【高中数学】函数的概念与性质

【高中数学】函数的概念与性质，定义：非空实数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在非空实数集B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A , x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

函数的概念与性质

• 函数的概念及表示方法
  • 函数基本知识
    • 函数的定义
      • 非空实数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在非空实数集B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A , x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
      • 注意事项
        • 集合A、B都是非空集合
        • 对应关系满足三性，即：任意性、唯一性、存在性
          • 集合A中的任意元素(任意性)在集合B中都存在(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应
        • 集合A中无剩余性 对应到集合B中
        • 集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是集合B的子集
        • 对应关系可以是一对一或者多对一，但是不能是一对多
    • 函数的三要素
      • 定义域、值域、对应关系
        • 定义域相同、对应关系一致的函数称为相同函数(同一函数)
          • 定义域和值域相同的函数不一定是同一函数
      • 常见函数的定义域
        • 分式要考虑分母不为零
        • 偶次根式考虑被开方数大于等于零
        • 指数幂考虑使得指数幂运算有意义的实数集合
        • 对数式考虑真数为正数，底数为正数且不等于1的实数集合
        • 指数函数的底数大于0且不等于1
        • 正切函数的考虑{x | x≠k·π + π/2，k∈Z}
        • 实际问题需要考虑真实性问题
      • 函数定义域的注意事项
        • 函数f（g(x)）的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围
        • 求函数定义域前，先不要简化函数解析式
        • 函数定义域表现形式是集合或者区间的形式
        • 函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)与g(x)的定义域的交集
      • 抽象函数的定义域
        • 若f(x)的定义域为[a , b],则复合函数f（g(x)）的定义域是由a ≤ g(x) ≤ b来求出
        • 若复合函数f（g(x)）的定义域为[a , b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a ，b]时的值域
        • 函数f（g(x)）的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围
    • 函数的表示方法
      • 列表法
      • 图象法
      • 解析法
        • 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
    • 函数解析式的4种方法及适用条件
      • 待定系数法
      • 换元法
      • 配凑法
      • 解方程组法
  • 区间的概念及表示
    • 区间是数集的另一种表示方法
      • 实数R集也可以用区间（-∞，+∞）表示
    • ∞是一个符号，不是数
  • 分段函数
    • 概念
      • 在函数的定义域内对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数
    • 注意事项
      • 分段函数一个函数，而不是多个函数
      • 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集
      • 各段分段函数的定义域的交集是空集
      • 分段函数的最大值是取各段分段函数的最大值中的最大值
      • 分段函数的自变量x不确定时，必须要先进行分类讨论
      • 出现f(f(a))求值的形式时，应由内到外逐层求值
  • 映射的概念
    • 设A、B是两个非空集合，按照某一种确定的方式f使得A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y对应，及f：A→B，就是A到B的一个映射
    • 注意事项
      • 映射具有方向性
      • 映射具有唯一性，即A到B可以是一对一，或者多对一，不能是一对多(唯一性)
  • 函数的图象变换
    • 平移变换
      • y=f(x)沿着x轴向左或者向右平移|a|个单位长度可得到y=f(x+a)
      • y=f(x)沿着y轴向上或者向下平移|h|个单位长度可得到y=f(x)+h
    • 伸缩变换
      • y=f(x)图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍(k＞1则伸长，0＜k＜1则缩短)得到y=k·f(x)
      • y=f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变成原来的1/k(k＞1则缩短，0＜k＜1则伸长)得到y=f(k·x)
