信号与系统

信号与系统知识点总结。具体包括：信号与系统的基本概念、LTI系统的时域分析、连续时间信号与系统的频域分析、离散时间信号与系统的频域分析、采样、调制与通信系统、连续时间信号与系统的复频域分析（拉普拉斯变换）、z变换与离散时间LTI系统。 导图主要基于浙江大学胡浩基教授的课程、浙江大学信号与系统学习指导。教材：《信号与系统（第二版）》化学工业出版社，于慧敏主编。浙江大学信电学院电子信息考研842/844适用。 导图共3万余字，集毕生功力之大成，非常非常全面、细致，适用于电子、通信专业的学生。

信号系统

• CH1 信号与系统的基本概念
  • 1. 信号的定义、表示及分类
    • 定义
      • 广义：表达传递信息的符号，带有信息的随时间变化的某种物理量
        • 电信号：通常是随时间变化的电压或电流
      • 严格：消息的表现形式与传送载体
        • 有了信息，对事情的不确定性降低
      • 香农：用概率确定信息量
        • 信息量=-log2[p(x)]
          • 对一定发生的事件，信息量为0
          • 对1/2概率发生的事件，信息量为1比特，即用1个比特即可表示该事件
        • 信息熵：用期望定义
        • 缺点：自然界很多事情没法赋予概率
      • 系统的定义：有输入，有输出
        • 我们专业所做的所有事情，都可以归结到“产生信号 -> 设计系统 -> 输出新的信号”这一过程
    • 表示：数学解析式/图形
    • 分类
      • 1. 确定/随机
        • 确定：能够以确定的时间函数表示
        • 随机（不确定）：不能...
      • 2. 连续/离散
        • 连续：
          • 在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值， 允许在其时间定义域上存在有限个间断点
          • 通常以x(t)或f(t)表示
          • 模拟信号：连续信号的任一时刻的取值是连续的
        • 离散：
          • 仅在规定的离散时刻有定义
          • 通常以x[n]或f[k]表示
            • n为整数，以示在离散域内取值
          • 数字信号：取值为离散的离散信号
          • 离散信号的产生
            • 对连续信号抽样 f[k]=f(kT)
            • 信号本身是离散的
            • 计算机产生
      • 3. 周期/非周期
        • 周期信号
          • 定义
            • 连续时间周期信号：对任意t∈R，存在T≠0使得f(t+T)=f(t)
            • 离散时间周期信号：对任意k∈I，存在N≠0使得f[k+N]=f[k]
            • 周期信号的时间范围：-∞，﹢∞
          • 基本周期（基波周期）：满足上述定义；最小；正T、正N
          • 求周期
          • 两个CT周期信号的和，不一定为周期信号
            • （要求有公共周期T，T能整除两者的最小正周期T1和T2）
            • 如：sin4t的T1=k1π/2，sin2πt的T2=k2，由k1,k2为整数知T1≠T2，两者无公共周期
        • 非周期信号
      • 4. 能量/功率
        • 定义
          • 能量信号：0<W<∞，P=0
            • 能量（功）有穷，功率为0
          • 功率信号：W→∞，0<P<∞
            • 能量（功）无穷，功率有穷
              • 如：直流信号与周期信号都是功率信号
          • 能量、功率均无穷
            • 如：x(t)=t（非周期信号）
            • 一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号，但有可能二者都不是
        • 归一化能量W、归一化功率P的计算 （在一个无穷区间内,-∞<t<∞或-∞<n<∞）
          • 连续信号
            • • 幅度平方的积分值，使负信号能量有意义
              • E∞也作W
              • 联系Parseval定理
            • • 注意功率是在所有时间上的功率，即T->∞，即使仅在部分时间上有信号
              • P∞也作P
          • 离散信号
      • 5. 奇/偶
        • 定义
          • 奇信号：x(t)=-x(-t)
          • 偶信号：x(t)=x(-t)
        • 奇偶分解： 信号分解为奇分量与偶分量之和
          • 连续时间信号
            • • Even/Odd
              • 偶
                • xe(t)=Ev{x(t)}
              • 奇
                • xo(t)=Od{x(t)}
          • 离散时间信号
            • • 偶
              • 奇
          • 对同一信号，奇偶分解是唯一的
            • 证明：假设不唯一，作差
          • 画奇/偶分量：分别画出1/2x(t)和1/2x(-t)，再叠加得到
            • xe[0]=x[0]，xo[0]=0
  • 2. 基本的连续时间信号
    • 1. 指数信号
      • 实指数信号
      • 虚指数信号
        • • 周期：
            • （联系欧拉公式）
            • n不取0，为了T不取0
          • 基本周期：
        • 正交函数集
          • 基波频率ω0
          • 基波周期
          • “正交”：
            • 彼此内积为0
      • 复指数信号
        • • 也作
        • 是特征函数，输入复指数输出复指数，相位、幅度变化
        • 傅里叶证明，任何一般信号都可以表示为周期复指数信号的和，这是信号处理的基石
    • 2. 奇异信号 （自身或导数存在间断点）
      • 单位阶跃信号
        • 定义
          • • • t=0时不确定，可以为任意值，由物理意义决定
          • 极限模型
            • 斜平信号u△(t)取极限
        • 作用
          • 表示任意的方波脉冲信号
            • • 表示图a：x(t)=u(t-T)-u(t-2T)
              • 图b展示了两个信号的叠加
          • 利用其单边性表示信号的时间范围
      • 单位冲激信号
        • 引出
          • 单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t) = Cdu(t)/dt可用冲激信号表示
        • 定义
          • 狄拉克定义式：
            • 能量无穷，不是能量信号
          • 极限模型
            • 规则函数取极限
              • • 由定积分几何意义（面积）易知
            • 斜平信号求导后取极限
              • 由这种定义式，可以证明积分为1
                • 即：面积为1，再取极限不影响面积
              • 积分为1性质推广
            • 抽样信号取极限
              • 狄里赫利证明傅里叶级数的收敛性
              • 证明
            • 更多
              • • （郑君里例题）
            • δ(t)的多样性：不同极限模型定义的δ(t)都相等
              • 证明：勒贝格对函数相等的定义
        • 图形表示
          • • δ(t-t0)：冲激信号可以延时至任意时刻t0
              • 定义式：
            • 冲激信号的强度：信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值
            • 物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型
            • 作用
              • 表示其他任意信号
              • 表示信号间断点的导数
        • 性质
          • 筛选特性
            • • 0点处证明
                • 勒贝格(Lebesgue)： 两个函数f1(t)与f2(t)什么时候相等？
                  • 定义3包含定义2，有限个点上不一样，乘y(t)后的黎曼积分一定相等
                    • 定义2可看作定义3的性质
                  • 注：y(t)虽然任意，但不包括奇异函数
                  • 由勒贝格对函数相等的定义
                    • u(t)处的u(0)可以取任何值
                    • y(t)=tx(t)可逆，即使t=0时x(t)的取值任意
                    • 两函数相等，则卷积同一函数结果相等 （在积分过程中换掉）
                      • 由此可知，用勒贝格函数相等定义做卷积或分析LTI系统是没有矛盾的
                • 勒贝格积分
                  • 根据定义2和勒贝格积分可知，若f1(t)和f2(t)在可数个点上不等而其他点相等，则仍有f1(t)=f2(t)
              • 康托(Cator)，1900年
                • 如果存在无限集A到无限集B的一一映射， 则称A和B一样多
                  • 若A与B一样多，则称A与B等势，或基数相等
                  • 自然数和偶数一样多
                  • 自然数和整数一样多
                    • 建立合理的编码（一一映射）即可证明
                  • 自然数和有理数一样多
                    • 证明：折线排序法
                • 无限集可以分为
                  • 可数无限集（可数集）
                    • 定义：与自然数集一样多(等势/基数相等)的集合
                  • 不可数无限集（不可数集）
                    • 实数集比自然数集多
                      • 反证法，假设存在一个一一映射，则每列各取一个不相等的数，这样取出来的数不在这一映射中
                    • 一小段实数集和全体实数集一样多
                    • x轴(0,1)上的点和正方形上的点一样多
          • 取样特性
            • • 由筛选特性易证
              • t0=0即抽样函数的广义函数定义
                • 证明：积分中值定理
          • 展缩特性
            • • 用积分可证（勒贝格对相等的定义）
              • 令a=-1知冲激信号是偶函数
                • δ(t)=δ(-t)
            • • 取f(t)=at即展缩特性
              • 例
          • 与阶跃信号的关系
        • 运算
          • 例
          • 注意
            • 在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-∞，+∞），但只要积分区间不包括冲激信号δ(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。
            • 对于δ(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a| δ(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。
        • 冲激函数是卷积运算、系统分析的基础
      • 斜坡信号
        • 与阶跃信号的关系
      • 冲激偶信号
        • 定义
          • • • 有正有负：可由冲激信号的极限模型引出
              • • 三角形脉冲函数s(t)，上面写作g(t)了
              • （也可定性理解，从负半轴的0瞬间跳到无穷大，再从无穷大瞬间跳到正半轴的0）
              • 微分器的单位冲激响应即冲激偶信号
        • 性质
          • 基本
            • • 一正一负抵消
            • • 求导、求积分互为反运算
                • 注意是变上限积分
          • 类比
            • 类比筛选特性
              • • 复合函数求导可证
            • 类比取样特性
              • • 此式也可作冲激偶函数的定义式，冲激偶函数为广义函数，通过检验函数f(t)对其相乘积分形成一个映射
                • 对上面的性质积分可证
          • 冲激函数的高阶导数
            • • （广义函数定义）
      • 四种奇异信号的微积分关系
    • 3. 常用其他CT信号
      • 1. 抽样信号
        • • （非归一化）辛格函数
          • 性质
            • 1.
