AMC10知识点总结

AMC10知识点总结，旨在为广大参赛者提供一个系统、全面的复习指南，涵盖从数论基础到几何变换，从代数问题到概率统计，再到数列与多项式等核心知识点。结合经典例题与解题技巧，希望能够帮助参赛者更好地把握竞赛精髓，提升解题效率，从而在激烈的竞赛中脱颖而出。

AMC10

• 数论基础
  • 质数
    • 整数
      • 包括正整数、负整数和0
    • 质数/合数
      • 如果一个大于1的正整数的除数只有1和它自己，则称这个数为质数，否则就称为合数，1既不是质数也不是合数
    • 互质
      • 两个数的最大公约数是1，则这两个数互质
    • 唯一的偶质数
      • 只有2为偶质数
  • 质因数分解
    • 一个数的质因数分解就是将一个数表示成几个质数的乘积
    • 算术基本定理
  • 因子个数
    • 正因子个数定理
      • 正因数个数
      • 偶因子个数
      • 奇因数个数
      • 推论：如果一个正整数n的因子个数是奇数,则n是一个完全平方数,反过来，如果n是个完全平方数，则n的因子个数为奇数.
    • 所有正因子之和
    • 奇数因子之和
    • 偶数因子之和
      • n的所有偶因子之和可以由n的所有因子之和减去"的所有奇数因子之和得到
    • 所有因子之积
    • m的倍数的因子个数
      • 对n质因数分解
        • 提取一个m
          • 计算提取m后剩余的数的因子个数
    • 平方数因子个数
      • 对n进行质因数分解
        • • 找出N的因子个数，即为所求
    • 立方数因子个数
      • 对n进行质因数分解
        • • 找出N的因子个数，即为所求
  • 最大公因数/最小公倍数
    • 最大公约数
      • GCD(m,n)(最大公约数):能同时整除m和n的最大正整数
    • 最小公倍数
      • LCM(m,n)(最小公倍数):m和n的所有正的公倍数的最小的那个
      • 计算方法:m和n进行质因数分解，相同质因子指数取大
    • 两者之间的关系
  • 欧几里得算法
    • a和b都是整数，b>0,则存在唯一的整数（q,r)，使得a=bq+r，
    • 欧几里得算法（辗转相除法)求最大公约数
  • 线性不定方程解的存在性定理
    • 线性不定方程ax+by=c有整数解的充分必要条件是gcd(a,b)|c
• 同余和整除
  • 基本概念
    • 模
      • 整数模m的结果只能是0,1,2,...,m-1
    • 同余
      • 两个整数c和d模m得到的余数相同，则称两个整数模m同余，记作
    • 余数
  • 模运算规则
    • 传递性
    • 加法和乘法性质
      • 如果
      • 则
    • 指数性质
    • 规则4
      • 如果
      • 则
    • 可约性
    • 规则6
  • 解同余方程
    • 基本方法
      • 中国剩余定理
      • 模运算
  • 整除
    • 被2/4/8/16整除
    • 被5/25/125/625整除
    • 被3/9整除
    • 能被7整除
      • 把一个整数除了个位以外的部分减掉个位的2倍如果能被7整除，则原整数能被7整除（往往需要重复使用才能判断一个比较大的整数是否能被7整除）
    • 能被11整除
      • 一个整数的奇数位的数字和与偶数位数字和的差如果能被11整除，则这个整数能被11整除
    • 能被13整除
      • 把一个整数除了个位以外的部分减掉个位的9倍如果能被13整除，则原整数能被13整除（往往需要重复使用才能判断一个比较大的整数是否能被13整除）
    • 能被7/11/13整除另一个判断方法
      • 如果一个整数的后三位形成的整数与这个整数的其他部分之差能被7/11/13整除，则原整数能被7/11/13整除
    • 判断一个整数能否被一个合数整除的方法
      • 合数m=ab,a和b互质，如果n能被a和b整除，则n能被m整除
    • d的倍数的个数
      • 从1到n(包括1和n)范围内d的倍数的个数为
    • 结尾0的个数
  • 不定方程
    • 不定方程定义
      • 不定方程是指求整数解的方程
    • 解不定方程
      • 线性不定方程ax+by=c
        • 一般解为
      • 因式分解法
        • 将未知数放左边，常数放等式右边，左边进行因式分解，化成多个一次式的乘积
• 高级定理及进制
  • 欧拉定理
  • 欧拉函数
  • 费马小定理
    • 费马小定理是欧拉定理的特殊情况，让n=p，p为质数
  • 威尔逊定理
  • 中国剩余定理
  • 数位和N进制
    • 十进制
    • 二进制转十进制
    • N进制转10进制
    • 十进制转N进制
      • 为了把十进制的整数X转化为N进制，我们把X一直除以N知道余数小于N
      • 为了把十进制的小数X转化为N进制，我们把X一直乘以N直到小数部分为0
  • 无限循环小数
    • 十进制循环小数化分数
    • k进制循环小数化分数
• 几何基础
  • 角的分类
    • 钝角/锐角/直角/平角
      • 对顶角/余角/补角