    • 对称变换
      • y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称
        • 提示
          • y=f(-x)可以写成y=f(0-x)，即表示y=f(x)与y=f(-x)关于x=0(y轴)对称
      • y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称
        • 提示
          • y=-f(x)可以写成y=0-f(x)，即表示y=y=-f(x)与y=f(x)关于y=0(x轴)对称
      • y=f(x)与y=-f(-x)关于坐标系原点对称
        • 提示
          • y=-f(-x)可以写成y=0-f(0-x)，即表示y=-f(-x)与y=f(x)关于(0，0)对称
      • y=f(x)与y=f(2a-x)关于直接x=a对称
      • y=f(x)与y=2h-f(x)关于直接y=h对称
      • y=f(x)与y=-f(2a-x)关于坐标系中点(a，0)对称
      • y=f(x)与y=2h-f(2a-x)关于坐标系中点(a，h)对称
    • 翻折变换
      • 将y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折其余部分保持不变则得到函数y=| f(x) |
      • 将作图y=f(x)的图象在y轴及其右侧部分，利用偶函数的图象性质(关于y轴对称)作图y轴左侧部分图象，则得到函数y=f( |x| )
    • 重点函数变换
      • ①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称
        • 特值：若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=a对称
        • 提示：情况①中，令A=a+x，B=b+x，对称直线为x=(A+B)/2=(a+x+b-x)/2=(a+b)/2
      • ②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于点（(a+b)/2 , 0）对称
        • 特值：若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于点（a , 0）对称
      • ③若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=C，则函数y=f(x)的图象关于点（(a+b)/2 , C/2） 对称
      • 部分证明
        • ①情况证明
          • 设（m ，n）是函数y=f(x)上任意点，则点（m ，n）关于x=(a+b)/2对称的点为（a+b-m ，n）， f(a+b-m)=f[ a+(b-m) ]=f[ b-(b-m) ]=f(m)=n，即表示（a+b-m ，n）也在f(x)上，得证
  • 专题梳理
    • 五法求函数解析式
      • 待定系数法
      • 换元法
      • 配凑法
      • 方程组法
      • 赋值法
• 函数的基本性质
  • 函数的单调性
    • 函数单调性的概念
      • 一般的，设函数f(x)的定义域为 I ，区间D∈I
        • 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增
        • 特别地，当函数f(x)在定义域上单调递增时，我们就称为增函数
        • 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
        • 特别地，当函数f(x)在定义域上单调递减时，我们就称为减函数
        • 如果函数f(x)在区间D上单调递增或者单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具备单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间
        • 增（减）函数的定义中的x1，x2的三个特征
          • 任意性
          • 具有大小性，即x1<x2（或x1>x2）
          • 同属于一个单调区间
        • 1.函数在定义域上单调才被称为增（减）函数 2.函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言 3.单调区间是定义域的子集 4.当函数出现两个以上的单调区间时，单调区间之间可以使用【,】分开，不能用【U】可以用【和】来表示 5.在单调区间D上要么是递增，要么递减，不可兼得 6.求函数的单调区间时，必须先求其定义域
        • 增函数和减函数的等价变形
          • ∀x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2
            • (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0 ⇔ [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数
            • (x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0 ⇔ [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数
    • 函数的平均变化率