            • 2.
              • 无穷小×有界
            • 3.
              • 偶函数
            • 4.
            • 5.
              • 能量信号
        • 类似：
          • （归一化）辛格函数
            • 横坐标归一了（取非零整数时得0）
            • 积分归一了
          • 性质：
        • 抽样信号积分：
          • DT,CT一致！
            • DT证明
            • CT证明：构造积分
      • 2. 方波脉冲信号
        • • 也作
        • • 通常用单位阶跃信号的差表示，如左图即u(t+τ)-u(t-τ)
          • 仅一边：如G5(t)=u(t)-u(t-5)
      • 3. 三角形脉冲信号
      • 4. 符号函数
        • • 可以整个使用，不写成阶跃信号的形式
  • 3. 基本的“DT"序列
    • 1. 单位样值（脉冲，抽样）序列
      • 作用：表示任意离散时间信号
        • 求和
      • 性质
        • • 类似连续时间的筛选特性
        • • 类似连续时间的取样特性
          • DT信号的脉冲分解
          • 也可通过定义简单理解
    • 2. 单位阶跃序列
      • 与脉冲序列关系：
    • 3. 斜坡序列
    • 4. 矩形序列
      • • 也作GN[n]
      • 与阶跃序列关系：
    • 5. 离散复指数序列
      • β=0时，为常数序列
        • x[n]=c
      • 实指数序列
        • c，β均为实数时，为实指数
      • 纯虚指数序列 （单频序列）
        • β=jω0时，为纯虚数
        • 周期性
          • • 和连续时间不一样，因为连续时间t可以取任何值，但离散时间n只能取离散值
            • 由N必须是整数知，2π/ω0为有理数
              • 判断周期性时，可直接用此结论，为无理数则非周期
            • 若基波周期为N，则基波角频率为2π/N=ω0/m
          • 通法：用2π除，分母即周期
            • 设周期，由函数周期性，x(n)=x(n+N)现推亦可
        • 与虚指数信号对比
          • 1. 抽样
          • 2. 周期性
            • x[n]不一定是周期序列，但x(t)一定是周期信号
              • n的离散性造成
          • 3. 基波角频率、基波周期
          • 4. 频域分析
            • x[n]一定是ω0的周期函数，周期为2π，故频域分析只需要分析2π就行
            • CT周期信号要用无穷多个纯虚数指数信号构成，而DT信号只要用N有限项纯虚数指数序列构成
    • 6. 正弦型序列
      • 正弦型序列也不一定是周期序列，其周期性的判断与虚指数序列相同
  • 4. 信号的时域运算和自变量变换
    • 时域运算
      • 1. 相加
        • 用加法器实现
      • 2. 相乘
        • 用乘法器实现，也称调制
      • 3. 微分/差分
        • • 对不连续点的微分：突变点得到冲激信号
        • ，依此向后差分
      • 4. 积分/累加
        • • 用积分器实现
    • 时域变换 （自变量变换）
      • 1. 反褶（反转，翻褶）
        • 将信号x(t)以纵坐标为轴折叠，即得到x(-t)，表示式中只要把-t换以t即可
        • 若序列为x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以反褶的序列
      • 2. 时移（移位）
        • 将信号x(t)沿轴平移t0即得平移信号x(t—t0)，如 t0>0，则为右移，t<0，刚为左移
          • "左加右减”
        • 当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位
        • 用延时器实现，
      • 3. 尺度变换
        • CT：展缩
          • x(t)-->x(at)
            • 0<a<1：扩展
            • a>1：压缩
            • a<0：展缩+反褶
            • 注意：断点函数值不变
              • 画图时常用此性质！
              • 在实际的做题过程中，可以把x(t)的图形画出来，然后根据关键点（图形的转换点，最高点，最低点，两边的端点等）通过算术映射来求得整幅图形的映射，因为所有的上述变换过程中，会保持图形的形状不变。
          • x(at+β)
            • 时移+反褶+展缩（顺序任意）
              • 一般方法
                • 1. a<0：反褶
                • 2. 根据β左/右移
                  • β>0左移
                  • β<0右移
                  • 注意此时是对t的改变，比如已经反褶的x(-t)，再右移β得到x[-(t-β)]
                • 3. 根据|a|展缩
                  • |a|<1扩展
                  • |a|>1压缩
                  • 阶跃信号不用展缩，如u(t)和u(2t)等价
                    • 同上，再展缩得到
              • 解二：提出a，反褶-展缩-时移
          • 注意联系冲激信号的展缩特性：
            • 对横轴的展缩，却能改变纵轴的值
        • DT
          • 抽取
            • 在原序列中每隔M-1点抽取一点，实现数据压缩，相当于CT压缩
          • 插值（内插）
            • 在序列2点之间插入L-1个点，相当于CT扩展
  • 5. LTI系统的数学模型及性质
    • 系统定义及分类
      • 定义：能产生、传输、处理信号的集合体称为系统
      • CT系统处理CT信号，DT系统处理DT信号
      • CT
        • 数学模型
          • 输入输出描述：N阶常系数微分方程
            • 即
          • （状态空间描述：N个一阶微分方程组）
        • 线性时不变(Linear Time-Invariant, LTI)系统：ak,bk为常数
        • 求解方法
          • 解微分方程/卷积法
        • 初始条件
          • 零状态系统
          • 松弛系统
      • DT
        • 数学模型
          • 输入输出描述：N阶常系数(后向)差分方程
            • 即
          • （状态空间描述：N个一阶差分方程组）
        • 线性时不变(Linear Time-Invariant, LTI)系统：ak,bk为常数
        • 求解方法
          • 解差分方程/卷积法
        • 初始条件
          • 零状态系统
          • 松弛系统
    • 系统的性质
      • 1. 线性/非线性
        • 线性系统 (Linear System)
          • 定义
            • 符合叠加原理，即齐次性+叠加性
          • 判断方法 （以CT系统为例）
            • 零状态线性系统 （无初始状态，松弛线性系统，默认）
              • 线性特性
                • 齐次性（均匀性）：若f1(t)--->y1(t)，则Kf1(t)--->Ky1(t)
                • 叠加性：若f1(t)--->y1(t),f2(t)--->y2(t)，则f1(t)+f2(t)--->y1(t)+y2(t)
                • 同时具有两种特性方为线性特性
                  • 代公式，形如：x(t)-->y(t)=...，则Kx(t)-->...=Ky(t)
                  • 注：x(t)->y(t)，可记作T{x(t)}=y(t)
                  • 解法：由输入函数的任意性，将输入看作整体代入
                • 整合两种特性即：
                  • • 代公式，形如：设x(t)=α·f1(t)+β·f2(t)，则y(t)=...=α·y1(t)+β·y2(t)
                  • 两种定义一样，证明如下：
              • 默认无初始状态，由齐次性可知，零输入必定产生零输出
              • 线性系统判断技巧
                • 1. 每一项都有x
                • 2. 每一项的x都是一次
                • 3. 例
            • 增量线性系统 （有初始状态）
              • 具有初始状态的线性系统，输出响应=零输入响应+零状态响应
                • （CT系统）
              • 也称增量线性系统，不满足零输入零输出。另一个定义：该系统对任何两个输入信号的响应之差 是 输入信号的差的线性函数
                • • （把零输入响应C作差消去了，剩下零状态响应对所有输入信号呈线性(齐次、叠加)）
                • 物理意义：含独立源，初始条件不为零
              • 判断方法
                • 三个方面 （分三步）
                  • 1. 具有可分解性
                    • 任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和
                      • 应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关
                  • 2. 零输入线性
                    • 系统的零输入响应yzi(t)必须对所有的初始状态y(0)呈现线性特性
                      • 应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量
                      • 相比零状态系统，多了这个，通常取常数C
                  • 3. 零状态线性
                    • 系统的零状态响应yzs(t)必须对所有的输入信号f(t)呈现线性特性
                      • 应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量
                • • 该题应改为：是否为“增量线性系统”
                  • 微积分运算是线性运算
        • 非线性系统 (Non-Linear System)
          • 增量线性系统常算作非线性系统
          • y[n]=x[-n+1]是非线性？？
      • 2. 时不变性/时变性
        • 时不变系统 （非时变系统） (Time-Invariant System)
          • 定义：系统的输出响应与输入激励的关系（行为特性） 不随 输入激励作用于系统的时间起点 而改变
          • 时不变特性
            • 时不变的CT系统：
            • 时不变的DT系统：x[n]-->y[n]，有x[n-n0]-->y[n-n0]
          • 线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述
          • 另一种理解
            • 对LTI系统，先移位后压缩=先压缩后移位
          • 时不变系统判断技巧
            • 1. t只在x的括号里
            • 2. t只能是t，不能是2t,-2t,t²等
            • 3. 例
        • 时变系统 (Time-Variant System)
          • • 变f(t)为f(t-t0)， 看y(t)是否变为y(t-t0)
              • 判断时不变特性时， 只考虑零状态响应， 不涉及系统的初始状态
            • f(t-t0)对应的是f括号内整体减t0， y(t-t0)则是对等号右侧t单独操作
