高中数学基础知识（一元二次函数、方程和不等式）

这是一篇关于高中数学基础知识（一元二次函数、方程和不等式）的思维导图，包含等式性质与不等式性质、基本不等式(均值不等式)等。系统地概述了高中数学中一元二次函数、方程和不等式的基本概念、性质和求解方法。

一元二次函数、方程和不等式

• 二次函数与一元二次方程、不等式
  • 二次函数
    • 二次函数的图象
      • 函数y=x²与函数y=ax²（a≠0）的图象间的关系
        • y=ax²（a≠0）的图象由y=x²的图象各点横坐标不变，纵坐标变成原来a倍得到
        • a决定图象开口方向和开口大小，a越大图象开口越小
      • 函数y=ax²（a≠0）与函数y=a(x+h)²+k（a≠0）的图象间的关系
        • y=ax²经过{h＞0，向左平移h个单位长度；h＜0向右平移h个单位长度}得到y=a(x+h)²
        • y=a(x+h)²经过{k＞0，向上平移k个单位长度；k＜0，向下平移k个单位长度}得到y=a(x+h)²+k
      • 函数y=ax²+bx+c（a≠0）经过配方化为y=a(x+h)²+k的形式后，再通过y=ax²（a≠0）图象左右上下平移得到
    • 二次函数的性质
      • 二次函数的三种性质
        • 若已知二次函数的顶点坐标（-h，k），则二次函数可以表示为y=a(x+h)²+k（a≠0）
        • 若已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2（抛物线与横坐标X轴的交点），则二次函数可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）
      • 函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质
        • 函数a＞0
          • 开口方向
            • 向上
          • 顶点坐标
            • （-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)）
          • 对称轴
            • x=-b/(2a)
          • 最大值、最小值问题
            • 当x=-b/(2a)时，函数有最小值(4ac-b²)/(4a)；无最大值
        • 函数a＜0
          • 开口方向
            • 向下
          • 顶点坐标
            • （-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)）
          • 对称轴
            • x=-b/(2a)
          • 最大值、最小值问题
            • 当x=-b/(2a)时，函数有最大值(4ac-b²)/(4a)；无最小值
  • 一元二次方程的概念
    • 概念
      • 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次为二次的方程
    • 一般形式：y=ax²+bx+c （a≠0 ）
    • 一元二次方程的解
      • 也叫一元二次方程的根
    • 1. a≠0 时才可以说方程是一元二次方程 2. 若文字表述明确y=ax²+bx+c是一元二次方程，即隐含 a≠0 的条件 3. c为常数项（或可以看成零次项的系数）
  • 一元二次方程的解法
    • 直接开平方解一元二次方程
      • 一般的，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法
      • 对于形如(ax+b)²=c（c≥0）的一元二次方程，解得x=(±Ö(c) -b)/a
      • 注意：直接开平方法时c≥0，且开平方时要注意有±√c
    • 配方法解一元二次方程
      • 定义
        • 形如ax²+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程变形成为左端是一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可以直接开平方法来求解
      • 一般步骤
        • 移项
          • 使方程左端只含有二次项和一次项，右端为常数项
        • 化a为1
          • 方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1
        • 配方
          • 方程两边都加上一次项系数一半的平方（ 即：加上一般形式下的[b/(2a)]² ） 把原方程化为(x-n)²=m的形式（即转化为：[x+b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²)）
            • 若m≥0，则直接开平方法解
            • 若m＜0，则原方程无实数根，即方程无实数解
    • 公式法解一元二次方程
      • ax²+bx+c=0（a≠0）中，当b²-4ac≥0时，将a，b，c带入式子x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)得到方程的根
      • 一元二次方程的求根公式的推导过程有配方法中一般步骤配方后开平方移项得到
        • 使用公式法解一元二次方程的前提是b²-4ac≥0，其中∆=b²-4ac称为判别式
        • 若∆=b²-4ac＞0，则方程有两个不相同的实数根，x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
        • 若∆=b²-4ac=0，则方程有两个相同的实数根，x1=x2=-b/(2a)
        • 若∆=b²-4ac＜0，则没有实数根
        • ∆=b²-4ac的作用 1.不解方程判断根的情况 2.根据方程的情况确定字母系数的取值范围 3.讨论并解决与一元二次方程的根有关的问题 4.∆=0说明方程有两个相同的根，而不是只有一个根
      • 公式法解一元二次方程的一般步骤
        • 化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）
        • 确定a，b，c的值
        • 计算∆=b²-4ac的值
