《学数学会上瘾》总结

这是一个关于《学数学会上瘾》总结的思维导图。从基础概念到高阶应用，揭示数学之美与魅力，通过趣味案例与逻辑推理，激发对数学的无尽好奇与热爱。

《学数学会上瘾》总结

• 第一章 万物皆随机
  • 中文是最有效率的语言吗
    • 1、影响信息熵的因素
      • 符号的多少
      • 符号的频率分布
    • 2、汉字系统有点儿像有几千个字母的拼写系统，所以汉字中单个字的信息熵会比英文字母高
    • 3、符号频率越均匀，连续多个符号之间的关联性越小，也就是每个符号都很关键，不能丢，所以单个符号信息量大
      • 符号出现的关联越大，则有些符号就可以省略，说明这些符号提供的信息量少。
      • 比如，英语里，很多单词拼写中的字母组合经常是一起出现的，例如“ing”“tion”等。在即使丢掉一个字母或出现次序错误，通常也不妨碍阅读
    • 4、英文单词的组合虽然多，但一句话前后的关联太多，所以单词的信息熵更低
    • 5、数学论文的单位字符信息熵远大于其他类型的文章，这也是数学论文那么难懂的原因。数学家能用公式，就不用文字
    • 6、不同语言在单位时间内的信息输出量是接近的
      • 同样一本小说，中文版肯定比英文版薄
      • 但如果抄写一遍，因为中文笔画多，中文会抄得比较慢，所以最终抄写时间可能差不多
    • 7、总体所需击打键盘次数接近：平均输入同一篇文章的中文版、英文版所需要的打字次数（均使用最佳的带联想功能的输入法）差不多一样
    • 8、中文没法改成拼音文字，写出来完全没法读，同音字太多
    • 9、物理中的“熵”，系统的“混乱”程度
      • 越混乱，熵值越大
      • 越有序，熵值越低
    • 10、中文的上下文关联度低，单个汉字信息量大
      • 上下文关联度高，符号系统“有序”
      • 上下文关联度小，符号系统“无序”
    • 11、压缩软件的工作原理，就是去除文本中的冗余信息，用接近最优的编码方式，对文件重新编码的过程
    • 12、不同语言在语音上的输出效率是接近的，有些语言听上去啰唆，但语速能够加快（如日语）。有些语言听上去简洁，但语速不得不慢（如普通话）
  • “三人成虎”能用数学解释吗
    • 1、“条件概率”，即一件事情发生时，另一件事情发生的概率
      • 相关性：一些事件的发生往往会伴随另一个事件的更高或更低概率的发生
      • 取值范围从-1到+1
        • 相关系数为-1，即彻底的“负相关”：一件事发生，另一件事必不发生
        • 相关系数为+1，即彻底的“正相关”：一件事发生，另一件事必发生
        • 相关系数为0，表明两件事无关：一件事的发生，完全不影响另一件事发生的概率
    • 2、如果一件事能成为另一件事的证据，则这个证据越罕见，说明这个证据越有效，另一个事件越可能为真实
  • “乱打”键盘得到数字是随机数吗
    • 1、投掷硬币产生的序列看上去是随机的，但是正如很多文章里说的，如果硬币投掷出去以后，所有的物理参数都能知道，比如初速度，角度，空气阻力，湿度，硬币密度、形状等所有与硬币落下后相关的参数都可知，并且有一台计算速度极快的计算机，可以根据那些参数计算出硬币掉落桌面后哪一面向上，那么掷硬币结果不算随机数
    • 2、关于真正的随机数，自然界中有没有“真”随机现象等问题，至今仍是既有争议
  • 在“确定”中产生“不确定”
    • 1、伪随机数生成算法：能随机生成1位二进位，以50%的概率生成“0”或者“1”
    • 2、计算机内部信息是用二进位存储的：如果一个计算机内部浮点数是小数点后32位，那就可以批量产生32位的随机二进位，作为一种随机数“资源”，供用户使用
    • 3、目前计算机所执行的程序都是确定性的，按事先输入的指令运行
    • 4、用量子的随机性产生的随机数，应该是最为安全和接近“真”随机数的随机数
• 第二章 隐秘而伟大的数字
  • 三维世界中的“和谐”比例
    • 1、黄金分割比
      • Ф=（√5-1）/2
      • 近似值为0.618
    • 2、白银分割比
      • δS=√2
      • 近似之为1.414
    • 为什么数轴是连续的
      • 一般定义一个概念，需要用肯定句式，而不会说“×××就是不是×××的那些东西”
      • 用否定句式的缺点是概念界定不清
    • 无理数与无理数还不一样
      • 数系扩展结构图，从里到外依次是自然数、整数、有理数、实数、复数
• 第三章 你也能攀登数学界的“珠穆朗玛峰”
  • 形形色色的质数
    • 1、在微积分中，当给定一个函数时，求其导函数，好像毫无困难，只要根据函数的链式求导规则，必然能写出导函数结果