              • 理解：将时变后的输入令成整体
            • 系数含t
      • 3. 记忆性/无记忆性
        • 记忆系统 (Memory System)
          • 输出取决于当前和/或过去的输入，输出与将来值有关也称记忆系统
          • 记忆性说明系统具有保留或存储不是当前时刻输入信息的功能
          • 通常令t=0，看y(0)=x(有没有负数)
            • 有负数就是记忆系统
        • 无记忆系统 (Memoryless System)
          • 输出只与当前输入时刻有关
      • 4. 因果性/非因果性
        • 因果系统 (Casual System)
          • 系统输出只与现在和过去的输入有关（与未来无关）
            • 解题时直接按定义说明即可
          • 无记忆系统一定是因果系统，但因果系统不一定是无记忆系统
          • 充要条件
            • 因果连续时间LTI系统的单位冲激响应必须满足
              • 即：一个因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零
              • t<0时若h(t)有孤立的值不影响
                • 由勒贝格对函数相等的定义，它与左侧的h(t)相等
                • 孤立的值不影响卷积中的积分
            • （当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统）
          • 因果系统判断技巧
            • x括号里的数 < y括号里的数
        • 非因果系统 (Non-Casual System)
          • 当前输出与未来有关
          • 物理上难以实现（系统具有未卜先知的能力）
          • 解法
            • 解一：代常数，如y(t)=x(2t)代t=1，则1时输出与2时输入有关，非因果
            • 解二：举反例
      • 5. 可逆性/不可逆性
        • 可逆系统 (Reversible System)
          • 当逆系统存在时，将原系统与逆系统级联后的输出就是原来的输入
          • 不同输入必然导致不同输出
            • 判定依据：输入x(t)与输出y(t)是单值一一对应的
          • 可逆系统必然有一个逆系统存在
          • 充要条件
            • h(t)*h1(t)=δ(t)
              • h1(t)为h(t)的逆系统
        • 不可逆系统 (Irreversible System)
          • 不同输入，导致相同输出
          • 对CT系统，微分器是积分器的逆系统，但微分器不可逆，如输入常数输出都为0（先积后微√，先微后积×）
            • 对DT系统，微分器输入常数输出不同
            • CT微分器不可逆，因为积分后要加C
      • 6. 稳定性/不稳定性
        • 稳定系统 (Stable System)
          • 有界输入→有界输出
            • (Bounded Input Bounded Output, BIBO)
          • 充要条件
            • 连续时间LTI系统稳定必须满足
              • 绝对可积
              • 证明
              • 注意要求为LTI系统
        • 不稳定系统 (Unstable System)
          • 有界输入→无界输出
      • 7. 例：求解通法
    • 系统的基本连接
      • 1. 级联
        • • 频响：相乘
        • LTI系统串联后仍为LTI
      • 2. 并联
        • • 频响：相加
      • 3. 反馈环路
        • 推知
          • 频响：
• CH2 信号与线性时不变系统的时域分析
  • 1. 信号的时域分析
    • 脉冲分解
      • DT
        • 任意一个DT序列x[n]都可以表示为加权、延迟单位样值序列δ[n]的叠加
      • CT
        • 任意一个CT信号x(t)都可以表示为加权、延迟单位冲激信号δ(t)的叠加
      • 利用了δ信号的筛选特性
    • 线性时不变(LTI)系统：既线性又时不变的系统，Linear Time-Invariant System
    • 为什么研究LTI系统
      • 1. 为什么研究线性系统
        • 线性只是对现实问题的近似
        • 如：摩擦力公式
      • 2. 为什么研究时不变系统
        • 事物都会老去，没有绝对意义上的时不变系统
        • 时不变也是对现实问题的近似
      • 3. LTI系统很简单
        • 如果我们知道LTI系统的一个x(t)对应的y(t)，那么我们就知道了所有x(t)对应的y(t)
  • 2. CT LTI系统的时域分析
    • 时域求解：在时域中直接求解在输入信号x(t)激励下系统的全响应
    • 求解全响应
      • 经典法
        • ya(t)(全响应) = yh(t)(自由响应) + yp(t)(强迫响应)
          • 齐次解yh(t)： 形式由齐次方程的特征根决定
            • 1. 特征根是不等实根
              • s1, s2, ..., sn
            • 2. 特征根是等实根
              • s1=s2=...=sn =s
            • 3. 特征根是成对共轭复根
          • 特解yp(t)： 形式由方程右边激励信号的形式决定
        • 例题
        • 分析因果系统
          • 把响应时间确定为x(t)加入以后系统状态变化区间
            • 如：x(t)在t=0时加入，则响应时间为0+<t<∞
          • 系统在激励信号加入前后状态不一定完全相同
            • 起始条件：加入激励前的边界条件
            • 初始条件：加入激励后的条件
          • 判断起始条件、初始条件是否相同：看右端激励项的形式
            • 激励项不含δ(t)及其各阶导数
              • 起始=初始
            • 激励项含δ(t)及其各阶导数
              • 起始≠初始
          • 若起始条件、初始条件不同，则可用冲激平衡法求解
            • 例
      • 卷积积分法
        • ya(t)(全响应)= yzi(t)(零输入响应) + yzs(t)(零状态响应)
          • 零输入响应yzi(t) (zero-input response)
            • 对所有的初始状态y(0)呈现线性特性
            • t大于0时无输入，小于0时有状态
              • 由原有的初始状态所产生，与激励无关
            • 模型：
              • 与yh(t)解的形式相同
              • Ai：由起始条件确定，自由响应yh(t)的Ci由初始条件决定
              • 系统的阶数N = 全响应中指数项的项数 = 特征方程解的个数
            • 求解（微分方程）
              • 1. 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式
              • 2. 由初始状态确定待定系数
            • 例题
          • 零状态响应yzs(t) (zero-state response)
            • 对所有的输入信号x(t)呈现线性特性
            • t大于0时有输入，小于0时无状态
            • 由系统的激励引起，还与激励信号引起系统的跳变状态（即系统的结构特性）有关
              • 包含经典法中yp(t)和yh(t)的一部分
                • 如果已经用经典法求解，再求yzs(t)，则可列出yzs(t)与ya(t)的形式一样，但齐通的常数由yzs的初始条件yzs(0+),yzs'(0+)决定
                • P40 例2.10
            • 求解（卷积法）
              • 1. 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合
              • 2. 求出单位冲激信号作用在系统上的响应（单位冲激响应）h(t)
              • 3. 利用线性时不变系统的特性，卷积求解yzs(t)
            • 求解推导
            • 例题
              • • （已知冲激响应，故直接第三步）
              • • 积分运算时，将阶跃函数“往外提”并改变积分限，本质是分段函数的简写
        • 冲激响应、阶跃响应
          • 单位冲激响应
            • 定义
              • • 在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号δ(t)激励系统所产生的输出响应，记作h(t)
                  • 注意是零状态响应（要求yzi=0），不是全响应
              • N阶连续时间LTI系统的h(t)：
              • h(t)可以完全表达一个LTI系统的特性
            • 求解方法：冲激平衡法
              • 解一：解出初始条件，代入得h(t)
                • 例题
                  • • h(t)=B1e-4t+B2e-t：参照解二列出
                  • 注：n,m：
                    • n>m时：
                      • 2>1
                        • • h(t)变化a，h'(t)变化b
                            • h(0+)-h(0-)=a
                            • h'(0+)-h'(0-)=b
                      • 2>0
                        • • h(t)无变化，h'(t)变化a
                            • h(0+)=h(0-)
                            • h'(0+)-h'(0-)=a
                      • "变化"即u(t)系数
                    • 其他？
                      • n=m时：
                        • • 以1=1为例
                        • • 以2=2为例
                      • n<m时：
                        • 以1<2为例
                • 总结
                  • 所设h(t)仅用于求解初始条件
              • 解二：直接解出h(t)
                • 例题
                  • （题同解一）
                  • 注：n,m：
                    • n>m时：
                    • n=m时：
                      • 加上δ(t)使得h(t)求导后可以与等号另一端的δ'(t)匹配
                        • "冲激平衡”
                    • n<m时：
                • 总结
                  • 1. 由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式
                  • 2. 由动态方程右边d (t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项
          • 单位阶跃响应
            • 定义
              • • 在系统初始状态为零的条件下，以单位阶跃信号u(t)激励系统所产生的输出响应，记作s(t)或g(t)
              • N阶连续时间LTI系统的s(t)：
            • 求解方法
              • 解微分方程