        • 根据∆=b²-4ac的值判断根的情况
        • 若存在实数根，则使用公式法解方程x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
        • 1.方程中含有未知的字母时，需要将其看作常数，先将方程整理成关于未知数的方程的一般形式，再在b²-4ac≥0的前提下使用求根公式 2.要注意考虑题目中字母的取值范围，进行讨论
    • 因式分解法解一元二次方程
      • 因式分解法的定义
        • 定义
          • 解一元二次方程时，先因式分解，使得方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
      • 理论依据
        • 两个因式的乘积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零，即 若ab=0，则a=0，或b=0
      • 主要方法
        • 提取公因式法
        • 利用平方差公式
          • a²-b²=(a+b)(a-b)
        • 利用完全平方公式
          • a²±2ab+b²=(a±b)²
        • 十字相乘法
          • 若x²+Cx+D=0中，能够找到D=ab，C=a+b，则x²+Cx+D=(x+a)(x+b)
    • 一元二次方程的根与系数的关系
      • 根与系数之间的关系
        • 韦达定理
          • x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
      • 根与系数之间关系的重要推论
        • 推论1
          • 如果方程x²+px+q=0,则x1+x2=-p，x1·x2=q
        • 推论2
          • 以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)可以表示为：x²-(x1+x2)x+x1·x2=0
        • 包含的条件
          • 方程是一元二次方程，即二次项系数不为零，a≠0
          • 方程有实数根，即若∆=b²-4ac≥0
        • 推论变式
          • x1²+x2²=(x1²+2x1·x2+x2²)-2x1·x2=(x1+x2)²-2x1·x2
          • 1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1·x2)
          • (x1+a)(x2+a)=x1·x2+a(x1+x2)+a²
          • |x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1+x2)²-4x1·x2)
      • 根与系数的关系进行讨论根的符号
        • 若一元二次方程ax²+bx+c=0 （a≠0）的两根是x1，x2 则
          • ∆≥0，且x1·x2＞0
            • x1+x2＞0
              • 两根同为正数
            • x1+x2＜0
              • 两根同为负数
          • ∆＞0，且x1·x2＜0
            • x1+x2＞0
              • 两根异号且正根绝对值较大
            • x1+x2＜0
              • 两根异号且负根绝对值较大
    • 方程及方程组的解集
      • 一般的，把一个方程所有的解组合的集合称为这个方程的解集
      • 各个方程的解集的交集即为方程组的解集
  • 一元二次不等式
    • 概念
      • 定义
        • 一般的我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是ax²+bx+c＞0，或ax²+bx+c＜0，其中a、b、c均为常数，a≠0
      • 表达式，其中a、b、c均为常数，a≠0
        • ax²+bx+c≤0
        • ax²+bx+c＜0
        • ax²+bx+c≥0
        • ax²+bx+c＞0
      • 解集，其中a、b、c均为常数，a≠0
        • ax²+bx+c≥0
          • 使得y=ax²+bx+c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
        • ax²+bx+c＞0
          • 使得y=ax²+bx+c的函数值为正数的自变量x的取值集合
        • ax²+bx+c≤0
          • 使得y=ax²+bx+c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
        • ax²+bx+c＜0
          • 使得y=ax²+bx+c的函数值为负数的自变量x的取值集合
    • 二次函数的零点
      • 一般的，对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx+c=0的实数x叫做y=ax²+bx+c的零点
    • 一元二次不等式的解法
      • ∆=b²-4ac
        • ∆=b²-4ac＞0
        • ∆=b²-4ac＝0
        • ∆=b²-4ac＜0
      • y=ax²+bx+c
        • y=ax²+bx+c＞0
        • y=ax²+bx+c=0
        • y=ax²+bx+c＜0
      • 结合判别式和函数的不等式关系，通过图象分析来解不等式的解
    • 分式不等式的解法
      • 分式不等式的4种形式及解法
        • f(x)/g(x)＞0 ⇔ f(x)·g(x)＞0
        • f(x)/g(x)＜0 ⇔ f(x)·g(x)＜0
        • f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0，且g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)＞0，且f(x)=0
        • f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0，且g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)＜0，且f(x)=0
