无穷大 与 无穷小

这是一篇关于无穷大 与 无穷小的思维导图，主要内容包括：无穷小，无穷大，关系。希望对大家有所帮助！

无穷大 与 无穷小

关系

无穷大 与 无穷小 互为 倒数

无穷大

比较关系

数列

n^n ＞＞ n!（阶层） ＞＞a^n（指数） ＞＞ n^b (幂数） ＞＞ (lnn)^c（对数）

函数

a^x（指数） ＞＞x^b（ 幂数） ＞＞(lnx)^c（对数）＞＞ 三角函数、常数

两个重要极限

第一重要极限

x→0 ， lim ［ sinx / x］=1

第二重要极限 ( 1^∞ = e )

x → 0，lim ［ 1 + x］^1/x ＝ e

× → ∞， lim ［1+ 1/x］^x＝e

数列极限运算

∞/∞

分子分母同除最高次 --- 大题

分子次数 ＞ 分母次数 → ∞

分子次数 ＜ 分母次数 → 0

分子次数 = 分母次数 → 看系数之比

抓大头 --- 小题

多项式 → 次数最高

指数 → 底数的绝对值，max

max → 找最大值，大的大

口诀： 指 ＞＞ 幂 ＞＞ 对 ＞＞ 三、常

洛必达法则 【求导】

多项式相加

裂项相消

存在 √

√ 内 √ 外 分别抓大头

根式有理化

公式 : ( 1/a - 1/b ) ÷ （a-b)

a ＞ b

夹逼准则 【→ ∞】

{An} ≤ {Xn} ≤{Bn}

构造 {An} , {Bn} 通过改变分母，分子不变，取 {Xn} 中的最大一项和最小一项

lim An = lim Bn = C

定积分定义

递推公式

无穷大 与 有界 关系

无穷大 一定是 无界

无穷大 → 无界

无界 不一定是 无穷大

无穷小

无穷小的阶

比阶［高阶、低阶、同阶］

lim［ f(x) / g(x)］＝ 0 → f(x)是g (x)的高阶无穷小

lim［ f(x) / g(x)］＝ ∞ → f(x)是g (x)的低阶无穷小

lim［ f(x) / g(x)］＝ A (A为常数且A≠0)→ f(x)是g (x)的同阶无穷小

A＝ 1 → 同阶等价

A ≠ 1 → 同阶非等价

定阶 (等价)

x → 0，f(x) ∽A(x^k) → f(x)是x的k阶无穷小

变限积分求阶数

x → 0 ，f(x) = m 阶 ， g(x) = n 阶

∫f(t)dt 【上限：g(x) 下限：0】 → 阶数：n ×（m+1）

x → 0 ， g(x) = n 阶 ，f(x) 不存在 等价关系

∫f(t)dt 【上限：g(x) 下限：0】 → 阶数：n ×（0+1）

运算

乘法运算

非零因子先算，不影响阶数

→0，能等价的直接等价

无穷小之间相乘，阶数直接累加（进行加法运算）

含有次方关系的，等价两边正数比方

加法运算

低阶 ＋ 高阶 ∽ 低阶

无穷小与有界关系

无穷小 × 有界 ＝ 无穷小

等价 （→0）