第十一章 三角形

人教版初中数学八年级上册第十一章《三角形》知识点梳理，包含：1.与三角形有关的线段（①三角形的边 ②三角形的分类 ③三边关系 ④三角形的高、中线与角平分线 ⑤三角形的稳定性） 2.与三角形有关的角（①三角形的内角 ②直角三角形 ③三角形的外角） 3.多边形及其内角和（①多边形 ②多边形的内角和、外角和）

第十一章 三角形

• 11.1 与三角形有关的线段
  • 定义
    • 三角形是由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相连组成的图形
      • 
    • • 基本元素
        • ①三角形的边
          • 即组成三角形的线段
            • 线段AB，AC，BC
            • 线段a，b，c
        • ②三角形的顶点
          • 即相邻两边的公共端点
            • 点A、点B、点C
        • ③三角形的角
          • 即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角
            • ∠A，∠B，∠C
      • 三个要求
        • ①不在同一条直线上
        • ②三条线段
        • ③首尾顺次相接
      • 表示
        • 三角形
          • 三角形用符号“△”表示
            • 单独的△没有意义
          • 顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”
            • 读作“三角形ABC”
        • 边
          • △ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示
          • 也可以用小写字母a、b、c来表示
            • 顶点A所对的边BC用a表示
            • 顶点B所对的边AC用b表示
            • 顶点C所对的边AB用c表示
  • 三角形的分类
    • 按边的关系
      • 三边都不相等的三角形
      • 等腰三角形
        • 底边和腰不相等的等腰三角形
        • 等边三角形
    • 按内角分类
      • 直角三角形
      • 斜三角形
        • 锐角三角形
        • 钝角三角形
  • 三边关系
    • 定理
      • 三角形任意两边之和大于第三边
    • 推论
      • 三角形任意两边之差小于第三边
    • • 理论依据
        • 两点之间线段最短
      • 应用
        • 判断三条线段能否组成三角形
          • 若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形
          • 反之，则不能组成三角形
        • 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围
      • 证明线段之间的不等关系
  • 三角形的高、中线与角平分线
    • 高
      • 从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高
      • 
        • AD是ΔABC的高
          • ∠ADB＝∠ADC＝∠90°
          • AD⊥BC于D
        • AD是ΔABC的BC边上的高
      • • 三角形的高是线段
        • 垂心
          • 三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心
        • 三条高
          • 锐角三角形
            • 三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部
          • 直角三角形
            • 其中两条恰好是直角边，三条高的交点是直角的顶点
          • 钝角三角形
            • 有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部
    • 中线
      • 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线
      • 
        • AD是ΔABC的中线
        • AD是ΔABC的BC边上的中线
      • • 三角形的中线是线段
        • 三角形三条中线全在三角形内部
        • 重心
          • 三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心
        • 中线把三角形分成面积相等的两个三角形
    • 角平分线
      • 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
      • 
        • AD是ΔABC的角平分线
          • ∠BAC=2∠BAD=2∠DAC
        • ∠BAD＝∠CAD且点D在BC上
      • • 三角形的角平分线是线段
        • 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部
        • 内心
          • 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心
        • 可以用量角器或圆规画三角形的角平分线
    • • 三角形的高、中线、角平分线都是线段
  • 三角形的稳定性
    • 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性
    • • 三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变
      • 四边形没有稳定性
        • 四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变
• 11.2 与三角形有关的角
  • 三角形的内角
    • 三角形的内角和
      • 三角形三个内角的和等于180°
      • • 直角三角形的两个锐角互余
        • 有两个角互余的三角形是直角三角形
    • 证明方法
      • 剪拼成平角
      • 通过作平行线构造平角
      • 构造两平行线下的同旁内角
  • 直角三角形
    • 表示
      • 直角三角形可以用符号“Rt△”表示
      • 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC
    • 性质
      • 直角三角形的两个锐角互余
    • 判定
      • 有两个角互余的三角形是直角三角形
      • • 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形
    • • 如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形
  • 三角形的外角
    • 定义
      • 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
      • 
        • 如图，∠ACD是△ABC的一个外角
    • • ①顶点在三角形的一个顶点上
      • ②一条边是三角形的一边
      • ③另一条边是三角形某条边的延长线
      • 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角
    • 性质
      • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
      • 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角
    • 三角形的外角和
      • 三角形的外角和等于360°
• 11.3 多边形及其内角和
  • 多边形
    • 定义
      • 在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形
      • • 三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形
        • 其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形
          • 同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可
  • 相关概念
    • 边
      • 组成多边形的各条线段叫做多边形的边
    • 顶点
      • 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点
    • 内角
      • 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角
    • 外角
      • 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
    • 对角线
      • 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
      • 对角线条数公式
        • 
      • 过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形
    • 
    • 多边形分类
      • 画出多边形的任何一边所在的直线
        • 如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形
        • 如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形
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  • 多边形的内角和、外角和
    • 多边形内角和
      • n边形内角和公式
        • （n-2）*180°（n≥3）
      • 正多边形的每个内角都相等
    • 多边形外角和
      • 多边形的外角和恒等于360°
      • • 在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和
        • n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关
        • 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于
    • 镶嵌
      • 定义
        • 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)
        • 这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同
      • • 拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边
        • 用正多边形实现镶嵌的条件
          • 边长相等
          • 顶点公用
          • 在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°
        • 只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形
          • 只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用