      • 若I 是函数f(x)定义域的子集，对任意x1，x2∈ I ，且x1≠x2，记y1=f(x1)，y2=f(x2)，其中Δy/Δx =（y2-y1）/（x2-x1） [即：Δf/Δx = （f(x2)-f(x1)）/（x2-x1）]
        • y=f(x)在 I 上是增函数的充要条件是 Δy/Δx > 0 在 I 上恒成立
        • y=f(x)在 I 上是减函数的充要条件是 Δy/Δx < 0 在 I 上恒成立
      • x1≠x2时，Δf/Δx = （f(x2)-f(x1)）/（x2-x1）为函数y=f(x)在区间[x1，x2] （x1<x2时）或者[x2，x1] （x2<x1时）上的平均变化率
    • 判断函数单调性的常用方法
      • 定义法
        • 一般步骤：取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得出结论
          • eg：
            • ① 求函数f(x)的定义域 I
              • ② 设区间D ⊆ I
                • ③ 任意x1，x2 ∈D，且x1<x2
                  • 若有 f(x1)<f(x2) , 则f(x)为增函数，D是增区间
                  • 若有 f(x1)>f(x2) , 则f(x)为减函数，D是减区间
                  • f(x)在D上具有单调性
      • 图象法
        • 如果f(x)是以图象的形式给出的，或者f(x)的图象容易作图得出，则可由图象的上升或者下降确定函数的单调性
      • 平均变化率法
        • ① y=f(x) 在 I 上是增函数的充要条件是 Δy/Δx > 0 在 I 上恒成立
        • ② y=f(x) 在 I 上是减函数的充要条件是 Δy/Δx < 0 在 I 上恒成立
      • 导数法
        • 1.求导 2. 利用导数值的正负确定函数的单调区间
      • 性质法
        • 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，可以根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性质进行判断
        • 拓展：若两个函数在相同的区间上，则：
          • 增函数+增函数=增函数
          • 减函数+减函数=减函数
          • 增函数-减函数=增函数
          • 减函数-增函数=减函数
        • 函数y=f(x) （ f(x)>0 ）在公共定义域内与 y=-f(x)，y=1/（f(x)）的单调性相反
      • 复合函数法
        • 对于复合函数 y=f(g(x)) 先将函数 y=f(g(x))分解成y=f(u)和u=g(x)，再讨论（判断）这两个函数在区间（a，b）上的单调性，最后根据复合函数的同增异减的规则进行判断
  • 函数的最值
    • 最值的概念
      • 一般的，设函数y=f(x)的定义域 I ，如果存在实数M满足：
        • ① ∀x∈ I ，都有f(x)≤M （ f(x)≥M ）
        • ② ∃x0∈ I ，使得f(x0)=M
        • 则：称M为函数f(x)的最大值 （ 最小值 ）
      • 函数的最值是针对函数的整个定义域而言的，是函数的整体性质
        • 要区别函数的最值与极值
      • 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到
      • 开区间上的单峰函数一定存在最大（小）值
        • 单调性，左边看，上坡递增下坡减
        • 函数值，若有界，上界下界值域外
    • 求函数最值的方法和思路
      • 单调性法
        • 先确定函数的单调性，再由单调性求函数的最值
      • 图形法
        • 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
      • 基本不等式法
        • 先对函数解析式进行变形，使之具备“一正，二定，三相等”的条件后使用基本不等式求出最值
          • 一正：就是A B 都必须是正数 二定：就是1.在A+B为定值是,便可以知道AB的最大值；2.在AB为定值时,就可以知道A+B的最小值 三相等：就是说在A和B相等时,等号成立
      • 导数法
        • 先求导，然后求出定区间上的极值，最后结合端点值进行比较，求出最值
      • 换元法
        • 针对比较复杂的函数，先进行换元转化为熟悉的函数（初等函数：幂指对三反），再用相应的方法求出最值
      • 注意事项
        • 求函数的最值的前提是先求出函数的定义域
        • 分段函数的最值，需要每一段上的最值进行比较后得出分段函数的最值
  • 函数的奇偶性
    • 奇偶性的概念
      • 一般的，设函数f(x)的定义域为 I ，如果∀x ∈ I ，都有－x ∈ I
        • 且f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
          • 函数图象关于y轴对称
        • 且f(x)=－f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
          • 函数图象关于原点对称
      • 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
    • 奇偶性和对称性的关系
      • 若f(a-x)=2c-f(b+x),则函数f(x)的图象关于点（ (a+b)/2 , c ）对称，当a=b=c=0时，即为奇函数的定义
