 ③三者区别于联系 ④尺规作图 ⑤线段的中点） 3.角（①角的相关概念 ②角的表示方法 ③角的单位及角度制 ④角的比较与运算 ⑤余角和补角 ⑥方向角）。

第四章 几何图形初步

• 4.1 几何图形
  • 几何图形
    • 把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形
  • 立体图形
    • 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形
    • 分类
      • 按形状分
        • 柱体
          • 圆柱
            • 特点
              • 1.上下底面是半径相等的两个圆面，互相平行。
              • 2.侧面是一个曲面
          • 棱柱
            • 特点
              • 1.上下地面是相同的多边形，互相平行
              • 2.直棱柱的侧面都是长方形
        • 椎体
          • 圆锥
            • 特点
              • 1.圆锥的侧面是一个曲面底
              • 2.面是圆面
              • 3.有一个顶点
          • 棱锥
            • 特点
              • 1.棱锥的侧面形状都是三角形
              • 2.底面都是多边形
              • 3.各侧面有一个公共顶点
        • 球体
          • 由一个封闭的曲面组成
        • 台体
          • 圆台
          • 棱台
      • 按构成分
        • 多面体
          • 由平面围成的立体图形
        • 旋转体
          • 绕某一轴旋转一周
    • 棱柱、棱锥的有关概念
      • 棱柱
        • 棱
          • 任何相邻两个面的交线叫作棱
        • 侧棱
          • 相邻两个侧面的交线叫作侧棱
          • 棱柱的侧棱长相等
        • 顶点
          • 棱柱的棱与棱的交点叫作顶点
        • 底面
          • 棱柱的上、下底面是相同的多边形
        • 侧面
          • 直棱柱的侧面都是长方形
        • 规律
          • 若棱柱的底面是n边形，则为n棱柱，它的侧棱有n条，棱有3n条，顶点有2n个，共有（n+2）个面
      • 棱锥
        • 棱
          • 任何相邻两个面的交线叫作棱
        • 侧棱
          • 相邻两个侧面的交线叫作侧棱
        • 顶点
          • 棱锥的各侧棱的公共点叫棱锥的顶点
        • 侧面
          • 棱锥的侧面都是三角形
        • 规律
          • 底面为n边形，就是n棱锥，有n条侧棱，2n条棱，（n+1)个顶点，（n+1）个面
  • 平面图形
    • 有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
    • 三角形、四边形、五边形、圆等
  • 从不同的方向观察立体图形
    • 观察一个物体，从不同的方向和角度看，可能看到不同的图形。因此，从正面、左面和上面3个不同的方向看一个物体，然后描绘出3次观察后看到的图，这样就可以把一个立体图形转化为平面图形
    • 三视图
      • 三视图
        • 主/正视图：从正面看到的图
          • 反映几何体的长和高
        • 左视图：从左面看到的图
          • 高和宽
        • 俯视图：从上面看到的图
          • 长和宽
      • 画三视图
        • 先确定物体主视图的位置，画主视图
        • 在主视图下面画俯视图
        • 在主视图右面画左视图
        • 看得见的部分的轮廓画实线，看不见的部分的轮廓画成虚线
        • 简单组合体，分割成规则的几何体来画
        • 注意事项
          • 主、俯视图要长对正
          • 主、左视图要高平齐
          • 左、俯视图要宽相等
      • 根据三视图描述几何体
        • 确定形状
        • 确定大小
          • 主、俯视图长相等
          • 主、左视图高相等
          • 左、俯视图宽相等
        • 综合成型
      • 根据三视图求几何体的体积或表面积
  • 立体图形的展开图
    • 定义
      • 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图
      • • 不是所有的立体图形都可以展成平面图形
          • 例如，球便不能展成平面图形
        • 不同的立体图形可展成不同的平面图形
        • 同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图
    • 正方体的展开图
      • 11种
        • 一四一
          • 6种
        • 二三一
          • 3种
        • 三三
          • 1种
        • 二二二
          • 1种
      • 相对面
        • “一”字型
        • “Z”字型
    • 常见几何体的展开图
      • 圆柱
        • 两个圆和一个长方形
          • 两个圆半径相等
          • 长方形的一条边的长等于底面圆的周长；另一条边的长等于圆柱的高
          • 
      • 圆锥
        • 一个扇形和一个圆组成
          • 
      • （直）棱柱
        • 两个多边形和若干个长方形
          • 两个多边形完全相同
          • 两个底面的位置。底面多边形的边数要与侧面长方形的个数相等，底面多边形各边要分别与侧面长方形的底边相等
          • 
      • 棱锥
        • 一个多边形和若干个三角形
          • 底面多边形的边数要与侧面三角形的个数相等，底面多边形各边要分别与侧面长方形的底边相等
            • 
            • 
  • 点、线、面、体
    • 体
      • 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体
    • 面
      • 包围着体的是面
        • 平的面
        • 曲的面
    • 线
      • 面和面相交的地方形成线
        • 直线
        • 曲线
    • 点
      • 线和线相交的地方形成点
    • • 从运动的观点看
        • 点动成线，线动成面，面动成体
• 4.2 直线、射线、线段
  • 直线
    • 概念
      • 把一条线段向两方无限延伸所形成的图形
    • 基本性质
      • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线
      • 两点确定一条直线
    • 表示
      • 
      • 用这条直线上的表示两个点的大写字母表示
        • 直线AB或直线BA
        • A、B为直线上任意两点
      • 用一个小写字母表示
        • 直线l
    • 特征
      • 无端点
      • 无方向
      • 无长短
    • 交点
      • 当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
    • 点与直线的位置关系
      • 
      • 点在直线上
        • 点A在直线m上，也可以说说：直线m经过点A
      • 点在直线外
        • 点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B
  • 射线与线段
    • 射线
      • 概念
        • 直线上一点和它一侧的部分叫射线
          • 这个点叫做射线的端点
      • 表示
        • 
        • 用它的端点和射线上的另一点表示
          • 射线OA
            • 点O是端点
          • 射线AO
            • 点A是端点
        • 用一个小写英文字母表示
          • 射线a
        • • 端点写在前面
      • 特征
        • 一个端点
        • 有方向
        • 无长短
      • • 将射线反向延伸也可形成直线
