概率与统计

这是一篇关于概率与统计的思维导图，主要内容包括：规律与应用，概率，统计。将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

概率与统计

• 统计
  • 获取数据
    • 途径
      • 普查
        • 普查又称全面调查，即对需要调查的对象进行逐个调查.
          • 优点：数据全面且可靠
          • 缺点：费时费力、具有破坏性的调查不能普查
      • 抽查
        • 从调查对象的总体中，抽取若干个个体进行调查.
          • 优点：省时省力、适用范围广
          • 缺点：所获取的数据与真实情况之间存在一定的误差
    • 几个概念
      • 总体与个体
        • 总体：把调查对象的全体叫作总体
        • 个体：组成总体的每一个调查对象
      • 样本
        • 从总体中抽取的一部分个体就称为总体的一个样本
          • 样本也叫作观测数据
      • 样本容量
        • 样本中包含的个体数目称为样本容量
      • 随机抽样
        • 概念
          • 如果在抽样过程中，能使总体中的每个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这样的抽样叫做随机抽样
        • 分类
          • 简单随机抽样
            • 概念
              • 一般地，设一个总体含有N个个体，从中抽取n（n£N）个个体作为样本，如果总体内的每个个体都有相同的可能性被抽到，则把这样的抽样方法称为简单随机抽样
            • 分类
              • 放回简单随机抽样
                • 不放回简单随机抽样
              • 抽签法
                • 随机数法
          • 分层随机抽样
            • 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法叫做分层随机抽样.
            • 层
              • 每一个子总体称为层
            • 比例分配
              • 每层样本的量都与层的大小成比例
        • 目的
          • 根据样本提供的信息推断总体的特征
  • 分析、处理数据
    • 图表
      • 柱形图（条形图）、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频数分布折线图
      • 打点图（点状图）、雷达图
      • 频率分布表
        • 第1列：分组
          • 第2列：频数
            • 第3列：频率
              • 第4列：
      • 频率分布直方图
        • （1）求极差
          • 最大值与最小值的差
        • （2）决定组距与组数
          • 组距尽可能取整，组数不宜过少或过多
        • （3）将数据分组
          • 尽量取整，左闭右开区间，最后一组一般是闭区间
        • （4）列频率分布表
        • （5）画频率分布直方图
          • 确定好横轴与纵轴的间距，美观大方
      • 频率分布折线图
        • 将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各段，就得到频率分布折线图.
  • 估计总体
    • 用样本估计总体的集中趋势
      • 众数
        • 样本中出现次数最多的数
          • 众数可能有多个，也可能没有
        • 频率分布直方图中的众数
          • 频率分布直方图中最高那一组的中点值
      • 中位数
        • 方法1
          • 当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数
          • 当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数
        • 方法2
          • 第50百分位数
        • 频率分布直方图中的中位数
          • 画一条竖线，将频率分布直方图一分为二，使得左右两边的面积分别为0.5，那条竖线的横坐标即为中位数
      • 百分位数
        • 概念
          • 一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
        • 四分位数
          • 第25百分位数（第一四分位数）、第50百分位数（中位数）、第75百分位数（第三四分位数）
        • 计算
          • 第1步
            • 按照从小到大的顺序排列原始数据
          • 第2步
          • 第3步
            • 若i不是整数，而大于i的比邻整数位j，则第p百分位数为第j项数据
            • 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数
      • 平均数（均值）
        • 求和符号
          • • 读作“西格玛”
              • 性质
        • 定义
        • 分层抽样的均值
          • 两层
          • 多层
        • 频率分布直方图中的均值
    • 用样本估计总体的离散程度
      • 极差
        • 一组数据中的最大值和最小值统称为极值，将最大值与最小值的差称为极差
      • 方差
        • 定义
        • 分层抽样的方差
          • 两层
          • 多层
        • 频率分布直方图中的方差
      • 标准差
        • 标准差是方差的算术平方根
          • 定义
• 概率
  • 概念