      • 若f(a-x)=f(b+x),则函数f(x)的图象关于直线 x=(a+b)/2 对称，当a=b=0时，即为偶函数的定义
      • 若函数y=f(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x)，则函数图象关于直线x=a对称
      • 若函数y=f(x+b)是奇函数，即f(b-x)+f(b+x)=0，则函数图象关于点（b，0）对称
      • 要深刻理解这四句话
    • 奇函数和偶函数的定义的等价形式
      • 前提：f(x)≠0
        • f(-x)=f(x) ⇔ f(-x)-f(x)=0 ⇔ f(-x) / f(x)=1 ⇔ f(x)是偶函数
        • f(-x)=-f(x) ⇔ f(-x)+f(x)=0 ⇔ f(-x) / f(x)=-1 ⇔ f(x)是奇函数
    • 判断函数奇偶性的方法
      • 定义法
        • ①判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数非奇非偶函数；若对称则进行下一步分析
        • ②验证函数f(x)=f(-x)，或f(x)=-f(-x)
          • 若f(x)=f(-x)，则函数为偶函数
          • 若f(x)=-f(-x)，则函数为奇函数
          • 若f(x)≠f(-x)，且f(x)≠-f(-x)，则函数非奇函数也非偶函数
          • 若f(x)=f(-x)，且f(x)=-f(-x)，则函数既是奇函数又是偶函数
      • 图象法
      • 性质法
        • ① 偶函数的 和、差、积、商(分母不为零) 仍为偶函数
        • ②奇函数的 和、差 仍为奇函数
        • ③奇数个奇函数的 积、商(分母不为零) 为奇函数
        • ④偶数个奇函数的 积、商(分母不为零) 为偶函数
        • ⑤奇函数 × 偶函数 ＝ 奇函数
    • 奇偶函数图象的性质
      • 若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0
    • 奇偶函数四则运算的性质
      • 两个函数在公共定义域上进行四则运算
        • 奇函数 ＋ 奇函数 ＝ 奇函数
        • 偶函数 ＋ 偶函数 ＝ 偶函数
        • 奇函数 × 偶函数 ＝ 奇函数
        • 奇函数 × 奇函数 ＝ 偶函数
        • 偶函数 × 偶函数 ＝ 偶函数
        • f(x)经过变换成为 -f(x)，或变换为1/（f(x)）时 奇偶性不变
    • 函数奇偶性常用结论
      • ①若f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则一定有f(x)=0；若f(x)是偶函数，则f(x)=f( |x| )
      • ②奇函数在关于原点对称的两个定义域内的子区间上有相同的单调性
      • ③偶函数在关于原点对称的两个定义域内的子区间上有相反的单调性
      • ④若奇函数f(x)在定义域D(i)上有最值，则f(x)min +f(x)max = 0
  • 函数的周期性
    • 周期函数
      • 一般的，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
      • 周期函数的定义实质是存在一个非零的常数T使得f(x)=f(x+T)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次
    • 最小正周期
      • 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做该函数的最小正周期
    • 函数周期性常用结论
      • ①若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)的其中一个周期为T=2·|a|
        • 证明过程
          • 1.令t=x+a 2.f(x+2a)=f((x+a)+a)=f(t+a)=-f(t)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x) 3.即f(x+2a)=f(x) 4.其中一个周期为T=2·|a|
      • ②若函数f(x)满足f(x+a)=1/（f(x)），则函数f(x)的其中一个周期为T=2·|a|
      • ③若函数f(x)满足f(x+a)=-1/（f(x)），则函数f(x)的其中一个周期为T=2·|a|
      • ④若函数f(x)满足f(x+a)+f(x)=C (a≠0)，则函数f(x)的其中一个周期为T=2·|a|
      • ⑤若函数f(x)满足f(x)=f(x+a)+f(x-a) (a≠0)，则函数f(x)的其中一个周期为T=6·|a|
      • ⑥若函数f(x)的图象有两条对称轴x=a，x=b，则函数的其中一个周期为T=2·|a-b|
      • ⑦若函数f(x)的图象有两个对称中心（a,0）（b,0），则函数的其中一个周期为T=2·|a-b|
      • ⑧若函数f(x)的图象有一条对称轴x=a，一个对称点（b,0）则函数的其中一个周期为T=4·|a-b|
      • 概要
        • 未证明
  • 复合函数
    • 定义
      • 若y是u的函数，记为y=f(u),u又是x的函数，记作u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则确定了一个y关于x的函数，y=f(g(x))，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y=f(u)叫做外层函数，u=g(x)叫做内层函数