    • 2、但是给定一个函数，求其原函数，就没有一个确切的求解步骤，需要很多技巧，而有些函数没有一个可以写出来的原函数形式，术语称为没有“解析解”
  • 如何鉴定一个数为质数
    • 关联证人
      • 两个证人互相认识或有某种共同的利益
      • 关联证人的证词会具有相同的倾向性，他们同时做伪证的可能性比较高，所以要比互不相关的证人证词效力差
      • 法庭需要审慎考虑关联证人的证词
  • 质数的邻居住多远
    • 1、如果A命题成立，可以推出B命题，而B命题成立，不能推出A命题，则称：A命题比B命题强，B命题比A命题弱
    • 2、从三角形余弦定理可以推出勾股定理；从勾股定理推不出余弦定理
  • 余弦定理比勾股定理“强”
    • 证明比较“强”的命题肯定比证明“弱”的更难一点，因为证明“强”的命题，就等于证明了“弱”的命题
• 第四章 绕不过的对称问题
  • 正多面体上的“环球旅行”和正十二面体上的一条特殊路径
    • 1、人类自古以来就对有高度对称性的事物着迷，正多面体就是其中之一
      • 古希腊人知道存在5种正多面体
        • 正四面体
        • 正方体
        • 正八面体
        • 正十二面体
        • 正二十面体
    • 2、测地线：空间中两点间的局部最短路径
      • 局部最短：把这条线“稍微”移动一点，长度就会变长
      • 当一条测地线到达某个顶点时，怎样继续前进算作“直线”变得不确定了
  • 三人行，必有排列组合题
    • 1、有些三元系有更强的性质，即可以把分组结果分成数量相等的若干组，而且每组中的元素并集恰好是全体元素
      • “15”是除“3”和“9”这两种比较平凡的情况外，第一个满足施泰纳三元系条件，且满足这种继续分解条件的数字
    • 2、柯克曼女生散步问题
      • “出乎意料”：它表面上是一道平平无奇的排列组合题，但深入挖掘下去内容博大精深，完全出人意料
      • “别有洞天”：这个问题牵涉的面很广，比如欧拉方、矩阵、仿射几何、数域、群等
• 第五章 人工智能怎么丢骰子
  • 数学家的纸上计算机
    • 1、如果能把数学命题的证明过程变成一种有规律可循的符号游戏，就可以让计算机去全权处理，数学家就都下岗了
    • 2、图灵机不是一种机器，它是完全用合法的数学语言定义出的数学概念。之所以说它是一种机器，是为了方便人们理解
    • 3、图灵机的设计目标并不是提高计算效率，而是对计算过程的抽象和简化
  • 八维空间好砌墙
    • 用砖砌墙时，有个基本规范是，总是让某层砖的左右两边与上下层砖的中间对齐，而不是边与边对齐。如果有人把墙砌成像“田”字形，那他砌墙的水平不但业余，而且墙很危险，容易塌
  • 盒子里怎么装球
    • 1、机器可以读懂这种证明。比如，你让计算机直接去读勾股定理的证明，计算机肯定看不懂；但如果你输入的是类似“因为a且b，所以c”之类的语句，机器就能“看懂”了，甚至可以检验你的推理过程是否正确！因为机器完全不用管a，b，c到底是啥，只要根据我们事先输入的规则，逐步检验推理过程是否符合规则即可
    • 2、人们的直觉是会越来越大，因为感觉维度越多，球体可以互相靠近的方向越多，所以可以塞得越满。但恰恰相反，维度越多，球体填充密度就会越来越低，而且趋向于0
    • 3、维度越高，其中的物体的体积就越集中在物体的“外壳”或边界上。在这种情况下，球虽然挤在一起，看上去很多，但它们包裹住的体积占总体积比例是很小的
• 第六章 数学也是一门生意
  • 区块链有故事
    • 1、村民们掘金的故事
      • 每家每户都有一个账本，账本上记录每家的采掘数量。每家在采掘金子后，除在自己的账本上记下数值之外，还需要通知其他至少一个住户，请他在账本下进行相应的更新。与此同时，双方的账本也可以互相核对一下，看看有哪些记录没有更新。如果有，就顺便一起更新，总之，要确保账本总是同步的
      • 某个记账内容只有得到一半以上的村民认可才行。如果你怀疑某人的记录作假，那就不要把他的记录记入你的账本中。如果某人长期作假，他迟早会被一半的人识破，那他就无法继续下去了
      • 当你发现有冲突的记录时，可以自行判断是否修改自己的记录，或者让对方修改。之后，随着时间推移，在不断与其他账本同步的过程中，你可以统计有多少账本与你的记录不同。当你发现你的记录与一半以上的村民冲突时，你应该认识到是你的记录有问题了。此时，你就只能修改你自己的记录，与其他人的保持一致
    • 2、在互联网上，各种各样的账户信息，如游戏账号、社交媒体账号。多是由互联网服务提供者来管理的。风险是，如果这个服务的提供者出现经营状况或者诚信问题，由对方管理的个人账号就可能丢失或者被永久关闭
    • 3、区块链的基本运行机制
