二次函数知识汇总

一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。人教版初中数学九年级上册二次函数知识点包含二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数。

第二十二章 二次函数

• 22.1 二次函数的图象和性质
  • 二次函数
    • 概念
      • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
      • • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
        • x是自变量，y是x的函数
        • 等号的右边是一个整式——不是分式
        • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
      • • 若b=0
          • 则y=ax²+c
        • 若c=0
          • 则y=ax²+bx
        • 若b=c=0
          • 则y=ax²
        • 二次函数的特殊形式
  • y=ax²和y=a（x-h）²+k的图像与性质
    • y=ax²（a≠0）
      • 它是一条关于y轴左右对称的、平滑的曲线，这样的曲线叫做抛物线
      • 顶点
        • 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点
      • 
      • • |a|越大，抛物线的开口越小，图像两边越靠近y轴
        • |a|越小，抛物线的开口越大，图像两边越远离y轴
        • 理解抛物线y＝ax²与y＝－ax²的关系
          • 抛物线y＝ax²与y＝－ax²关于x轴成轴对称，关于原点成中心对称
    • y=ax²+c（a≠0）
      • 
    • y=a（x-h）²
      • 
    • y=a（x-h）²+k（a≠0）
      • 
  • y=ax²+bx+c的图像与性质(a≠0)
    • 
  • 用待定系数法求二次函数解析式
    • 方法
      • 待定系数法
    • 二次函数解析式
      • 一般式
        • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
        • • 已知抛物线上任意三点坐标
      • 顶点式
        • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
          • （h,k）是抛物线的顶点
        • • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
      • 交点式（两点式）
        • 
        • • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
          • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
      • • 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式
        • 并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示
        • 一般式与顶点式的互换
    • 步骤
      • ①设
        • 根据题意，设合适的二次函数解析式
      • ②代
        • 把相关已知条件，代入二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）
      • ③解
        • 解此方程或方程组，求待定系数
      • ④还原
        • 将求出的待定系数还原到解析式中
  • 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
        • 解析式化为顶点式
      • 
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
  • 二次函数图像与a,b,c的关系
    • 
• 22.2 二次函数与一元二次方程
  • 关系
    • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
    • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
    • 
  • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
    • 步骤
      • 作出函数的图象，并由图象确定交点个数，即方程解的个数
      • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
      • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
    • 方法
      • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
      • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
      • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
  • 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
    • 当∆＞0时，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点为
    • 
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      • 
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• 22.3 实际问题与二次函数
  • • 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式
  • 基本思路
    • 审清题意，理解问题
      • 弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)
    • 设出两个变量
      • 注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确
    • 列函数表达式
      • 抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数
    • 用数学方法求解
    • 检验结果的合理性
  • 注意
    • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
    • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
  • 具体步骤
    • 1.自变量
    • 2.建立函数解析式
    • 3.建立自变量取值范围
    • 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值或其他
    • 5.验证，写答