导图社区 极限思维导图
数学知识点,很好地整理了该章的主要内容和逻辑结构,有助于知识点的理解与记忆,适用于考试复习!
编辑于2024-03-22 19:12:57极限
数列极限 [ n → ∞ (+∞) ]
存在的充要条件 [ 子列 完备子列 ]
数列{Xn} 收敛 ( = A ) ↹ 数列中任意子列都收敛(=A)
子列 : 数列{Xn},从中任意地选取无限项,按照原来的顺序组成的数列称为数列{Xn}的一个子列。
数列{Xn} 收敛 ( = A ) ↹ 数列中的任意一组完备子列收敛(=A)
不存在的情况
{Xn} 中的某两个子列收敛与不同的数
{Xn} 中某一个子列发散发散
函数极限 [x → x. x→∞]
左极限(-) 右极限(+)
左极限与右极限分开讨论
指数函数(→∞)
a >1(增函数)
→ +∞ : ∞
→ -∞ : 0
0<a<1(减函数)
→ +∞ : 0
→ -∞ : ∞
分段函数分段点表达式不同
arctanx(→∞ 增函数)
→ +∞ : π/2
→ -∞ : -(π/2)
arccotx(→∞)
→ +∞ : 0
→ -∞ : π
极限是否存在
极限存在 ↹ 左极限= 右极限
极限不存在
左极限 ≠ 右极限
∞
震荡 (eg: sinx cosx )
运算法则
部分极限存在且有意义,则整体极限可拆
lim f(x) = A ; lim g(x) = B
lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) = A ± B
lim [ f(x) × g(x) ] = lim f(x) × lim g(x) = A × B
lim [ f(x) ÷ g(x) ] = lim f(x) ÷ lim g(x) = A ÷ B
是否存在
存在运算 【 存在 可替换成 连续 可导】
存在 ± × ÷存在 =存在
存在 ± 不存在 =不存在
其他不一定
无穷大[ →∞] 与 无穷小[ →0]
关系
无穷大 与 无穷小 互为倒数
无穷大
比较关系
数列
n^n >> n!(阶层) >>a^n(指数) >> n^b (幂数) >> (lnn)^c(对数)
函数
a^x(指数) >>x^b( 幂数) >>(lnx)^c(对数)>> 三角函数、常数
两个重要极限
第一重要极限
x→0 , lim [ sinx / x]=1
第二重要极限 ( 1^∞ = e )
x → 0,lim [ 1 + x]^1/x = e
× → ∞, lim [1+ 1/x]^x=e
数列极限运算
∞/∞
多项式相加
递推公式
无穷大 与 有界 关系
无穷大 一定是 无界
无界 不一定是 无穷大
无穷小
无穷小的阶
比阶[高阶、低阶、同阶]
定阶 (等价)
变现积分函数求阶数
运算
无穷小与有界关系
等价 (→0)