六年级数学六至九章主要内容梳理

第六章：一次方程式（组）和一次不等式（组）；第七章：线段与角的画法；第八章：长方体的再认识；第九章：整式（前三节内容）。

第六章 一次方程式（组）和一次不等式（组）

• 方程与方程的解
  • 列方程
    • 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。2、元：方程中未知数是未知的数量，通常用x、y、t等表示，方程中所含的未知数又称为“元”。3、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。
  • 方程的解
    • 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解。
• 一元一次方程及其解法
  • 概念
    • 整式方程：方程中关于未知数的式子都是整式，这样的方程叫做整式方程。
    • 一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。
    • 解方程：求方程的解的过程叫解方程。
  • 解一元一次方程的一般步骤
    • 1、去分母；2、去括号；3移项；4、化成ax=b（a≠0）的形式；5、两边同除以未知数的系数，得到方程的解x=b/a
  • 方程ax=b的解由a、b的取值来决定：
    • 1、若a≠0，则方程有唯一的解x=b/a；2、若a=0、b=0，方程则变为0▪x=0，则方程有无数多个解；3、若a=0、b≠0，方程则变为0▪x=b，则方程无解。
  • 注意：运用等式性质和运算性质可以求方程的解。
  • 一元一次方程的应用
    • 列方程解应用题的一般步骤是：1、设未知数（元）；2、列方程；3、解方程；4、检验并作答。
    • 常用的运算概念回顾：1、利润=售价-进价，利润=进价x利润率；2、路程=速度x时间；3、利息=本金x利率x期数；本利和=本金+利息。
• 一元一次不等式（组）
  • 一元一次不等式相关概念
    • 不等式：用不等号“﹥、﹤、≦、≧”表示的关系式，叫做不等式。
    • 不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
    • 不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集。
    • 解不等式：求不等式的解集的过程叫解不等式。
    • 一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式
  • 不等式性质
    • 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
  • 解一元一次不等式的一般步骤
    • 1、去分母；2、去括号；3、移项；4、化成ax>b(或ax<b等)的形式(其中a≠0)；5、两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集。
  • 一元一次不等式组相关概念
    • 一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
    • 不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
    • 解不等式：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
  • 解一元一次不等式组的一般步骤
    • 1、求出不等式组中各个不等式的解集;2、在数轴上表示各个不等式的解集; 3、确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集
• 一次方程组
  • 二元一次方程相关概念
    • 1、二元一次方程：含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程。2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值；3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。
  • 二元一次方程组及解法
    • 1、二元一次方程组：由几个方程组成的一组方程叫做方程组.如果方程组中含有两个未知数，且含未知类数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。2、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。3、求方程组解的过程叫解方程组。4、代入消元法：通过“代入”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法,简称代入法。5、加减消元法：通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这中解法叫做加减消元法。
  • 三元一次方程组及解法
    • 三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。
    • 解法：三元一次方程组 消元为 二元一次方程式 消元为 一元一次方程组
  • 一次方程组的应用

第七章 线段与角的画法

• 线段与角的画法：指用直尺（可以有刻度）、量角器、圆规等画出和已知线段长度相等的线段及和已知角大小相等的角。
• 线段的相等与和、差、倍
  • 线段的大小的比较
    • 概念
      • 联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离
      • 两点之间，线段最短。
    • 画图的基本语句
      • “在射线AC上截取线段AB=a”的意思是：以A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B。
    • 线段大小比较的方法：1、度量法，用刻度尺量；2、叠合法。
  • 画线段的和、差、倍
    • 概念
      • 作为几何图形的线段是可以相加减的，它们的和或差仍然是一条线段，其长度等于这两条线段的和或差。
      • 线段a乘以一个大于1的正整数n写成na（n为正整数，且n﹥1），na就是求n条线段a相加所得和的意义。当然也可以将na理解为线段a的n“倍”。
      • 中点：将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。
      • 尺规作图：当画图工具限定只用直尺（无刻度）和圆规时，一般称作尺规作图。
    • 画图的基本语句
      • ”在射线OP上顺次截取OA=a，AB=b“线段OB就是所要画的线段
      • 尺规作图的基本语句：”以点A为圆心，以大于1/2 AB的长a为半径作弧。
• 角
  • 概念与表示
    • 角：是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫作角的顶点，两条射线叫做角的边.
    • 角的始边与终边：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.如图所示,处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边
    • 角的内部和外部：角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部,简称角内.通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示；涂色部分是角的外部,简称角外
    • 注意：1、所说的角，除了周角外，未加说明的就是小于平角的角。2、一般用三个大写英文字母表示角，其中表示顶点的“O”必须放在三个字母的中间。
  • 角的大小和比较
    • 1、度量法——用量角器度量；2、叠合法。
  • 画角的和差倍
    • 概念
      • 两个角可以相加(或相减),它们的和(或差)也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和(或差)。
      • 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
  • 余角、补角
    • 概念
      • 如果两个角的度数的和是90°，那么这两个角叫做互为余角,简称互余。其中一个角称为另一个角的余角，互余 a+β=90°。
      • 如果两个角的度数的和是180°，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一个角称为另一个角的补角。互补 α+β=180°
    • 60进位制。 1°=60',1'=60"
    • 同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等。