    • 平行线形成的角
      • 内错角/外错角/同旁内角/同位角
  • 三角形内角和
    • 三角形内角和等于180度
      • 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和
        • 三角形的三个外角和等于360度
  • 三角形内的不等式
    • 任意两边之和大于第三边
      • 任意两边之差小于第三边
  • 勾股定理
    • 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
    • 特殊直角三角形
      • 45度/45度/90度直角三角形
        • 等腰直角三角形
          • 斜边/直角边=
      • 30度/60度/90度直角三角形
        • 30度所对直角边/斜边=
          • 60度所对直角边/斜边=
            • 长直角边/短直角边=
  • 全等三角形
    • 边边边公理SSS
      • 变角边公理SAS
        • 角角边公理AAS
          • 角边角公理ASA
            • 斜边直角边定理HL
  • 等腰三角形
    • 两个底角相等
      • 两个底边相等
        • 三线合一：顶角平分线，底边高线，底边中线合一
  • 等边三角形
    • 三边相等/三个内角相等且等于60度
      • 边长为a，则高线/中线/角平分线长均为
        • 边长为a，则面积为
  • 中位线定理
    • 两边中点的连线段长度等于第三边的一半且连线段所在直线平行与第三边
  • 三角形面积
    • 海伦公式
  • 鞋带定理
    • S=
  • 余/正弦定理
    • 余弦定理
    • 正弦定理
• 进阶几何
  • 相似三角形
    • 相似三角形的定义
      • 形状相同，大小不一定相同的两个三角形称为相似三角形
    • 相似三角形的判定
      • 角角相似AA
        • 角边角相似ASA
          • 边边边相似SSS
    • 相似三角形的性质
      • 相似三角形对应角相等，对应边成比例
      • 相似三角形周长比等于相似比
      • 相似三角形面积比等于相似比的平方
    • 直线截三角形
      • 一条直线与三角形的一条边平行，与另外两边相交，则直线将两边成比例分割
    • 射影定理
      • 为直角三角形，角C为直角，CD为斜边AB的高线
  • 角平分线长公式
  • 中线长公式
  • 角平分线定理
  • 三角形五心
    • 内心
      • 三角形三条角平分线的交点，或者三角形内切圆的圆心
        • 内心到三边的距离均为内切圆的半径r
    • 重心
      • 三边中线交点
    • 外心
      • 三边中垂线交点，也是外接圆的圆心
    • 垂心
      • 三边高线交点
    • 旁心
      • 一个内角平分线与其他两个内角的相邻外角的平分线的交点
        • AMC10不考
• 圆
  • 圆的基础知识
    • 扇形面积公式
      • 半径为r，圆心角为a的扇形的面积=
    • 垂径定理
      • 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的劣弧/优弧
    • 等弦距定理
      • 同圆或者等圆中，圆心到两条相等的弦的距离相等
    • 切线垂直半径
      • 切线与经过切点的半径垂直
      • 与半径垂直，且经过半径的外端点的直线为圆的切线
    • 切线长定理
      • 从圆外一点A引两条圆的切线，切线长相等，A与圆心的连线平分两条切线的夹角
    • 圆心角/圆周角/弧度
      • 圆心角的度数等于所截弧的度数
      • 圆周角的度数等于所截弧的度数的一半
      • 同圆或等圆中等弧所对圆心角等于圆周角的两倍
    • 弦切角定理
      • 一条切线和与之有公共点的弦的夹角等于弦所对圆周角
    • 圆的内接四边形
      • 圆的内接四边形对角互补
    • 弧度/弦/圆周角的关系
      • 同圆中，弦相等则另外两个也相等，弧度相等则另外两个也相等，圆周角相等则另外两个也相等
    • 直径所对圆周角
      • 直径所对圆周角为90度
  • 圆的高级定理
    • 圆幂定理(三种情况)
    • 托勒密定理
• 立体几何初步
  • 直线和直线的位置关系
    • 不共面
    • 共面
      • 相交
      • 平行
  • 直线和平面之间的位置关系
    • 线面垂
      • 如果一条直线和平面内两条相交的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，并且垂直于这个平面内所有的直线
    • 线面平行
      • 如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线就平行于这个平面
  • 面面之间的关系
    • 面面垂
      • 如果一条直线和平面垂直，那么包含这条直线的任何平面都和这个平面垂直
    • 二面角