              • 利用冲激响应与阶跃响应的关系
                • • s(t)=h(t)*u(t)
              • 例题
        • 卷积积分及其性质
          • 卷积定义与计算
            • • 卷积定义
            • • 卷积计算（卷积公式）
              • 引入：单位冲激信号
              • 证明：CT信号的脉冲分解
                • 脉冲分解推导
                  • 解一：筛选特性
                  • 解二：阶梯函数取极限
                    • △→0时，x△(t)=x(t)
              • “卷积”：convolution，卷为反转，积为相乘
              • 由公式易知，x(t)或h(t)其一以T为周期，则y(t)也以T为周期
            • 计算方法
              • 1. 直接代公式
                • “积分中的u(t)可提出来”
                  • 本质：分段函数，用u(t)的形式表达
              • 2. 图解法
                • "置换-反转-平移-相乘-积分”
                  • 反转平移都是对τ的操作，如右式h(2-τ)翻转得h(2+τ)，平移得h(2+τ-t)
                    • 解释
                      • 容易绕晕，建议代值看u[0]的点
                • 这种方法把u(t)以图像的方式呈现出来，以确定t的取值范围，避免了积分中出现u(t)再提出来麻烦
                • 例
                  • • 没有取值默认为0
                  • 端点处可并可不并，一般左闭右开（概率论的习惯）
              • 3. 利用δ(t)的延时性质
                • “一导一积”
                • 出现阶跃、方波信号时常用，将其求导得到δ(t)，再与另一信号的积分进行卷积
                • 例
                  • • 计算过程中u(t)项比较多，因此比法2麻烦
          • 卷积运算技巧
            • 确定结果区间：成对求和规则
              • 1. 建立x(t),h(t)的范围边界点
              • 2. 构建它们的成对和（一个信号的每个值加上另一个信号的每个值）
              • 3. 按上升次序排列成对和，舍去重复值
              • 4. 得到成对和即关键点（横轴），在相邻的关键点画出合适的曲线即可
            • 确定结果峰值：面积守恒定理
              • 1. y(t)始=x(t)始+h(t)始
              • 2. y(t)终=x(t)终+h(t)终
              • 3. Sy=Sx·Sh
            • 例
              • • 结论：两个等宽矩形卷积结果为三角形（三角波）；两个不等宽矩形卷积结果为梯形
              • • 方波叠加形成的信号，卷积结果一定是线性的（直线连起来）
              • 两个相同的方波信号卷积，得到原信号两倍大的“等腰三角形”
          • 卷积验算技巧
            • 临界点上看一下，除非x(t)或h(t)有δ函数，否则卷积结果不会跳变
          • 卷积性质
            • 基本运算律
              • 交换律
                • • 换元易证
                  • 另一种理解：在坐标面的背面，看到的是另一个信号反转
              • 分配律
                • • 证明：积分与求和具有分配率
                • 物理意义：并联系统
              • 结合律
                • • 证明：二重积分换元
                • 物理意义：串联系统
                  • • 非LTI系统则不适用，输出与级联次序有关
                    • 证明二：LTI系统串联换序结果不变
            • 特性
              • 微分
                • • 证明：通过微分器即卷积冲激偶信号
                • 推广
              • 积分
              • 微+积
                • 卷积阶跃信号时常采用，u(t-t0)求导得δ(t-t0)，再延时即可
              • 要求
            • 与奇异函数的卷积
              • 与单位冲激信号
                • • 等于本身
                • • 单位冲激信号的延时性质，相当于一个延时系统
              • 与单位阶跃信号
                • • 相当于一个积分系统（积分器）
            • 时移信号的卷积
              • • 输出延时：对输入延时/对系统延时
  • 3. DT LTI系统的时域分析
    • 求解全响应
      • 经典法
        • ya[n]全响应= yh[n]自由响应 + yp[n]强迫响应
          • 方法较繁，较少采用
          • • 代起始条件，而CT代初始条件
              • P40 例2.11
      • 卷积和法
        • ya[n]全响应= yzi[n]零输入响应 + yzs[n]零状态响应
          • yzi[n]零输入响应
            • 仅与系统的起始状态（加入激励前）有关
              • 无起始状态时，yzi[n]为0
              • 如n=0时加入激励，则起始条件为y[-k],k=1,2,...N；如n=n0时刻加入，则起始状态为y[n0-k],k=1,2,...,N
          • yzs[n]零状态响应
            • 与激励、系统的结构特性有关
              • 无激励时，yzs[n]和yp[n]为0
            • 求解（卷积和法）
              • 1. 将任意信号分解为单位样值序列的线性组合
              • 2. 求出单位样值序列作用在系统上的响应（单位样值响应序列）h[n]
              • 3. 利用线性时不变系统的特性，卷积和求解yzs[n]
        • 样值响应、阶跃响应
          • 单位样值响应序列
            • 定义
            • 求解：代入求系数（不用冲激平衡）
              • 例
          • 单位阶跃响应序列
            • 定义
            • 与单位样值响应序列关系
              • • 求和/差分
        • 卷积和及其性质
          • 定义与计算
            • • 注意u[n]-u[n-1]仅在0上有值，而不是在0,1上有值
              • 卷积定义：第一个等号
                • y[n]取决于x[n]和h[n]，即二者的卷积
              • 卷积计算：第二个等号（卷积公式）
                • 证明：DT信号的脉冲分解
              • “反转平移相乘求和”
            • 计算方法
              • 1. 利用δ[n]的延时性质
                • • 注意h[n]表示成了δ[n]求和的形式，而不是n{u[n]-u[n-3]}，方便利用延时性质（此处与CT有区别）
                • 适用于较短的时限序列（有限），但不易写出y[n]的闭合形式
              • 2. 排表法
                • y[n]定义域确定方法
                  • y[n]最左边=x[n]最左边+h[n]最左边
                  • y[n]最右边=x[n]最右边+h[n]最右边
                  • 如左图，y[n]始于0终于5
                  • 原理：y[n]=x[n]*h[n]
                    • 输入δ[n]时，h[n]最左边是h[n]相对于0的左移（h[n]最左边导致从0左移这些）
                    • 输入x[n]时，由时不变知x[n]最左边是h[n]又左移的量（x[n]最左边导致从h[n]最左边又左移这些）
                  • x[n]有N1个数，h[n]有N2个数，则y[n]有N1+N2-1个数
                • 排表
                  • 解一：两两相乘，对角相加
                  • 解二：两两相乘，逐行右移，逐列相加
                    • 原理：每行各看作一个δ[n](时移、改变幅度后)的输出，时移+叠加即得最后一行的最终输出
                • x[n]长度为N，h[n]长度为N，用列表法计算y[n]
                  • (N-1)²次加法
                  • N²次乘法
                  • 计算复杂度o(N²)
                  • 用快速傅里叶变换，计算复杂度o(NlogN)
                • 离散情况特有，常用于较短的序列
              • 3. 利用卷积和公式
                • 对于无穷序列，常用这种方法
                  • 列几项后归纳/等比数列求和
                • 对计算机，列表法和公式法都是一样的
              • 4. 图解法
                • • 置换-反褶-平移-相乘-求和
                • 例
                  • • 非0端点处可并可不并，一般左闭右开（概率论的习惯）
                    • 但要注意y[n]左右两端不是可并可不并
                    • 没有取值默认为0
          • 卷积和运算技巧
            • 确定结果区间：成对求和规则
              • 1. 建立x[n],h[n]的范围边界点
              • 2. 构建它们的成对和（一个信号的每个值加上另一个信号的每个值）
              • 3. 按上升次序排列成对和，舍去重复值
              • 4. 得到成对和即关键点（横轴），在相邻的关键点画出合适的曲线即可
            • 确定结果峰值：面积守恒定理
              • 1. y[n]始=x[n]始+h[n]始
              • 2. y[n]终=x[n]终+h[n]终
              • 3. Ly=Lx+Lh-1
            • 例
          • 卷积和性质
            • 基本运算律
              • 交换律
              • 分配律
              • 结合律
            • 特性
              • 差分
              • 求和
            • 与奇异函数的卷积
              • 与单位样值序列
                • • 等于本身
                • • 单位样值序列的延时性质，相当于一个延时系统
              • 与单位阶跃序列
                • • 相当于一个累加器
            • 时移信号的卷积
              • • 输出延时：对输入延时/对系统延时
      • 迭代法
        • 推导
        • 递归型差分方程
          • 当前的输出可由所有的激励和以前的输出值递推后得出
          • 无限脉冲响应系统（IIR）
        • 非递归型差分方程
          • • 推导：原式N=0
          • 当前的输出只与激励有关，与过去的输出无关
          • 有限脉冲响应系统（FIR）
  • 4. h(t) h[n]与系统特性
    • 因果系统
      • CT
        • h(t)=0, t<0
      • DT
        • h[n]=0, n<0
    • 稳定系统
      • CT
      • DT
      • 能量有限
    • 可逆系统
      • CT
        • h(t)*h1(t) = δ(t)