        • 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线
          • 
          • 射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线
    • 线段
      • 概念
        • 直线上两点和它们之间的部分叫做线段
      • 表示
        • 
        • 用表示端点的两个大写字母表示
          • 线段AB或线段BA
        • 用一个小写字母表示
          • 线段a
      • 特征
        • 两个端点
        • 无方向
        • 有长短
      • 基本性质
        • 两点的所有连线中，线段最短
          • 两点之间，线段最短
      • 两点的距离
        • 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
      • • 可以延长，也可以反向延长。延长线段AB，是从B点开始，沿着从A到B这个方向延长；反向延长线段AB，是从A点开始，沿着从B到A这个方向延长
        • 将线段向一个方向无限延伸就形成了射线
        • 将线段向两个方向无限延伸就形成了直线
  • 直线、射线、线段的区别于联系
    • 
  • 尺规作图
    • “作一条线段等于已知线段”
      • ①用圆规作一条线段等于已知线段
        • 
        • 用圆规在射线AC上截取AB＝a
      • ②用刻度尺作一条线段等于已知线段
        • 可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段
  • 比较两条线段长短的方法
    • 度量法
      • 用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短
    • 叠合法
      • 利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短
  • 线段的中点
    • 线段的中点
      • 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点
      • 
        • 点C是线段AB的中点
        • AB＝2AC＝2BC
    • 线段的条数
      • 方法
        • 不重不漏
        • 一般方法
          • 从左起第一个点数起，使第一个点和其右边的每个点各组合一次，得到(n-1)条线段，然后再从左起第二个点数起，使它和右边的每个点组合一次，又得到(n-2)条线段，...，最后再相加
        • • 若一条直线上有n个点，则线段的条数为
• 4.3 角
  • 角的有关概念
    • 角的概念
      • 静止观点
        • 有公共端点的两条射线组成的图形叫角。
          • 公共端点叫角的顶点
          • 两条射线叫角的两边
        • 
          • 角的顶点是点O
          • 边是射线OA、OB
      • 运动观点
        • 角可以看做是一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形
          • 起始位置的边叫作角的始边，终止位置的边叫角的终边
        • 
          • 射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角
    • 平角、周角
      • 平角
        • 射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角
      • 周角
        • 当起始射线OA又回到起始位置时，所成的角叫作周角
      • 
    • 角的表示方法
      • 角的几何符号用“∠”表示
      • 
      • • 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母
    • 角的画法
      • 用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角
        • 根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角
      • 用量角器可以画出任意给定度数的角
      • 利用尺规作图可以画一个角等于已知角
  • 角的比较与运算
    • 角的单位及角度制
      • 度量仪器
        • 量角器
      • 度量单位
        • 度、分、秒
        • • 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角
      • 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制
        • 1周角=360°
        • 1平角=180°
        • 1°=60′
        • 1′=60″
    • 角的比较方法
      • 度量法
        • 先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小
      • 叠合法
        • 把两角叠合在一起比较大小
          • 一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁
      • • 角的大小与角两边的长短无关，只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关
    • 角的和、差关系
      • 
      • • ∠AOB是∠1与∠2的和
          • 记作：∠AOB＝∠1+∠2
        • ∠1是∠AOB与∠2的差
          • 记作：∠1＝∠AOB-∠2
    • 角的平分线
      • 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫作这个角的角平分线
      • 
        • OC是∠AOB的角平分线
          • ∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC
          • ∠AOC＝∠BOC = ∠AOB
  • 余角和补角
    • 概念
      • 余角
        • 如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角
        • 若∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余；反之，若∠α与∠β互余，则∠α+∠β=90°
      • 补角
        • 如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补，其中的一个角叫作另一个角的补角
        • 若∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180°
    • 性质
      • 同角（等角）的余角相等
      • 同角（等角）的补角相等
    • • 互余互补指的是两个角的数量关系
      • 互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关
      • 一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α)。显然一个锐角的补角比它的余角大90°
  • 方向角
    • 方向角是以正北、正南方向作为“基准”，描述物体运动方向的角
    • 
      • 射线OA的方向是北偏东60°
      • 射线OB的方向是南偏西30°
      • 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点
    • • 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示
      • 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向
      • 东北、西北、东南、西南
        • 东北：北偏东45°
        • 西北：北偏西45°
        • 东南：南偏东45°
        • 西南：南偏西45°
  • 钟表中的角度
    • 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角
    • 时针每小时转30°
    • 分针1分钟转6°
    • 时针1分钟转0.5°