第八章长方体的再认识

• 长方体的元素
  • 长方体有六个面，八个顶点，十二条棱。
  • 长方体的每个面都是长方形。
  • 长方体的十二条棱可以分为三组,每组中的四条棱的长度相等。
  • 长方体的六个面可以分为三组,每组中的两个面的形状和大小都相同。
  • 正方体是特殊的长方体。
• 长方体直观图的画法
  • 斜二测画法
• 长方体中棱与棱位置关系的认识
  • 空间两条直线有三种位置关系:相交、 平行、异面。
  • 概念
    • 相交：棱与棱所在的直线在同一个面内，它们有唯一的公共点,我们称这两条棱相交。 平行：棱与棱所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行。 异面：棱与棱所在的直线既不平行,也不相交，称这两条棱异面。
• 长方体中棱与平面位置关系的认识
  • 垂直
    • 检验直线与平面垂直的方法：1、铅垂线法；2、三角尺法；3、合页型折纸法。
    • 概念：直线PQ垂直于平面ABCD，记作:直线PQL平面ABCD，读作:直线PQ垂直于平面ABCD。
  • 平行
    • 检验直线与平面平行的方法：长方形纸片法。
    • 概念：直线PQ平行于平面ABCD,记已作:直线PQ//平面ABCD，读作:直线PO平行于平面ABCD。
• 长方体中平面与平面位置关系的认识
  • 垂直
    • 检验平面与平面垂直的方法：1、铅垂线法；2、三角尺法；3、合页型折纸法。
    • 概念：平面α垂直于平面β，记作 :平面α⊥平面β,读作:平面a垂直于平面β。
    • 相邻的两个面互相垂直。
  • 平行
    • 检验直线与平面平行的方法：长方形纸片法。
    • 概念：平面a平行于平面，记作:平面α//平面β，读作:平面a平行于平面β.

第九章整式

• 代数式
  • 字母代表数
    • 概念
      • 1、用字母可以简明地将数量关系表示出来。2、字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示探究得出的规律性的数。
    • 注意的要点
      • （1）在代数式中用到乘号，若是数字与数字相乘，要用＂×”号；若数字与字母或字母与字母相乘，通常简写成“●”或者省略不写，如2xa写作2● a 或2a；
      • (2）数字因数、字母因数排列时，要把数字因数写在前面，如2a，不能写成a2；
      • （3）带分数与字母相乘时，应把带分数写成假分数；
      • (4）代数式中的除的关系，一般按分数的写法来写；
      • (5）几个字母因数排列时，要按字母表的顺序排列书写；
      • (6）最后一步是加减运算的代数式，如若需要注明单位，那么必须用括号把整个式子括起来，后面再写单位．如(2a+ b ) km 不能写作2ab km 。
  • 代数式
    • 概念
      • 用运算符号和括号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，特别地、单独一个数或一个字母也是代数式，如﹣2、1/2、0、 x 、等.
    • 掌握的要点
      • 1、抓住关键性词语；2、明确运算顺序，对一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后；3、正确使用括号；4、利用“的”、“与”划分句子层次。
  • 代数式的值
    • 概念
      • 用数值代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
  • 整式
    • 概念
      • 单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
      • 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
      • 整式：单项式、多项式统称为整式。
      • 降幂排列和升幂排列：把多项式的各项按某一字母的指数从大到小的顺序排列，这叫做把多项式按这个字母降幂排列；把多项式的各项按某一字母的指数从小到大的顺序排列，这叫做把多项式按这个字母升幂排列。
• 整式加减和幂的运算
  • 合并同类项
    • 概念
      • 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式
      • 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．其法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。
    • 计算步骤要点
      • (1）标出同类项；(2）用加法交换律、结合律把各种同类项整理在一起；(3）用分配律把各同类项的系数作加法运算，计算出各种同类项的系数。
  • 整式的加减
    • 计算步骤
      • (1）如果有括号，那么先去括号；如果在化简过程中括号内有同类项，则应先合并同类项再去括号；如果括号外有数字时，那么先利用分配律将数字乘进括号内，再去括号；(2）合并同类项。
  • 同底数幂的乘法
    • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
  • 幂的乘方
    • 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
  • 积的乘方
    • 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
• 整式乘法与乘法公式
  • 整式的乘法
    • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
    • 运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②同底数幂相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
    • 多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
  • 平方差公式
    • 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两数的平方差，即（ a + b )( a - b )= a² -b²。
  • 完全平方公式
    • 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去）它们的积的两倍，即：( a + b )²= a² +2ab+ b²；( a - b )²= a² -2ab+ b² 。
  • 乘法公式综合运用
    • 常见步骤
      • 第一步：析（分析题目是运用“完全平方”还是“平方差”公式）;
      • 第二步：划（用线划出两个多项式中相同或不同部分，在运算前需转化为标准形式）;
      • 第三步：套（严格套用公式）;
      • 第四步：理（整理运算结果）