      • 不等式与不等式组的同解关系
        • f(x)·g(x)≥0
          • f(x)≥0，且g(x)≥0
          • 或f(x)≤0，且g(x)≤0
        • f(x)·g(x)≤0
          • f(x)≥0，且g(x)≤0
          • 或f(x)≤0，且g(x)≥0
    • 不等式的恒成立问题
      • 不等式的解集为R（或恒成立）的条件
        • y=ax²+bx+c
          • 若a=0
            • b=0，c＞0
              • y=ax²+bx+c＞0恒成立
            • b=0，c＜0
              • y=ax²+bx+c＜0恒成立
          • 若a≠0
            • a＞0，∆＜0
              • y=ax²+bx+c＞0恒成立
            • a＜0，∆＜0
              • y=ax²+bx+c＜0恒成立
      • 不等式恒成立求参数取值范围的方法
        • y=f(x)≤a恒成立 ⇔ f(x)max≤a
        • y=f(x)≥a恒成立 ⇔ f(x)min≥a
  • 一元二次方程根的分布情况
    • 前提条件
      • 设方程ax²+bx+c=0(∆＞0，a≠0)有两个不相等的根 x1，x2，且x1＜x2，相应的函数为y=ax²+bx+c
    • 情况一：两根与0的大小比较，即根的正负情况比较
      • a＞0
        • x1＜x2＜0
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ 0 ③f(0)＞0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ 0 ③a·f(0)＞0
        • 0＜x1＜x2
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ 0 ③f(0)＞0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ 0 ③a·f(0)＞0
        • x1＜0＜x2
          • ①f(0)＜0
            • ①a·f(0)＜0
      • a＜0
        • x1＜x2＜0
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ 0 ③f(0)＜0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ 0 ③a·f(0)＞0
        • 0＜x1＜x2
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ 0 ③f(0)＜0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ 0 ③a·f(0)＞0
        • x1＜0＜x2
          • ①f(0)＞0
            • ①a·f(0)＜0
    • 情况二：两根与k的大小比较
      • a＞0
        • x1＜x2＜k
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ k ③f(k)＞0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ k ③a·f(k)＞0
        • k＜x1＜x2
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ k ③f(k)＞0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ k ③a·f(k)＞0
        • x1＜k＜x2
          • ①f(k)＜0
            • ①a·f(k) ＜ 0
      • a＜0
        • x1＜x2＜k
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ k ③f(k)＜0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＜ k ③a·f(k)＞0
        • k＜x1＜x2
          • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ k ③f(k)＜0
            • ①∆＞0 ②对称轴-b/(2a) ＞ k ③a·f(k)＞0
        • x1＜k＜x2
          • ①f(k)＞0
            • ①a·f(k) ＜ 0
    • 情况三：根在区间上的分布，其中m＜n＜p＜q
      • a＞0
        • m＜x1＜x2＜n
          • ①∆＞0 ②f(m)＞0 ③f(n)＞0 ④m＜对称轴-b/(2a) ＜n
            • ①∆＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜对称轴-b/(2a) ＜n
        • m＜x1＜n＜x2，或者x1＜m＜x2＜n
          • ①f(m)·f(n) ＜ 0
            • ①f(m)·f(n) ＜ 0
        • m＜x1＜n＜p＜x2＜q
          • ①f(m)＞0 ②f(n)＜0 ③f(p)＜0 ④f(q)＞0 或 ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0
            • ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0
      • a＜0
        • m＜x1＜x2＜n
          • ①∆＞0 ②f(m)＜0 ③f(n)＜0 ④m＜对称轴-b/(2a) ＜n
            • ①∆＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜对称轴-b/(2a) ＜n
        • m＜x1＜n＜x2，或者x1＜m＜x2＜n