    • 随机现象
      • 在条件相同的情况下，不同次的试验会得到不同的结果，每一次试验之前不能确定会出现哪种结果，这种现象称为随机现象.
    • 随机试验
      • 对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验.
    • 样本点
      • 我们把随机试验的每个可能得基本结果称为样本点.
    • 样本空间
      • 将随机试验全体样本点的集合称为该试验的样本空间.
        • 一般用W表示
    • 有限样本空间
      • 如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间.
    • 随机事件
      • 定义
        • 将样本空间W的子集称为随机事件，简称事件.
      • 表示
        • 用大写字母A,B,C等表示
      • 必然事件
        • W作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以W总会发生，故W为必然事件.
      • 不可能事件
        • 空集Æ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，故Æ为不可能事件.
    • 基本事件
      • 只包含一个样本点的事件
    • 事件A发生
      • 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
  • 事件的关系与运算
    • 包含
      • A发生导致B发生，即事件A中的每个样本点都在B中
    • 相等
      • 如果AÍB,且BÍA，则称A与B等价，或称A与B相等
        • A=B
    • 并事件（和事件）
      • A与B至少有一个发生
    • 交事件（积事件）
      • A与B同时发生
    • 互斥事件
      • A与B不能同时发生
    • 对立事件
      • A与B有且仅有一个发生
  • 古典概型
    • 概率
      • 对随机事件发生的可能性大小的度量称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
    • 定义
      • （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
      • （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
      • 具有以上两个特征的试验称为古典概型试验
    • 概率计算公式
      • 一般地，设试验E是古典概型，样本空间W包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率：
  • 概率的性质与运算
    • 性质1：概率的取值范围
      • • 不可能事件
        • 必然事件
    • 性质2：包含
      • 事件包含的样本点多，概率就大
    • 性质3：互斥事件
      • • 概率的可加性
    • 性质4：对立事件
    • 性质5：随机事件
      • • 一般概率加法公式
  • 事件的相互独立性
    • 事件A发生与否不影响事件B的发生的概率
    • • 必然事件W与不可能事件Æ都与任何事件独立.
  • 频率
    • 定义
    • 频率的稳定性
      • 随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会稳定于事件发生的概率.因此可以用频率来估计概率.
    • 频率与概率的关系
      • （1）频率与概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画.
      • （2）频率与实验次数及具体的试验有关，具有随机性（不确定性）
      • （3）概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定值，不具有随机性.
      • （4）概率是频率的稳定值、理论值；频率是概率的试验值.
• 规律与应用
  • 易错点
    • （1）频率分布直方图中的纵坐标是频率与组距的比值，每一组的频率等于每个小矩形的面积.
    • （2）对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立.即互斥是对立的必要不充分条件，对立是互斥的充分不必要条件
    • （3）对立事件用集合的观点理解就是补集，用逻辑的观点理解就是命题的否定
    • （4）弄清楚试验的样本空间，才是解决概率问题的关键.样本空间要不重不漏，按照某种规律一一列举.
    • （5）古典概型的判断：有限性是前提，等可能性才是本质.
      • 一颗骰子是古典概型，两颗、三颗骰子也是古典概型.
      • 射击一次不是古典概型，射击多次也不是古典概型.
      • 每种结果出现的可能性要相等，射中与射不中的概率是不相等的.
  • 易混点
    • （1）频率、权重之间存在着密切的关系
    • （2）放回与不放回
      • 放回
        • 可能会重复抽取，即可能出现某个个体出现多次的情形
      • 不放回
        • 每个个体只能出现一次
    • （3）有序与无序
      • 有序问题
        • 依次、逐个、先后，与坐标有关，一般是有序的
      • 无序问题
        • 一次性抽取，顺序不影响问题的本质，一般是无序的
  • 规律
    • 德*摩根定律
    • 如果两个事件既是互斥的，也是独立的，那么其中一个事件必然是不可能事件
  • 应用
    • 表格与树状图
      • 两颗骰子、抽取两个、两次试验，这样的问题可以用表格写出试验的样本空间.
      • 抽取三个或者多次试验，这样的问题一般用树状图写出试验的样本空间.
    • 正难则反
      • 在计算概率时，如果正面计算较复杂，一定要考虑其对立事件.
    • 数形结合
      • 表格是树状图在写样本空间的时候可以起到很好的辅助作用.
    • 极限思考
      • 在判断事件之间的关系时，可以代入必然事件和不可能事件进行验证.