          • h1(t)为h(t)的逆系统
      • DT
        • h[n]*h1[n] = δ[n]
          • h1[n]为h[n]的逆系统
  • 5. 用微(差)分方程表征的CT(DT) LTI系统及直接II型方框图
    • CT LTI系统的表征
      • 基本运算器：乘法器、加法器、积分器
    • DT LTI系统的表征
      • 基本运算器：乘法器、加法器、单位延迟器
• CH3 连续时间信号与系统的频域分析
  • 1. CT LTI系统的特征函数
    • 引入
      • 1. 已知x(t),y(t)，如何算h(t)？
        • DT有限：逆运算即可
        • CT：需要频域分析
          • 这里h(t)并不仅在(0,2)上非0，因为y(t)两侧是抵消掉得到的0
          • 事实上h(t)无法完成从-∞到+∞的积分，通常用较大的数模拟，最终得到的y(t)两侧为波浪状趋于0
      • 2. 虚指数信号e^jωt(-∞<t<+∞)通过LTI系统的zs响应
        • 可以表达成虚指数信号的线性积分
        • 其中
          • 系统的频响，h(t)的傅里叶变换
      • 3. 任意非周期信号通过LTI系统的zs响应
        • 若信号的Fourier存在，则可由虚指数信号的线性组合表示，即
        • 由均匀性、积分特性，推知
      • 4. 系统频响H(jω)的定义与物理意义
        • LTI系统把频谱为F(jω) 的输入改变成频谱为H(jω) F(jω) 的响应，改变的规律完全由H(jω) 决定
        • H(jω)：系统的频率响应
          • • |H(jω)|：幅频特性（幅度响应）
              • 改变大小
            • e^jθ(ω)：相频特性（相位响应）
              • 改变方向
              • 傅里叶变换前后，相频特性θ(ω)不改变
        • 物理意义：反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性
      • 5. H(jω)与h(t)的关系
        • • 即：等于系统冲激响应的Fourier变换，成一个傅里叶变换对
      • 6. H(jω)的求解方法
        • 由描述LTI系统的微分方程直接计算
        • 由LTI系统的冲激响应的傅里叶变换计算
        • 由电路的zs频域等效电路模型计算
    • • 复指数信号e^st是CT LTI系统的特征函数（本征函数）
      • H(s)：系统函数（特征值，本征值），s=σ+jω
      • CT LTI系统对e^st的响应
    • 傅里叶分析：s=jω，纯虚数
  • 2. CT周期信号的傅里叶级数表示 (Fourier Series, FS)
    • 引入：傅里叶求解热传导方程
      • 一维
      • 二维
      • 三维
        • • 天气预报
          • 用AI改进傅里叶变换，可以得到更好的天气预报结果
      • 难点：f(x)形式任意
        • 对常数、三角函数
        • 对任意函数
          • • 由此可知，热传导方程是LTI系统
            • 此处三角函数的频率不是随意的，而是ω0的整数倍
          • 补：三角函数的正交性
            • • 证明：积分即可
            • • 证明：积化和差
            • • 证明：降幂
            • 总结：一组正交基函数，彼此内积为0
          • 根据f(x)算出B0,Bk,Ck （傅里叶级数推导）
            • 算B0
            • 算Bk
            • 算Ck
          • 存在问题
            • 拉格朗日拒稿：收敛性，即什么时候f(x)可以展开为上面的形式
              • 傅里叶：“我觉得k累加到无穷大时是严格收敛到f(x)的”
              • 狄里赫利条件
                • 没有给出充分必要性，有一些奇怪的函数不满足该条件但收敛
                • 泛函分析
            • 对于任意的f(x)，B0,Bk,Ck积分很难手算
              • 不要盲目迷信解析解，计算机可算出不解析的解
            • 哲学问题：自然界的信号都可以被cos和sin整数倍频率表示吗？
              • 吉布斯现象
    • 定义
      • 指数形式
        • • ak：频谱函数，傅里叶级数系数，也作Cn，X(nΩ0)，X(jkΩ0)
        • • k=0
            • 直流分量
          • k=±1
            • 基波频率f0，两项合起来为基波分量
          • k=±2
            • 基波频率2f0，合起来为2次谐波分量
          • k=±N
            • 基波频率Nf0，合起来为N次谐波分量
        • FS和FT的本质是sin和cos，引入复数只是为了简化表达
          • 频率不为负值：k取负值时，与正值成对出现，本质还是三角函数
      • 三角形式
        • • 其中
            • 直流分量
            • 基波、谐波分量
              • ω0：基波频率
              • kω0：k次谐波频率
          • 与指数关系
            • 三角→指数
            • 指数→三角
              • • 推导：
        • 仅适用于实信号
          • • f(t)
            • 注：这里的Cn即指数形式的ak（教材差异）
            • ak=a-k*，从而2Re(...)=ak+a-k=Bk
          • 证明：x(t)奇偶分解，偶分量对应Re{ak}为偶，奇分量对应Im{ak}为奇
        • 辅助角公式，三角函数合一
          • • • 直流分量+基波（和原函数同频）
            • • 二次谐波（2倍频）
            • • 高次谐波
          • • 系数关系：
              • a0亦作a0/2
            • 计算
              • 直流分量
              • 谐波分量
    • 典型信号的傅里叶级数
      • 例题
        • 已知信号，求展开式
          • 解一：先推指数，后推三角
            • • Sa信号前面的积分？
              • 写成指数形式即可（P2不用写）
              • 周期矩形脉冲信号的傅里叶系数：
            • • • 这里推出ak是偶函数，故x(t)仅有cos项（实信号，不含j）
                  • “余弦级数”
          • 解二：先推三角，后推指数
        • 欧拉公式
    • 收敛条件（两种）
      • 一个周期内能量有限
      • 狄里赫利(Dirichlet)条件
        • 条件：若以T为周期的信号x(t)满足
          • 1. 任何周期内绝对可积
            • 充分不必要
          • 2. 任何有限区间内，最大值和最小值数目有限
            • 不振荡
          • 3. 任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些不连续点上，信号具有有限值
            • 左右极限存在
            • 不连续点收敛于左右极限均值
          • 必要不充分
        • 满足该条件，则：
        • 证明
          • 引理1：黎曼勒贝格引理
            • 满足前两个狄里赫利条件，即可保证x(t)平缓，从而有该引理
            • 详细证明：张筑生《数学分析新讲》
          • 引理2：抽样信号积分
          • 引理3：抽样信号取极限
    • 吉布斯(Gibbs)现象
      • 定义：用傅里叶级数的有限项来近似原信号，在断点两侧呈现高频起伏和9%超量（过冲峰值），高频起伏和超量所拥有的能量随谐波分量增加而减少，但不会消失
      • 产生原因：时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛
      • CTFS，CTFT均存在
        • DTFT，DTFS不存在收敛条件，无吉布斯现象
      • 周期方波信号经过一个低通滤波器会出现吉布斯现象
    • 函数的正交(orthogonal)分解
      • 引入
        • • 傅里叶发明了1、cos、sin这样的正交基，并把函数x(t)正交分解了
      • 内积(Inner Product)运算
        • 若一个运算< · >满足如下4个性质， 则该运算为内积
          • 1. 交换律
            • （共轭）
          • 2. 齐次性
            • <λx,y> = λ<x,y>
          • 3. 叠加性
            • <x+y,z> = <x,z> +<y,z>
          • 4. 非负性
            • <x,x>≥0，当且仅当x=0取等号
        • 常用内积
          • CT
          • DT
          • 加共轭：不一定是实函数，加共轭才能保证非负
      • 正交函数族（正交基函数） (Orthogonal Basis Function)
        • 定义
        • 将x(t)分解为正交函数族的线性叠加（正交分解）
          • 由最后一行式子表示出ak，反代到第二行即最后的x(t)
      • 标准正交基函数 (Orthonormal Basis Function)
        • 定义
        • 正交基的标准化：把正交基化为标准正交基
          • 例：
        • 联系线代中的施密特正交化、单位化
        • 标准化公式
        • 将x(t)分解为标准正交基的线性叠加
      • 从正交基的角度理解傅里叶级数
        • 易证：
        • 由正交基、x(t)式可推ak式
      • 其他正交基函数
        • 1. 1905年Haar创造的Haar小波(wavelet)正交基
        • 2. 勒让德多项式
          • 定义
          • 正交性
          • 表示[-1,1]的函数
            • 类似傅里叶级数
            • 表示[-2,2]：自变量放缩即可
      • 问题：收敛性证明，如对于傅里叶级数有狄里赫利条件
      • 施密特正交化
      • 主成分分析 (Principle Component Analysis, PCA)
        • 核心：从一大堆数据中自动训练出一组正交基
        • 一张图像含有RGB三个量（三个矩阵），称为一个三维的张量(Tensor)
          • channel=3，即M*N*3
        • 例：人脸识别
          • 将一张人脸X分解为正交基的线性叠加
          • “任何一张人脸都是500张人脸的线性叠加”
          • 对于每一张人脸，都有500个系数，衡量两张脸的差别时，比较500个系数相比每个像素取模平方要好得多（过于敏感）
  • 3. CT信号的傅里叶变换 (Fourier Transform, FT)
    • 引入
      • 从傅里叶级数到傅里叶变换
        • 非周期：看作周期无穷大
        • T0->∞时，ak->0，故换用T0ak表示信号的特征，并记作X(jω)
          • X(jω)的自变量是ω，j只是一个占位符
        • • 反过来：周期延拓
        • 物理意义：X(jω)是单位频率所具有的信号频谱(T0ak=ak/f0)，称为非周期信号的频谱(密度)函数
      • 频谱函数、频谱密度函数
        • 周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱
          • 周期ak
          • 非周期X(jw)
        • 周期信号的频谱为ak的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为T0 ak的分布，表示每单位频带内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数
    • 定义
      • 非周期
        • 正