      • ⑴.分布式。所有信息在每个人的计算机上都有一个副本，每个人都可以任意复制和拷贝这个副本。副本之间的信息靠网络同步。
      • ⑵.共识机制。一旦副本之间有内容冲突，需要一种机制来解决这种冲突，使每个人的副本能够继续同步，这种解决冲突的机制就称为“共识机制”。去中心化的区块链通常依靠的是“少数服从多数”的机制，即认可网络中一半以上的副本存储的信息，而丢弃另一半
    • 4、区块链
      • 实现：互联网上“去中心化的分布式账本”
      • 特征：去中心化、长期有效，使收藏者不用担心数字藏品有“过期”的一天
      • 本质：一个分布式记账系统
      • 难点：让各处的账本无争议地同步起来，解决的方法就是某种“共识”机制，如“少数服从多数”
    • 5、区块链适合在没有中心管理机构的情况下，安全共享信息的需求
    • 6、私有链：带有中心管理机构的区块链。中心管理机构具有对区块链中的内容的最终裁定权和修改权，也就等于中心管理机构用自己的信用为这条区块链背书
  • 数字藏品有价值吗
    • 1、数字藏品
      • 理念：古董收藏爱好的延伸
      • 比如：邮票是很多人的收藏品
        • 但是，如果一张邮票变成计算机上的一张图片，似乎就没有任何收藏价值了
      • 绘画作品是非常好的收藏品，但不会有人去收藏一张计算机上的数字绘画作品。原因在于，复制数字文件太容易了
      • 一种电子凭证：电子门票、数字身份证等。某些电子凭证具有一定的收藏性，比如“QQ靓号”、好记的手机号等。但是，这些收藏品随着服务的寿命到期，往往会失去收藏的价值
    • 2、一种东西的收藏价值，在很大程度上取决于独一无二性。在计算机上，无法防止一个文件被复制，那么就可以考虑把这样东西的拥有者的名字嵌入数字藏品内，从而产生唯一性
    • 3、很多数字艺术家以数字藏品的形式，出售自己的绘画、摄影或音乐作品，也有越来越多的人接受这种数字形式的收藏品，相信未来很多人会拥有这种数字资产
  • 浅说数字人民币
    • 1、支付宝和微信支付是把银行卡装进手机里，数字人民币是把现金装进手机里
    • 2、数字人民币与常见的手机支付的主要区别：现金和银行卡的区别——匿名性和离线支付
      • 手机支付：使用者需要通过某种实名认证，经常需要绑定银行卡，以便充值和取现。支付时，系统需要对支付者进行认证（比如输入密码），再通过服务器端的数据变更，完成转账的过程。整个过程是实名制的，可追踪。
      • 数字人民币：无须实名认证，持有的是一种“非同质化代币”。当你认为它有收藏价值时，数字人民币当然也是一种数字藏品。你对某个数字人民币的拥有权的凭证，完全来自存储在手机中的某个凭证。当你用数字人民币转账时，实际发生的就是类似数字藏品的拥有者的变更过程
    • 3、数字人民币的一个特性：无须网络，就可以完成支付
      • 在两部手机都没有网络的情况下，同样可以完成转账
      • 两部手机互相靠近，用蓝牙通信的手段，在手机上完成转账操作
      • 出于安全性考虑，在离线情况下收到的钱并不能马上花出去，而是需要等到手机再次上线，等到中央服务器验证后，才被认为转账有效
    • 4、货币无纸化是一个大趋势。也许有一天，再也不会发行纸币，数字人民币是唯一的现金形式
• 第七章 修炼你的数学思维
  • 一个半世纪的征程
    • 要找到“简单”和“美观”，就需要找到“对称”。要找到“对称”，人们就会想到“群”
  • 意外发现的两个领域的关联
    • 物理学追求大统一理论
      • 要简洁，就要寻求对称性
      • 要寻求对称性，就要找到群
  • 怎么学数学不累
    • 1、通过“配方法”推导求根公式的过程，等于背出了一元二次方程的求根公式
      • “配方法”是一种非常有用的数学解题思路，掌握配方法比背出求根公式更有用
      • 人的大脑存储空间有限，所以，要把记忆空间留给最有用的内容
    • 2、当你发现你需要“背”某个数学知识点时，不妨思考一下
      • 这个知识点是如何来的？
      • 为什么要有这个知识点？
      • 如果是开卷考，我还需要记忆这个公式吗？
    • 3、知道“为什么”要有这些数学概念后，再学习这些数学概念，就会感觉容易多了
    • 4、用做大量习题的方法来掌握数学知识的方法，会使人对数学产生倦怠和厌恶感，对数学的学习极为不利
      • 好的做题方法是，每做完一道题，思考一下
        • 这道题的“中心思想”是什么？
        • 它想考我什么？
        • 有哪些方法可以解决这道题？
        • 将来如何识别出具有同样“中心思想”的题？
    • 5、识别“中心思想”，看出某个题背后的意图，是解题又快又好的关键。做题，并非重在数量，而在于每次做题后，识别能力的积累