          • ①f(m)·f(n) ＜ 0
            • ①f(m)·f(n) ＜ 0
        • m＜x1＜n＜p＜x2＜q
          • ①f(m)＜0 ②f(n)＞0 ③f(p)＞0 ④f(q)＜0 或 ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0
            • ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0
    • 情况四：根在区间上的分布，x1＜m，x2＞n
      • a＞0
        • ①f(m)＜0 ②f(n)＜0
      • a＜0
        • ①f(m)＞0 ②f(n)＞0
    • 特殊情况
      • i
        • 若在给定的f(x)函数区间(m,n)中，存在f(m)=0，或f(n)=0，此时不满足f(m)·f(n)＜0.由f(m)=0，或f(n)=0易知m或n为方程其中一个解，即方程可以写成ax²+bx+c=(x-m)·(Ax+B)的形式，即表示方程中存在一个因式(x-m)【或(x-n)】,则可以求出方程的另一个根，从而判断是否属于区间(m，n)，求出参数的值或范围
      • ii
        • 以上情况一、情况二、情况三及情况四都是在∆＞0时进行的讨论得出的结果，忽略了∆=0的情况，实际解题时务必考虑∆=0时是否存在满足条件的参数取值
• 基本不等式(均值不等式)
  • 重要不等式
    • 若a、b∈R，
      • 则a²≥0（当且仅当a=0时取到等号的情况）
      • |a|≥0，（当且仅当a=0时取到等号的情况）
      • (a-b)²≥0
      • a²+b²≥2ab
      • [(a²+b²)/2]≥[(a+b)/2]²
      • (a+b)²≥4ab
      • 当且仅当a=b时取到等号的情况
  • 基本不等式
    • 若a＞0，b＞0
      • 则：(2ab)/(a+b)≤(ab)^(1/2)≤(a+b)/2≤[(a²+b²)/2]^(1/2)
        • 基本不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
          • 记忆：调几算方
    • 基本不等式求最值问题时需要满足一正二定三相等
    • 正数之和为定值，则正数之积有最大值
    • 正数之积为定值，则正数之和有最小值
  • 基本不等式的拓展
    • 三个正数的算术平均数——几何平均数不等式
      • 若a，b，c∈R，则：(a+b+c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
        • 当且仅当a=b=c时，等号成立
    • n个正数的算术平均数——几何平均数不等式
      • 若A1，A2，……An∈R，则：(A1+A2+……+An)/n ≥ (A1·A2·……An)^(1/n)
• 等式性质与不等式性质
  • 等式与不等式
    • 等式的概念
      • 含有等号的式子叫做等式
    • 不等式的概念
      • 用数学符号≠ ＞ ＜ ≥ ≤连接两个数或者代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式
    • 同向不等式与异向不等式的概念
      • 同向不等式
        • 若两个不等式的左边都大于（或者小于）右边，则称这两个不等式为同向不等式
      • 异向不等式
        • 若一个不等式的左边大于右边，另一个不等式的右边大于左边，则称这两个不等式为异向不等式
    • 常用的不等号
      • 大于 ＞，小于 ＜，大于等于(至少，不少于) ≥，小于等于(至多，不多于) ≤
    • 作差法比较两实数（代数式）大小
      • a-b＞0，则a＞b
      • a-b＜0，则a＜b
      • a-b=0，则a=b
      • 比较任意两个实数，只需要确定它们的差值与0的大小关系即可
  • 等式的基本性质
    • 若a=b，则b=a
    • 若a=b，b=c，则a=c
    • 若a=b，则a±c=b±c
    • 若a=b，则ac=bc
    • 若a=b，则a/c=b/c （c≠0）
    • 拓展：若a=b，则a^n=b^n （n∈N,N≥2）
    • 拓展：若a=b＞0，则a^(1/n)=b^(1/n) （n∈N,N≥2）
  • 不等式的性质
    • 1对称性
      • a＞b⇔b＜a
        • 可逆
    • 2传递性
      • a＞b，b＞c⇒a＞c
        • 同向
    • 3可加性
      • a＞b⇔a+c＞b+c
        • 可逆
    • 移项法则
      • a+b＞c⇔a＞c-b
        • 可逆
    • 4可乘性
      • a＞b，且c＞0⇒ac＞bc a＞b，且c＜0⇒ac＜bc
        • 注意c＞0或c＜0的情况
    • 5同向可加性
      • a＞b，且c＞d，⇒a+c＞b+d
        • 同向可加
    • 6同向同正可乘性
      • a＞b＞0，且c＞d＞0，⇒ac＞bd
        • 同向同正可乘
    • 7可乘方性
      • a＞b＞0，⇒a^n＞b^n （n∈N,N≥2）
        • 同正可乘方
    • 同向不等式不能相减，异向不等式不能相加
  • 常用的不等式关系
    • 倒数性质
      • a＞b，ab＞0，⇒(1/a)＜(1/b)
        • 不等式性质4
      • a＜0＜b，⇒(1/a)＜(1/b)
      • a＞b＞0，且0＜c＜d，⇒(a/c)＞(b/d)
      • 0＜a＜x＜b（或者a＜x＜b＜0），⇒(1/b)＜(1/x)＜(1/a)
    • 分数性质
      • 若a＞b＞0，m＞0，则
        • 真分数性质
          • (b/a)＜[(b+m)/(a+m)]
          • (b/a)＞[(b-m)/(a-m)]，其中b-m＞0
          • 即：真分数分子分母同时加上同一个正数，分数的值变大
        • 假分数性质
          • (a/b)＞[(a+m)/(b+m)]
          • (a/b)＜[(a-m)/(b-m)]，其中b-m＞0
          • 即：假分数分子分母同时加上同一个正数，分数的值变小