          • 基本信号：纯虚指数信号
        • 反
          • 由傅里叶级数的x(t)式，求和取极限即得该积分
        • 两式相互推导
      • 周期
        • • 基本信号：单位冲激信号
          • 强度：2πak
    • 典型信号的频谱
      • 非周期信号
        • 1. 指数信号
          • 单边指数信号
            • • 幅度频谱
                • 有效带宽仅在正频域，但因为频谱左右对称，负频域部分也要表示
              • 相位频谱
          • 双边指数信号
            • • 实函数，偶对称
          • 推广
            • x(t)=
            • X(jω)=
              • 频域微分（像函数导数）
        • 2. 单位冲激信号δ(t)
          • F[δ(t)]=1
            • 由取样性质易得
          • • 时移性质
        • 3. 直流信号
          • f(t)=1,-∞<t<+∞
          • • 由傅里叶逆变换可得，1与2πδ(ω)互易对称
          • • 时域越宽，频域越窄，反之亦然
        • 4. 符号函数信号sgn(t)
          • F(jω)=
        • 5. 单位阶跃信号u(t)
          • u(t)=1/2+1/2*sgn(t)
        • 6. 矩形脉冲(方波)信号
          • x(t)推X(jω)
            • • 脉宽2T1
            • • 时域推频域：Sa前的系数=时域方波的面积
              • 频域推时域：A=频域面积(积分得)/2π
                • 联系第一章辛格函数
        • 7. 辛格函数
          • X(jω)推x(t)
            • • 时域推频域：A=时域面积
              • 频域推时域：sin前的系数=A
                • 或：x(t)=ASa(W1t)，A=频域面积/2π
            • x(t)推X(jω)
        • 8. 三角波信号
          • • • 注意三角波时域表达形式
              • 两边截止在τ
            • • 时域推频域
                • A=时域三角形面积，ω卷积得来（成对和）
              • 频域推时域
                • A=频域三角形面积/2π，t卷积得来（成对和）
      • 周期信号
        • 1. 虚指数信号
          • 同理：
          • CTFS
            • • 周期信号可以展开成虚指数信号的叠加，幅度是ak，此处仅a1=1
        • 2. 正弦型信号
          • • 时域左右关于y轴对称，相当于频域乘2cos(t0ω)
              • 推导：频域乘H(jω)=2cos(t0ω)，则时域卷积h(t)=δ(t-t0)+δ(t+t0)
            • 频域左右关于y轴对称，相当于时域乘2cos(ω0t)
              • 推导：时域乘h(t)=2cos(ω0t)，则频域卷积H(jω)=2π[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]再除2π
          • CTFS
            • cos
            • sin
        • 3. 一般周期信号
          • • 基本信号是δ信号，只不过不同信号在频谱上强度不一样，此强度取决于2πCn
            • 已知CTFS，直接写出CTFT
          • CTFS
            • ak
        • 4. 单位冲激串
          • CTFS
            • ak=1/T
        • 5. 周期脉冲（周期方波）
          • • T=2π/ω0
          • CTFT
          • CTFS
            • • 具有收敛性，k→∞时，ak=0
      • 由CTFT算CTFS
        • 联系：
        • 例：求周期方波的CTFS
          • step1：求一个周期的CTFT
            • • 这里其实暗含了ak的意义，ak本身就是一个周期上积分求出来的（ICTFS）
              • 如果整个时域的CTFT更好求，则step2代公式求出的就是所有周期都适用的ak，无需证明step4
          • step2：代公式求一个周期的ak
            • • 注意k=0需要单列
                • 可以先写一步Sa信号的形式，再化为sin，这样由Sa信号定义k可以=0
              • 这里其实是做了周期延拓，ak已经是整个时域上的周期函数的了（否则一个周期的信号没有ak），step4可以理解为其他周期上的信号延拓后得到的信号一致
                • 所以step4完全可以省略？
              • 2016年842一(3)题
          • (step3)：由ak重新表示xp(t)
            • • ak是偶函数
          • step4：其他周期的ak都相等，同上
            • • “周期延拓”
          • (step5)：由CTFS得xp(t)的CTFT
            • • 整个时域的CTFT
    • 收敛条件（两种）
      • x(t)能量有限
        • • 平方可积，保证X(jω)有限
      • 狄里赫利(Dirichlet)条件 （保证反变换能变回去，连续点取x(t)，不连续点取均值）
        • 1. 绝对可积
          • 充分不必要
        • 2. 任何有限区间内，极大值和极小值数目有限
          • 不振荡
        • 3. 任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在这些不连续点上，信号具有有限值
          • 左右极限存在
          • 不连续点收敛于左右极限均值
        • 必要不充分
  • 4. 傅里叶变换性质
    • 傅里叶变换性质
      • 1. 线性特性
      • 2. 时移特性
      • 3. 频移特性（调制定理）
        • 可推f(t)·sin(w0t)
      • 4. 共轭对称特性
        • • 时间反转
      • 5. 时间反转
        • • 单独对x,ω操作
      • 6. 尺度变换（展缩特性）
        • 时域中展宽x倍，则频域中压缩x倍
      • 7. 时域卷积特性
      • 8. 调制性质（频域卷积特性）
      • 卷积定理
      • 9. 时域微分特性
        • • 修正直流分量
      • 10. 时域积分特性
        • • 加上直流分量对应的频谱
          • 证明：x(t)*u(t)
            • 左侧积分可能会提出一项常数，求导唯一，求原函数不唯一？
      • 11. 频域微分特性
        • 像函数的导数公式
      • 12. 实信号奇偶性
        • 1. 奇偶信号对称性
          • 偶信号对称性
            • x(t)实偶，则X(jω)实、偶
              • x(t)只有cos分量
              • X(jω)在实轴上，相位谱为0
          • 奇信号对称性
            • x(t)实奇，则X(jω)纯虚、奇
              • x(t)只有sin分量
              • X(jω)在虚轴上，相位谱为正负π/2
          • 对“x(t)只有cos分量”的理解
            • 若为周期信号，则
              • x(t)展开式(FS)仅有一堆cos项相加直流分量
                • “余弦级数”
              • 频谱函数ak仅有cos积分式
            • 若为非周期信号，则
              • 频谱密度函数X(jω)仅有cos积分式
                • （推导：对称定积分奇0偶倍）
          • 证明：
          • 傅里叶变换本质是sin和cos，复指数只是为了方便
            • 解：将x(t)分为实部和虚部，实部一定为偶函数，虚部一定为奇函数，-∞到+∞积分，奇0偶倍
        • 2. 共轭对称：
          • x(t)实，则X(jω)实部一定为偶，虚部一定为奇
            • 实部偶对称，虚部奇对称
            • 若x(t)实、非奇非偶，则X(jω)实部虚部都非0（反证法易得）
          • 证明前两行：
          • 第三行证明：X(jω)为复数，由复数的三角形式画坐标系易知？
          • 应为θ(-ω)=-θ(ω)
            • 注意x(t)为实信号此结论才成立，反例如：
              • 此例中+π/2看作频移，导致x(t)乘了复指数，成了复信号
          • • 由此易证第三行：幅度谱偶，相位谱奇
        • 3. 奇偶分解
          • 偶分量
          • 奇分量
      • 13. 对偶性（互易对称特性）
        • ω->t, t->-ω, 乘2π
      • 14. 能量定理
        • 帕斯瓦尔(Parseval)能量守恒定理
          • 时域上求能量=频域上求能量
    • 傅里叶级数性质 （与傅里叶变换性质对应，在其基础上ω→kω0） （要求周期T0，基波频率ω0=2π/T0）
      • 1. 线性特性
        • Ax(t)+By(t)
          • Aak+Bbk
      • 2. 时移特性
        • x(t-t0)
          • • e系数多了k，由FT和FS关系易推：
      • 3. 频移特性（调制定理）
        • • • 注意乘了M
            • CTFS对频移的量有要求，频移的量必须是原x(t)的模拟角频率ω0的整数倍，否则无法用原ak表示
      • 4. 共轭对称特性
      • 5. 时间反转
      • 6. 尺度变换（展缩特性）
        • • ？
      • 7. 周期卷积
      • 8. 相乘（频域卷积和）
      • 9. 时域微分特性
      • 10. 时域积分特性
      • 11. 频域微分特性
        • 像函数的导数公式
      • 12. 实信号奇偶性
        • 1. 奇偶信号对称性
          • 偶信号对称性
            • x(t)实偶，则ak实、偶
          • 奇信号对称性
            • x(t)实奇，则ak纯虚、奇
        • 2. 共轭对称：
        • 3. 奇偶分解
          • 偶分量
          • 奇分量
      • 13. 能量定理
        • 帕斯瓦尔(Parseval)能量守恒定理
          • • 注意右侧没有2π
  • 5. CT LTI系统的频域分析
    • CT LTI系统的频率响应
      • 简单系统的频率响应举例
        • 纯延时单元
          • 频率响应
        • 微分器
          • 频率响应
        • 积分器
          • 频率响应
    • CT LTI系统的频域求解
      • 适用于稳定系统或H(jω)可表示的系统
      • 稳态响应：t→+∞时的系统响应
      • 连续非周期信号通过系统响应的频域分析
        • 已知描述LTI系统的微分方程
          • 1.
          • 2. 微分方程两边Fourier变换
          • 3. 并利用时域微分特性
          • 4. 解代数方程
        • 已知系统的频率响应
          • Fourier反变换
        • 零状态响应频域分析方法与卷积积分法实质相同，只不过是表达信号的基本信号不同
          • 频域e^jωt
          • 时域δ(t)
        • x(t)通过h(t)的CLTI，求yzs(t)步骤
          • 1. 求H(jω)
          • 2. x(t)傅里叶变换，得X(jω)
          • 3. Yf(jω)=X(jω)·H(jω)
          • 4.
