一元二次函数、方程与不等式

这是一篇关于一元二次函数、方程与不等式的思维导图，主要内容包括：基本不等式，不等式与二次函数。知识点系统且全面，便于理解和记忆。

一元二次函数、方程与不等式

• 不等式与二次函数
  • 根据一元二次方程在某区间上根的情况求参
    • 若只说有根，没规定根的个数，则考虑参变分离，再对变量一侧求值域，即可得到参数的范围
    • 若规定了参数的个数，则可画出二次函数的图像，考虑判别式、对称轴、端点值
  • 注意讨论二次项系数为0
• 基本不等式
  • n元形式
    • (x1+x2+x3+……+xn)/n 大于等于 n次根号下x1·x2·……·xn
  • 关键点在于“凑定值”
    • 添项、拆项、换元
  • 和定积最大
    • ab 小于等于 （a+b）²/4
    • abc 小于等于（a+b）三次方/27
  • 积定和最小
    • 当分母较复杂时，尝试换元法
  • “1”的代换
  • 基本不等式的核心运用思想
    • 消元
      • ab+bc=2→b+c=2/a
      • 这种思想一般在所求式为一次式，用反解消元消去一个未知数
    • 齐次化
    • 统一结构
      • x²+y² 大于等于 2xy
      • 若所给不等式中有求最值结构，尝试将其余部分也变成该结构
      • 抽象：a+2b=c+2，求a+2b最值，即将c用a+2b的不等式形式表示
      • 重点在于观察所给式和所求式
    • 多次使用基本不等式
      • 确保取等条件
  • 不等式进阶方法
    • 柯西不等式
      • 二维：（x1²+y1²）*（x2²+y2²）大于等于（x1xx2+y1y2）²
      • 三维：（x1²+y1²+z1²）*（x2²+y2²+z2²）大于等于（x1x2+y1y2+z1z2）² 去等条件：x1=y1=z1=0 或 x2=kx1,y2=ky1,z2=kz1同时成立
      • 涉及Ax²+By²+Cz²（A,B,C 大于0）和ax+by+cz，考虑柯西不等式注意abc可以为负数
    • 权方和不等式
      • x,y均为正数，a²/x²+b²/y² 大于等于 （a+b）²/（x+y）
      • 用于求分式和的最值
    • 三角换元
      • x²-y²=r²,则可令x=r/cos，y=rtan
      • 例x²-2xy+2y²=2→（x-y）²+y²=2
      • 出现a²+