导数

这是一篇关于导数的思维导图，主要内容包括：规律与应用，研究函数，运算法则，概念。总结全面细致，适合做为复习资料。

导数

• 概念
  • 平均变化率
    • 几何意义
      • 过两点点（a,f(a)）和（b,f(b)）割线的斜率
  • 瞬时变化率
    • 瞬时速度
      • 这个极限记为
    • 函数的瞬时变化率
      • 函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商
    • 几何意义
      • 曲线上点P（u,f(u)）处切线的斜率
  • 导数
    • 定义
      • 表示
    • 几何意义
      • 函数图象上点P（x0,f(x0)）处切线的斜率
  • 导函数
    • 若函数f '(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f '(x)（或y'）也是x的函数，我们把f '(x)（或y'）叫做y=f(x)的导函数或一阶导数.
    • 既然导函数f '(x)也是函数，若f '(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫做f(x)的二阶导数，记作f ''(x).
    • 表示
• 运算法则
  • 复合函数
    • • 由外而内，逐层求导
• 研究函数
  • 这里的函数均是连续可导函数
  • 单调性
    • 单调递增
      • 若在区间(a,b)内，f '(x)>0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a,b)为f(x)的单调递增区间.
    • 单调递减
      • 若在区间(a,b)内，f '(x)<0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a,b)为f(x)的单调递减区间.
  • 奇偶性
    • 原函数为奇函数，则导函数为偶函数
    • 原函数为偶函数，则导函数为奇函数
  • 极值
    • 极大值
      • 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是区间(a,b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)（即f(x)£f(x0)），就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点.
    • 极小值
      • 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是区间(a,b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)（即f(x)³f(x0)），就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个极小值点.
    • 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点
    • 极值与单调性的关系
      • 若y=f(x)在（a，x0]上单调递增，在[x0，b）上单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.
      • 若y=f(x)在（a，x0]上单调递减，在[x0，b）上单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
    • 极值与导数的关系
      • 若y=f(x)在（a，x0]上f '(x)³0，在[x0，b）上f '(x)£0，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.
      • 若y=f(x)在（a，x0]上f '(x)£0，在[x0，b）上f '(x)³0，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.
    • 极值点与驻点
      • 若f '(c)=0，则x=c叫做函数f(x)的驻点，也是导函数f '(x)的零点
      • 极值点一定是函数的驻点，函数的驻点不一定是极值点
  • 最值
    • 最大值
      • 如果x0Î[a，b]，"xÎ[a，b]，都有f(x)£f(x0)恒成立，那么f(x0)叫做函数f(x)在[a，b]上的最大值.
    • 最小值
      • 如果x0Î[a，b]，"xÎ[a，b]，都有f(x)³f(x0)恒成立，那么f(x0)叫做函数f(x)在[a，b]上的最小值.
    • 最值与极值
      • 如果函数f(x)在区间[a，b]连续，那么函数的最值一定是极值或端点值
  • 三次函数
    • 定义
      • y=ax3+bx2+cx+d（其中a¹0）
    • 导函数
      • y=3ax2+2bx+c
        • 开口方向
          • a>0，开口向上
          • a<0，开口向下
        • 零点个数
          • D>0，有两个零点
            • 有一个极大值点和极小值点
          • D=0，有一个零点
          • D<0，没有零点
          • 没有极值点
    • 图象与性质
• 规律与应用
  • 易错点
    • （1）复合函数在求导过程中，分不清楚内外函数导致错误.
    • （2）导函数的零点对应原函数的极值点，导数值的正负对应原函数的增减.
    • （3）求最值时，一定要看清楚所给区间是闭区间还是开区间.
    • （4）研究函数时，容易忽略定义域而导致错误.
    • （5）对于非连续函数或者某点不可求导函数，应用导数解题时要慎重.
  • 易混点
    • （1）原函数和导函数的定义域可能不一致，此时取两个函数的交集最佳.
    • （2）某些曲线的方程经过变形和限制可以转化为函数，即可用导数研究其性质.
    • （3）函数图象和函数解析式互为表里，解题时需要相互转化、相互印证.
    • （4）对于连续可导函数，导函数的零点不一定是原函数的极值点，但是原函数的极值点一定是导函数的零点.如果函数某点不可导，那么导函数的零点与原函数的极值点之间不存在必然关系.
    • （5）如果导函数不存在零点，那么原函数一般情况下单调递增或者单调递减.
  • 求函数单调性的步骤
    • （1）确定函数的定义域；
    • （2）求出导数f '(x)的零点；
      • 零点不存在时，导数恒正或恒负，函数恒增或恒减
    • （3）用f '(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
  • 求函数极值的步骤
    • 解方程f '(x)=0，当f '(x0)=0时：
      • 如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0，那么f(x0)是极大值
      • 如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0，那么f(x0)是极小值
  • 求函数最值的步骤
    • 一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
      • （1）求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；
      • （2）求端点值f(a)和f(b);
      • （3）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
  • 绘制函数大致图象的步骤
    • （1）求出函数f(x)的定义域；
    • （2）求导数f '(x)及函数f '(x)的零点；
    • （3）用f '(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f '(x)在各区间上正负，并得出f(x)的单调性与极值；
    • （4）确定 f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
    • （5）画出f(x)的大致图象.
  • 二阶导数与原函数的关系
    • 当f '(x)=0且f ''(x)>0时，x对应的点为原函数的极小值点；
    • 当f '(x)=0且f ''(x)<0时，x对应的点为原函数的极大值点；
    • 当f '(x)=0且f ''(x)=0时，x对应的点为原函数的驻点；
  • 恒成立问题
    • f(x)在区间[a,b]上单调递增Þf '(x)³0在[a,b]上恒成立
      • 参变分离
      • 求f '(x)的最小值
    • f(x)在区间[a,b]上单调递减Þf '(x)£0在[a,b]上恒成立
      • 参变分离
      • 求f '(x)的最大值
  • 洛必达法则
    • • 适用于0/0或者¥/¥的类型
      • 常用于判断函数的发展趋势