向量知识导图

在数学中，向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量，指具有大小和方向的量，它可以形象化地表示为带箭头的线段。本图梳理了向量点乘和向量叉乘，赶快收藏下图学习吧！

向量基础

• 向量点乘（略）
  • 写成矩阵乘法
  • 判断前进还是后退
• 向量叉乘
  • 判断一个向量在另一个向量的左边还是右边
    • 一个平面内的两个向量，向量a叉乘b 判断叉乘结果向量的方向跟垂直于平面的方向是相同还是相反 如果是a和b在xy平面上，那么只需判断aXb的z轴分量的正负号即可判断左右
  • 判断一个点是否在三角形内
    • 三个向量方向是否相同，相同则点P在三角形内
  • 写成矩阵乘法
    • • dual matrix of vector a符号跟伴随矩阵一样,但貌似不是伴随矩阵的样子

变换

• 缩放
• 反射
  • 反射也认为是缩放的一种 是带符号的缩放
  • 沿x轴反射
• 剪切
• 旋转
  • 我们把所有的旋转都认为是绕远点的旋转
  • 如果需要求沿着某个点旋转的矩阵，就先把该点平移到原点
    • 1.将旋转中心平移到原点
    • 2.旋转
    • 3.再讲旋转中心平移回原来的位置
• 线性变换
• 平移
  • 平移不能用线性变换实现
  • 所以引入了齐次坐标（Homogenous Coordinates）
    • 齐次坐标中的点w值为1
    • 点的坐标还能表示为
    • 齐次坐标中向量的w值为0
    • 这样向量就拥有一个性质:平移不变性 通过平移，点的坐标会发生改变，但是向量不会改变
  • 引入齐次坐标以后，平移可以写成向量乘法了
  • 齐次坐标的加减法
  • 仿射变换=线性变换+平移
    • Affine Transformations
• 变换顺序和矩阵乘法
  • Note that matrices are applied right to left
  • 如上面式子所示的变换中，起作用的顺序是先A1后A2再A3一直到An 但是我们可以先把所有的矩阵预先乘起来
• 逆变换
  • 用矩阵的逆实现

缩放

• 缩放
• 位移
• 围绕某个坐标轴旋转
  • • 注意Ry的符号，可以画图推导 但直观地理解为: z轴叉乘x轴为y轴
• 一般的旋转
  • 欧拉角
• 绕任意轴旋转
  • 罗德里格斯旋转方程

View

• 定义一个摄像机
  • 位置点
  • 观察方向
  • 头顶方向
• 关键观察
  • 如果镜头和所有Objects和镜头一起移动，那么“照片”会保持一样
  • 所以我们永远把镜头转换到原点，头顶朝Y，看向-Z 并且将这个对镜头的变换应用在所有物体上
• 转换过程
  • 1.translate e to orgin
  • 2.Rotates g to -Z
  • 3.Rotates t to Y
  • 4.Rotates (g x t) To X
  • 考虑他们的反变换，将x轴转换到（g叉乘t） Y轴旋转到t Z轴旋转到-g，考虑这样的一个矩阵会长什么样
    • • 这个旋转相对好求，考虑（1，0，0），（0,1,0）和（0,0,1） 跟什么矩阵相乘得到转换后的镜头向量即可！！ （也可以理解为线性变换的标准矩阵,看线性代数及其变换P72
    • • 一组正交基向量组成的矩阵定是正交矩阵 一组正交基向量经过旋转后仍然是正交向量

Projection

• 对比
• 正交投影
  • 投影区间
    • 用立方体[l,r]×[b,t]×[f,n]表示
  • • 先平移立方体的中心到原点 然后再将各边长度缩放为2
• 透视投影
  • 示意图
    • 思路：先将视锥经过某个变换转换成Cuboid！ 然后再应用正交投影的变换即可
  • 思路step1：找到近平面的点(x',y',z')和远平面的点(x,y,z)的关系 经过“挤压”后远平面的x会变成x'，y会变成y'
    • 由相似三角形得
  • 思路step2:将转换后的坐标值(x,yz,1) 等价为求齐次坐标值(nx,ny,??,z)
    • 注意我们并不希望在转换矩阵中出现 任何未知数或跟坐标点相关的数
    • 等价的坐标求解
    • • 因为
  • 思路step3:近平面上的点坐标并不会变！ 也就是（x，y，n，1）点坐标不会变
    • 将近平面点带入方程有
    • 由于我们不希望矩阵中出现坐标值,所以第三行的格式为
  • 思路step4:远平面上的点坐标并不会变！ 也就是（x，y，f，1）点坐标不会变
    • 将远平面点带入方程有
    • 由于我们不希望矩阵中出现坐标值,所以第三行的格式为
  • 思路step5:解联立方程组
  • 全部矩阵为
• 视口变换
  • 屏幕
    • 屏幕左下角是原点 第一个像素下表是0,0 第一个像素中心点坐标是0.5,0.5
• 透视镜头视锥的定义 由两个概念即可定义一个视锥
  • field-of-view也就是fovY
  • aspect ratio
  • 概要
  • 公式