      • 连续周期信号通过系统响应的频域分析
        • 任意周期信号通过系统的zs响应
          • 推导
            • FS展开
              • 对信号CTFS，得到ak
            • 系统对虚指数信号响应
            • 系统对x(t)响应
              • FS系数
              • 利用均匀、叠加特性
              • H(jkω0)一般题干给出
          • 公式
        • 正弦信号通过系统的zs响应
          • 推导
            • 欧拉
            • 虚指数信号
            • 线性特性（共轭）
          • 公式
          • 结论
            • 正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号
            • 输出信号
              • 幅度y(t)：由系统的幅度响应|H(jw0)|确定
              • 相位：相对于输入信号偏移了f(w0)
    • 信号的不失真传输
      • 推导
        • 若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为
          • K为正常数
          • td是输入信号通过系统后的延迟时间
        • 特性
          • 时域特性
          • 频域特性
      • 结论：无失真系统
        • • 幅频特性（幅度响应）
          • 相频特性（相位响应）
        • 满足条件
          • 系统的幅度响应|H(jω)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大
          • 系统的相位响应θ(ω)在整个频率范围内应与ω成正比
      • 例题
        • • 如A：cos(8t)的ω=8，8<10幅度不失真，8>5相位失真；总体ω=8
    • 理想滤波器 （频率选择性滤波器）
      • 滤波：改变一个信号中各频率分量的相对大小或者全部消除某些频率成分
      • 理想低通滤波器
        • 低通LP(low passed filter)
          • HLP(jω)
        • 频域特性
          • • ωc：截止频率
            • 0<ω<ωc：通带
            • ω>ωc：阻带
            • 注意这里是e^jωt0，时域做了延时
        • 冲激响应
          • • t<0时，h(t)≠0，故理想低通滤波器是非因果系统，物理不可实现
        • 阶跃响应
          • 对阶跃信号响应的上升时间
            • 输入信号脉宽T，若要求输出信号的波形能很好地接近输入信号，则要求T>>tτ
      • 理想高通滤波器
        • 高通HP
      • 理想带通滤波器
        • 带通BP
      • 理想带阻滤波器
        • 带阻BS
• CH4 离散时间信号与系统的频域分析
  • 1. DT LTI系统的特征函数
    • DT复指数信号z^n通过LTI系统的zs响应
      • 可以表达成DT复指数信号的线性求和
        • 假定级数H(z)收敛
      • 其中
        • • 系统函数是h[n]的z变换
          • 系统频率响应是h[n]的DTFT
    • • DT复指数信号z^n是DT LTI系统的特征函数（本征函数）
      • H(z)：系统函数（特征值，本征值）
        • 仅与复数变量z有关，表征了DT系统对复指数信号的响应特性
      • DT LTI系统对z^n的响应
  • 2. DT信号的傅里叶变换 （DTFT)
    • 引入：抽样
      • 模型
        • 理想模型
        • 实际模型
      • 理论推导
        • ？
        • 模拟信号进行抽样后，实现频谱的周期化
      • 本质
        • 信号时域的离散化导致其频域的周期化
          • X(e^jω)是ω以2π为周期的函数
      • 直观解释
        • ωs≥2ωm
      • 时域抽样定理
        • 设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：
        • • ？
    • 定义
      • • 说明
          • X(e^jω)自变量为ω，这样写是为了与CT区分
          • x[n]的被积函数是ω以2π为周期的函数，故任意一个长度2π的积分值都一样（怎么写都可以）
        • 相互推导
          • x[n]
          • X(e^jω)
            • 同上，把x[n]公式代入易推
    • DTFT收敛条件（两种）
      • x[n]能量有限
      • x[n]绝对可和
    • 基本DTFT对
      • 周期序列
        • 1. 常数序列
          • • 以ω=0为中心、以2π的整数倍为间隔的一系列冲激函数
          • 推导
          • 周期序列简化画法
            • • 其实就是频域的周期化
          • DFS
        • 2. 复指数序列
          • • 推导：1的变换+频移
          • 推广（由线性性质知）
          • DFS
            • • 推导：用一般周期信号（周期为N）的DTFT表示该序列的DTFT，那么ak有如左图的取值即可
                • e的ω0要为2π/N的整数倍（N是一般周期信号的周期），否则无法用一般周期信号的DTFT表示该信号的DTFT
              • DFS要求原序列是周期的，此处周期N1=2π/ω0
                • N1需要为整数，否则x[n]非周期序列（与CT情况不同）
        • 3. 正弦型序列
          • • • 结合图像记忆更佳
          • 初相不为0
          • 例
            • • cos(πn)变换推导
                • 解一：2π为周期，叠加后幅度增长
                • 解二：
                  • 1的变换+频移
              • (-1)^n可以把低通滤波器 变成高通滤波器
                • • 注意频域的表达式（2017年 842真题）
                • 时域乘cos(πn)，频域卷积δ， 而cos(πn)频域幅度2π，故幅度仍为1
                  • 如果直接看图拿不准幅度，可以列一下表达式（2020年842第一题）
                    • 画圈部分式子太麻烦，建议还是用频移性质推导
                    • 最后一行可否理解为：H作2π为周期的延拓，但H本身就是2π为周期的，所以相等？
                • 时域角度理解：低通滤波器对应时域信号波动较小，高通滤波器对应时域信号波动较大
                  • 剧烈的变化表现为高频分量，平缓的变化表现为低频分量
          • DFS
            • cos
            • sin
        • 4. 周期为N的单位冲激串序列
          • DFS
        • 5. 周期为N的任意序列
          • 推导
            • 任意周期为N的周期序列x~(n)可看成是有限长序列x(n)以N为周期进行周期延拓得到
              • 卷积单位冲激串
            • 卷积定理
              • δ信号筛选性质，实现X(e^jw)频域上的抽样，得到
                • 单位圆中取了0~N-1，共N个点
            • 结论
          • DFS
            • • 注意前面添了1/N（教材差异）！！
          • IDFS
            • • 因为ak里有1/N了，这里不需加1/N
        • 6. 周期方波
          • DFS
      • 非周期序列
        • 1. 单位样值序列
          • 推导：
            • X与CT相同
        • 2. 单边指数(衰减)序列
          • • 幅度谱
              • 相位谱
                • 推导
            • 推导：等比数列求和
          • 双边指数(衰减)序列
        • 3. 矩形(脉冲)序列
          • 推导
          • 说明
            • ω=2kπ时，X=2N1+1
              • 解一：上图第一个式子累加
              • 解二：无穷小的等价
            • X(e^jω)是ω以2π为周期的函数
          • 若脉宽N为偶数，则可以时移(N-1)/2得到对称后代此公式(此时N1为分数)，再时移回来即可
        • 4. 辛格函数
          • • • W=π时，用CT离散化采样算DT(第5章)
          • 推导
          • 说明
            • 其实就是时域的周期化，且要求W在周期内
            • n=0时，x=W/π
            • 时域推频域：注意sin的变化和0处的取值
              • • sin变换的前提是n≠0，0处的取值用δ[n]补，δ[n]使频域整体抬高
                • 解二：混叠
        • 5. 单位阶跃序列
          • • 单边指数a=1 + δ(ω)周期化
            • a在临界点上，所以要补δ
          • 推导
        • 6. 符号序列
          • sgn[n]=2u[n]-1-δ[n]
            • 注意原点补个δ[n]
          • 奇信号，X(e^jω)虚奇，提e化简为三角函数
    • DTFT性质
      • 1. 线性
      • 2. 时移
        • 时域位移，频域相移
      • 3. 频移
        • 时域相移，频域位移
        • 例
      • 4. 共轭（对称）
      • 5. 时间反转
        • • 推导：注意是对x括号内的n单独操作
        • 推广
      • 6. 时域扩展
        • • ，周期为2π/k
        • x(k)[n]是x[n]在两个相邻下标间插入(k-1)个0得到的
        • 证明
        • 例
      • 7. 卷积
        • 时域卷积，频域乘积
          • 证明：
        • 时域乘积，频域卷积（调制性质）
          • • 圆卷积/循环卷积，即在一个周期内卷积
            • 若在整个时域内卷积，则会得到无穷大
          • 证明：
            • 证法二：
          • 圆卷积
            • 简便算法步骤
              • 1. 两个2π为周期的信号各取一个周期，正常卷积
              • 2. 第一步的结果以2π为周期重复
              • 3. 重合处叠加，以2π为周期延拓
            • 本质：其他周期的波形影响了本周期的卷积
            • 例
              • 解一：按定义
              • 解二：简便算法
              • 解三：不用圆卷积，补δ[n]
      • 8. 时域差分
      • 9. 累加
      • 10. 频域微分（线性加权）
        • 像函数的导数公式
        • • （一阶导数乘j）
      • 11. 实信号奇偶性
        • 1. 奇偶信号对称性
          • x[n]实偶，则X实奇
          • x[n]实奇，则X纯虚奇
        • 2. 实信号的共轭对称性
        • 3. 奇偶分解
      • 12. Parseval定理
        • • 时域上求能量=频域上求能量
  • 3. DT周期信号的傅里叶级数表示 (DTFS，DFS）
    • 定义
      • DFS（综合公式）
      • IDFS（分析公式）
        • 频谱系数，以N为周期
      • 与DTFT关系式：
    • 典型DT信号的傅里叶级数
    • DFS的性质 （DTFT基础上ω→kω0） (基本周期N，基本频率ω0=2π/N)
      • 1. 线性
      • 2. 时移
        • • • ω筛选成k(2π/N)
              • ？
            • e系数多了k，由FT和FS关系易推：
      • 3. 频移
        • • • DTFS对频移的量有要求，频移的量必须是原x[n]的模拟角频率ω0的整数倍，否则无法用原ak表示
      • 4. 共轭（对称）
      • 5. 时间反转
      • 6. 时域尺度变换
        • • • ?