    • 性质
      • 复合函数的单调性
        • 内层函数u=g(x)为增，外层函数y=f(u)为增，则复合函数y=f(g(x))为增
        • 内层函数u=g(x)为减，外层函数y=f(u)为减，则复合函数y=f(g(x))为增
        • 内外同，复合增
        • 内层函数u=g(x)为增，外层函数y=f(u)为减，则复合函数y=f(g(x))为减
        • 内层函数u=g(x)为减，外层函数y=f(u)为增，则复合函数y=f(g(x))为减
        • 内外异，复合减
      • 复合函数的奇偶性
        • 内层函数u=g(x)为奇，外层函数y=f(u)为奇，复合函数y=f(g(x))为奇
        • 内层函数u=g(x)为奇，外层函数y=f(u)为偶，复合函数y=f(g(x))为偶
        • 内奇看外，复合同外
        • 内层函数u=g(x)为偶，外层函数y=f(u)为奇，复合函数y=f(g(x))为偶
        • 内层函数u=g(x)为偶，外层函数y=f(u)为偶，复合函数y=f(g(x))为偶
        • 内偶，复合偶
• 幂函数及函数的应用
  • 幂函数
    • 幂函数的概念
      • 概念
        • y=x^a （a为常数）叫做幂函数
      • 特征
        • x^a 的系数为1
        • x^a 的底数是自变量
        • x^a 的指数为常数
        • 同时满足才能被称为幂函数
    • 幂函数的图象及其特征
      • 图示函数
      • 一般幂函数的特征
        • 所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都过（1，1）点
        • 当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数
          • 当a>1时，幂函数的图象下凸“U”型
          • 当0<a<1时，幂函数的图象上凸“∩”型
        • 当a<0时，幂函数在区间（0，+∞）上是减函数
        • 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于之间y=x对称
        • 在第一象限内作直线x=a（a>1），它同各幂函数的图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数从小到大的顺序排列
          • 幂函数在第一象限直线x=1的右侧具有“指大图高”的性质
    • 幂函数的图象和性质
      • y=x
        • 定义域
          • 实数R
        • 值域
          • 实数R
        • 奇偶性
          • 奇函数
        • 单调性
          • 在（-∞，+∞）上单调递增
      • y=x^2
        • 定义域
          • 实数R
        • 值域
          • [0,+∞）
        • 奇偶性
          • 偶函数
        • 单调性
          • 在（-∞，0]单调递减，在（0，+∞）上单调递增
      • y=x^3
        • 定义域
          • 实数R
        • 值域
          • 实数R
        • 奇偶性
          • 奇函数
        • 单调性
          • 在（-∞，+∞）上单调递增
      • y=x^(1/2)
        • 定义域
          • [0,+∞）
        • 值域
          • [0,+∞）
        • 奇偶性
          • 非奇非偶 函数
        • 单调性
          • 在 [0,+∞）上单调递增
      • 过（1，1）和（0，0）两个定点
      • y=x^(-1)
        • 定义域
          • （-∞，0）U（0，+∞）
        • 值域
          • （-∞，0）U（0，+∞）
        • 奇偶性
          • 奇函数
        • 单调性
          • 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减
        • 过（1，1）一个定点
  • 幂函数的应用
    • 几类已知函数的模型
      • 一次函数模型
        • f(x)=ax+b (a,b为常数，a≠0)
      • 反比例函数模型
        • f(x)=k/x +b （k，b为常数，且k≠0）
      • 二次函数模型
        • f(x)=a·x^2 +b·x +c （a，b，c为常数，且a≠0）
      • 幂函数模型
        • f(x)=a·x^n +b （a，b，n为常数，a≠0）
      • 对勾函数模型
        • f(x)=ax+b/x
          • 当x>0时，在（0，根号(b/a) ]上递减，在（根号(b/a),+∞）上递增
• 同增，异减
• 内偶则偶，内奇同外
• 复合函数 y=f(g(x)) 分解成y=f(u)和u=g(x) 其同增异减的说明： 1.若y=f(u)增，u=g(x)增，则 y=f(g(x)) 增 2.若y=f(u)减，u=g(x)减，则 y=f(g(x)) 增 3.若y=f(u)增，u=g(x)减，则 y=f(g(x)) 减 4.若y=f(u)减，u=g(x)增，则 y=f(g(x)) 减