      • 二面角是两个相交平面的夹角，先在两个平面的交线上找一点P，过P分别在两个平面内作垂线，形成的角就是二面角
  • 坐标系下的立体几何
    • 点的表示
      • (x,y,z)
    • 平面的表示
      • 一般式
      • 截距式
    • 点到平面的距离
      • 平面一点(k,m,n)到平面Ax+bY+cZ+D=0的距离为
  • 多面体
    • 四面体和三棱锥
      • 体积公式：底面积*高/3
    • 圆锥
      • 体积公式：底面积*高/3
    • 球
      • 表面积公式：
        • 体积公式：
• 解析几何
  • 直线
    • 直线的方程
      • 直线的一般式
      • 直线的点斜式
      • 直线的斜截式
      • 直线的截距式
    • 点到直线的距离
    • 两条平行线之间的距离
    • 中点公式
    • 两点距离公式
  • 圆
• 几何变换
  • 平移
    • 平移是一种把一个图形上的所有的点向同一方向移动相同距离的变换
    • 平移不改变图形的角度和长度
  • 位似
  • 对称
    • • 对称具有保距性/保角性/对称点唯一性
  • 旋转
• 加法/乘法原理
  • 乘法原理
  • 加法原理
• 排列与组合
  • 排列
    • 不带重复的排列
      • 两个重要方法
        • 插空法
          • 当要求某些物体不能相邻，先把剩余的排列好，剩下的插到缝隙中
        • 捆绑法
          • 当要求某些物体相邻，先把相邻的捆绑放在一起再和剩下的一起排列
    • 带重复的排列
    • 圆排列
  • 组合
    • 组合是指给定的一系列物体里，选定一定量的物体的方法，物体选择与顺序无关
    • 从n个物体里选择k个物体的不同组合的方法为
    • 二项式定理
      • 二项式系数性质
    • 分组
      • TBD
  • 球和罐子模型
    • 球一样，罐子可以为空
      • 把n个球放进k个不同的罐子中，或者n个球被k-1个隔板分割，总的方法数为
    • 球一样，罐子不可以为空
      • 把n个球放进k个不同的罐子中，或者n个球被k-1个隔板分割，总的方法数为
    • 球不同，罐子可以为空
      • n个球放进k个罐子，不同的方法的种数为
    • 球不同，罐子不可以为空
      • 可以直接求，也可以用总的减罐子有空的情况
  • 范德蒙恒等式
  • 容斥原理在排列组合中的应用
  • 升数和降数
    • 升数
    • 降数
  • 错位排列公式
• 概率
  • 古典概率
    • 基本公式：概率=符合题意的事件数/总的事件数
    • 概率性质
      • 一个事件的概率在0和1之间（包括0和1）
      • 一个事件A发生的概率为P(A)，则事件A反面发生的概率为1-P(A)
    • 概率的一般运算规则
      • 一般的，如A和B是两个事件，则
      • 如果两个事件A和B是互斥的（不可能同时发生），那么
      • 如A和B是相互独立事件（即A和B相互不影响）,则
    • 条件概率
  • 几何概型
    • 几何概型一般会涉及到连续型的随机变量，这时一个事件发生的概率可以用长度、面积或者体积来计算
    • P(成功)=成功区域的面积/总面积
  • 特殊方法
    • 马尔科夫链
      • 马尔科夫链,是解决一类特殊问题的有效方法,在这类问题里，一个物体可能会经过无数多种路径到达最终状态，但是这个物体所经历的状态(一个状态对应了这个物体从初始状态到达那个状态的概率)是有限的，那么这种情况下我们就可以使用状态这种方法
    • 运用递推来求概率
      • 物体在几个状态中来回切换，找出递推关系，之后求出任何状态下的概率
• 数列和级数
  • 等差数列
    • 递推公式
    • 通项公式
    • 等差数列的级数（求和公式）
    • 等差数列性质
      • 如果a,b,c三个数形成等差数列，则a+c=2b
      • 如果a,b,c,d形成等差数列，则a+d=b+c
  • 等比数列
    • 递推公式
    • 通项公式
    • 等比数列级数（求和公式）
      • 有限项
      • 无限项
    • 等比数列性质
  • 其他数列
    • 递推数列
      • 类型1
      • 类型2
      • 类型3
      • 类型4
  • 几个公式
• 多项式
  • 代数基本定理
  • 韦达定理一般形式
  • 有理根的测试规则
    • • 分母整除最高次项系数
      • 分子整除常数项
  • 余数定理
  • 因子定理
  • 两个多项式相除的方法
    • 综合除法
      • 除式为一次式，切一次项系数为1
    • 长除法
      • 除式没有限制
• 函数及其图像
  • 对称
  • 变换
  • 地板函数（高斯函数）
    • 定义
    • 图像
    • 性质
  • 一个数的小数部分
  • 天花板函数
    • 定义
    • 图像
    • 性质
• 不等式
  • 不等式乘法性质
  • 高阶不等式解法
    • • 奇穿偶不穿
  • 二次不等式
  • 柯西不等式
  • 均值不等式