第十四章 整式的乘法与因式分解

人教版初中数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点梳理，包含：1.整式的乘法（①同底数幂的乘法 ②幂的乘方 ③积的乘方 ④整式的乘法 ⑤同底数幂的除法 ⑥零指数幂的意义 ⑦单项式除法法则 ⑧多项式除以单项式法则） 2.乘法公式（①平方差公式 ②完全平方公式 ③添括号法则） 3.因式分解（①因式分解的概念及与整式乘法的关系 ②因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法 、分组法等）

第十四章 整式的乘法与因式分解

• 14.1 整式的乘法
  • 同底数幂的乘法
    • 意义
      • 同底数幂是指底数相同的幂
        • 底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式
    • 法则
      • 
        • m,n是正整数
        • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
    • • 公式的推广
        • 
          • m,n,p都是正整数
      • 逆用公式
        • 把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数
        • 
          • m,n是正整数
      • 同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加
      • 带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯
  • 幂的乘方
    • 
      • m,n是正整数
      • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
    • • 公式的推广
        • 
          • m，n，p都是正整数
      • 逆用公式
        • 
  • 积的乘方
    • 
      • n是正整数
      • 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
      • 积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方
    • • 公式的推广
        • 
          • n是正整数
      • 逆用公式
        • 
        • 简化运算，尤其是遇到底数互为倒数时
          • 
  • 利用幂的运算法则比较大小
    • 所给幂的指数、底数均不相同，且指数较大时，可利用幂的乘方性质化为同指数的幂，根据底数大小关系确定所给幂的大小关系
  • 整式的乘法
    • 单项式乘单项式
      • 法则
        • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
        • • 实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用
          • 运算的结果仍为单项式
          • 三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则
      • 步骤
        • 1.把它们的系数相乘，包括符号的计算
          • 积的系数等于各系数的积
          • 先确定符号，再计算绝对值
        • 2.相同字母相乘，是同底数幂的乘法
          • 按照“底数不变，指数相加”进行计算
        • 3.只在一个单项式里含有的字母及其指数不变
        • 4.将这三部分的乘积作为计算的结果
    • 单项式乘多项式
      • 法则
        • 先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加
        • 
      • • 实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题
        • 积为一个多项式，其项数与多项式的项数相同，不要漏乘项
        • 计算的过程中要注意符号问题
          • 多项式中的每一项包括它前面的符号
          • 还要注意单项式的符号
        • 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果
    • 多项式乘多项式
      • 法则
        • 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
        • 
      • • 多项式与多项式相乘，仍得多项式
        • 在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积
        • 多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并
        • 特殊的二项式相乘
          • 
  • 同底数幂的除法
    • 
      • a≠0，m,n是正整数
      • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
    • 当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质
  • 零指数幂的意义
    • 
      • a≠0
      • 任何不等于0的数的0次幂都等于1
      • • 任何一个常数都可以看作与字母0次方的积
        • 因此常数项也叫0次单项式
  • 单项式除法
    • 法则
      • 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
    • • ①系数相除
      • ②同底数幂相除
      • ③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式
      • 单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式
  • 多项式除以单项式
    • 法则
      • 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
      • 
    • • 由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式
      • 利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化
• 14.2 乘法公式
  • 平方差公式
    • 公式
      • 
      • 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
      • • a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式
    • 常见类型
      • 位置变化
        • 
      • 系数变化
        • 
      • 指数变化
        • 
      • 符号变化
        • 
      • 增项变化
        • 
      • 增因式变化
        • 
  • 完全平方公式
    • 公式
      • （a+b）²=a²+2ab+b²
      • （a-b）²=a²-2ab+b²
      • 两个数的和（或差）的平分，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
    • 常见类型
      • 
      • 
  • 添括号法则
    • 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
    • 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
    • • 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确
  • 补充公式
    • 
    • 
    • 
    • 
• 14.3 因式分解
  • 因式分解的概念及与整式乘法的关系
    • 概念
      • 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式
      • • 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式
        • 是对这个多项式的整体，而不是部分
        • 因式分解的结果只能是整式的积的形式
        • 要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止
    • 因式分解与整式乘法的关系
      • 因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆
        • 因式分解是一种恒等变形
        • 整式乘法是一种运算
  • 因式分解的方法
    • 公因式
      • 定义
        • 多项式的各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式
        • • 公因式必须是每一项中都含有的因式
          • 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
      • 确定方法
        • 系数
          • 当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数
        • 字母
          • 字母应取各项相同的字母，且各字母的指数均取次数最低的
    • 方法
      • 提公因式法
        • 确定公因式，逆用乘法分配律
        • 
        • • 多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号
          • 若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误
      • 公式法
        • 平方差公式
          • 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积
          • a²-b²=（a+b）*（a-b）
        • 完全平方公式
          • 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方
          • 
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          • a²±2ab+b²=（a±b）²
        • • 注意字母和的广泛意义
          • 可以是字母，也可以是单项式或多项式
      • 十字相乘法
        • 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
        • 对于二次三项式x²+bx+c，若存在
          • 
        • • 在对x²+bx+c分解因式时
            • 先从常数项 的正、负入手
              • 若c＞0，则p,q同号
              • 若c＜0，则p,q异号
            • 然后依据一次项系数b的正负,再确定p、q的符号
            • 若b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止
        • 首项系数不为1的十字相乘法
          • 在二次三项式 ( a≠0)中
            • 二次项系数a可以分解成两个因数之积
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            • 常数项c可以分解成两个因数之积
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              • 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于b
              • 即
          • • 二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上
      • 分组分解法
        • 把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解
        • 先对题目进行分组，然后再分解因式
      • 添、拆项法
        • 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解
        • 必须在与原多项式相等的原则下进行变形
  • 因式分解的步骤
    • ①提取公因式
      • 无公因式，考虑②
      • 有公因式，提取公因式后，看括号内。项数与原式项数一样
    • ②确定项数
      • 两项
        • 平方差公式
      • 三项
        • 完全平方公式
        • 十字相乘
      • ≥4
        • 分组
        • • 分完组以后，再把各小组看做独立的整体，考虑①②
          • 分组的依据
            • 组与组之间因式分解后，能联系到一起，化加减为乘
    • • 一定要确认是否分解彻底