      • 7. 周期卷积
        • 周期卷积定义
          • • 两个等周期的周期序列的卷积运算
            • 结果仍为相同周期的周期序列
          • 例
            • y[0]由x1[k]和x2[0-k]对应元素相乘相加得来
            • y[1]由x1[k]和x2[1-k]对应元素相乘相加得来
            • y[n]由x1[k]和x2[n-k]对应元素相乘相加得来
          • 周期卷积的矩阵表示
            • • 第一个等号：翻转平移
              • 第二个等号：周期变化
        • 定理
          • 时域
            • 注意N
          • 频域
      • 8. 时域差分
      • 9. 求和（累加）
      • 10. 实信号奇偶性
        • 1. 奇偶信号对称性
          • x[n]实奇，则ak实奇
          • x[n]实偶，则ak纯虚偶
        • 2. 实信号的共轭对称性
        • 3. 奇偶分解
      • 11. Parseval定理
        • • 时域上求功率=频域上求功率
  • 4. 对偶性（互易对称）
    • DFS的对偶性
      • k→n，n→-k，除N
      • 时移、频移成对偶
      • 周期卷积（时域卷积、时域乘积）成对偶
    • DTFT和CTFS的对偶性
      • DTFT推CTFS：ω→t，n→-k
        • DTFT→CTFS
        • DTFT时域乘积、CTFS周期卷积成对偶
      • CTFS推DTFT：k→n，t→-ω
  • 5. DT LTI系统的频域分析
    • DT LTI系统的频率响应
      • 定义1：h[n]的DTFT
      • 定义2：输入输出频域比值
        • • 极坐标：幅频特性、相频特性
    • DT LTI的频域求解
      • 适用于稳定系统或H(e^jω)可表示的系统
      • 非周期信号激励下的系统响应
        • DT LTI系统可用线性常系数差分方程描述时
          • 1.
          • 2. 方程两边DTFT
          • 3. 利用时域差分特性
          • 4. 解代数方程，得系统频响
            • 与CT相比：jω→e^-jkω
      • 周期信号激励下的系统响应
        • 任意周期信号
          • 推导
            • FS展开
              • • DTFS，故为一个周期上的求和
            • 系统对DT复指数信号响应
            • 系统对x[n]响应
              • • FS系数
                • 利用均匀、叠加特性
          • 公式
        • 正弦信号（可以是非周期）
    • DT信号的滤波与理想滤波器
      • 理想低通滤波器
        • 频率响应
          • 以2π为周期，并不是只有接近零点处为1
        • 单位样值响应
          • n<0时，h[n]≠0，故理想低通滤波器是非因果系统，物理不可实现
        • 单位阶跃响应
          • 单位样值响应求和得来
      • 如算得幅频特性恒为1，则为全通系统，有
        • （15真题）
• CH5 采样、调制与通信系统
  • 1. 采样定理导引
    • ωs>2ωM时，则可以由x[n]=x(nT)恢复原来的信号
    • x(t)变化越大，频域ωM越宽，对应ωs越大，T越小，采样点越多
    • 人的感官是天然的低通滤波器
    • 通信原理：模拟脉冲调制
      • 抽样过程可以看成模拟调制的过程（联系第5章）
        • ms(t) = m(t) * δΩ(t)
        • 周期脉冲序列δΩ(t)看作载波（cos...）
      • 分类
        • 脉冲振幅调制(PAM)
        • 脉冲宽度/密度调制(PWM/PDM)
        • 脉冲位置调制(PPM)
      • 波形
      • PAM
        • 自然抽样
        • 平顶抽样
          • 现实中采用
          • 产生：抽样+保持（产生矩形脉冲）
          • 恢复：修正+低通滤波
            • 修正滤波器，传输函数为1/H(f)，滤除H(f)
    • 证明：三个公式三张图
      • 1. x(t)是带限信号，CTFT
        • ωM：最大截止频率，频带上限
      • 2. 冲激串采样，CTFT
        • • 证明：频域卷积
        • x[n]也有冲激串采样，对应DTFT
      • 3. 对x(t)（以T为周期）的离散化采样得到x[n]，DTFT
        • 即x[n]=x(nT)
          • 若对x[n]，则为序列的抽取（减采样）
        • 与CT关系
          • 证明：X(e^jω)代入x[n]=x(nT)
          • 即：ω=ΩT
            • ω：数字角频率，x[n]经采样和DTFT得到X(e^jω)
            • Ω：模拟角频率，x(t)经采样和CTFT得到Xp(jΩ)
        • 左右打三个点，表明为周期函数
        • X的幅度：注意是否有δ，如果有可能会因展缩性质改变
          • 例
        • 例：用采样定理联系CT和DT的Parseval定理
  • 2. CT信号的时域采样定理
    • 理想采样
      • 冲激串采样
        • 采样信号xp(t)
          • 乘上单位冲激串：
        • 采样信号频谱Xp(jω)
      • CT信号的时域采样定理 （即：频谱不混叠的条件）
        • 条件
          • 1. x(t)为带限信号，即当|ω|>ωM时，X(jω)=0
          • 2.
            • 奈奎斯特抽样频率：ωs=2ωM
            • 计算：先转换到频域，ωs=2*最大的截止频率
              • 只需求出最大频带上限，无需求出具体频域表达式
            • ωs=2ωM时，不一定能恢复x(t)
              • 看ω=ωs时，X(jω)是否为0
            • 注意ωM是最大的截止频率，ωs<2ωM不一定混叠
          • 3. （此时x(t)可以由x[n]=x(nT)唯一确定）
        • 直观解释
          • 过采样
          • 临界采样
          • ωs≥2ωm
          • 欠采样
        • 欠采样导致的频谱混叠
          • 高频映射为低频
          • 相位倒置
      • 由抽样序列xp(t)恢复原信号x(t)
        • 频域通过低通滤波
          • 滤波器截止频率ωc=ωs/2
            • 通常不包括端点处
          • 滤波器通带增益为T
        • 时域（带限）内插公式
          • 低通内插公式：X(jω)是低通信号
            • 证明：频域×低通滤波，对应时域卷积
          • 带通内插公式：X(jω)是带通信号
            • • cos中的ωs可改，这里恰巧X(jω)调制到ωs上了
              • 在低通基础上乘了cos
            • 证明：频域×带通滤波，对应时域卷积
    • 矩形脉冲采样（自然采样）
    • 零阶保持采样（平顶采样）
      • 零阶保持重建信号x0(t)
        • • 每隔T采样τ
          • 等效原理图：
            • 即xp(t)卷积h0(t)，h0(t)脉宽为τ（左图为Ts)
        • • 左式又称x(t)的样值内插公式，选择不同的h(t)即得不同的内插公式
          • 注意联系xs(t)与x0(t)
        • T→0时，x0(t)=x(t)
        • 根据x0(t)精确恢复x(t) （X(jω)是低通信号）
          • 设计一个低通滤波器Hr(jω)
            • H(jω)为理想低通滤波器
            • H0(jω)为系统h0(t)的频响
            • x0(t)通过Hr(jω)，即得x(t)
          • 推导
      • 零阶保持采样信号x0^(t)
        • • 即xp(t)卷积h0(t)，h0(t)脉宽为T
        • 当τ=T时，零阶保持重建信号xo(t)与零阶保持采样信号x0^(t)相等
      • 一阶保持
        • • 即xp(t)卷积三角波（定性理解即可）
        • 根据x1(t)恢复x(t)
      • 用CT离散化采样算DT(公式3)
        • 例
          • 此例中ω=π，不能用DTFT直接算
          • 每个周期(2π)都做了θ(ω)=-1/2ω的角度变换
          • “可能是考研中最难的题目”
  • 3. DT信号的时域采样定理
    • 脉冲串序列采样
      • 采样序列
        • p[n]：
      • 采样序列的频谱
        • • 推导：p[n]是x[n]=1以N为底的时域扩展而成
        • • • 注意频域为圆卷积
    • DT信号的时域采样定理 （即：频谱不混叠的条件）
      • 条件
        • 1. x[n]为带限信号，即当ωM<|ω|<π时，X(e^jω)=0
        • 2.
          • 注意N为整数
        • 3. （此时原信号x[n]可以由xp[n]唯一确定）
    • 由抽样序列xp[n]恢复原信号x[n]
      • 频域通过低通滤波
        • 滤波器截止频率(-π<ω≤π)为ωc=ωs/2
        • 滤波器通带增益为N
        • • 注意H(e^jω)也以2π为周期
      • 时域内插公式
    • 序列的抽取与内插
      • 序列的内插（增采样）
        • 时域
          • 对应信号的时域扩展
            • x[n]，经过内插，得到x(k)[n]
          • • x(k)[n]是x[n]在两个相邻下标间插入(k-1)个0得到的
        • 频域
          • ，周期为2π/k
            • “时域胖，频域瘦”
      • 序列的抽取（减采样）
        • 建议这里不要管xp，直接看xs和x的关系
        • 时域
          • 已采样的序列xp[n]
          • x[n]经过抽取，得到样值序列xs[n]
          • • • N为整数
        • 频域
          • • Xs可能混叠，则需要将混叠部分加到一起
            • 注意纵轴除N，而内插不改变纵轴
          • • Xp改变了周期，而Xs周期仍为2π
        • 理解一：直接由DTFT公式，时域推导频域
        • 理解二：离散化采样x[n]=x(nT)，公式3
      • 例
        • • xp即上面的xs
          • 注意左图第二步，低通滤波器在2π左右也是可以滤出的
          • 答案：
            • 先内插后抽取，9/2
            • 如果仅抽取，不内插，N=4不是最大，Xs无法占据整个频带
          • 思路：让Xs占据整个频带，就要让抽取前的带限刚刚好，因此要内插
      • 根据xs[n]恢复原信号x[n]
        • 1. 内插
          • 时域内插公式
        • 2. 频域通过低通滤波
          • 滤波器截止频率(-π<ω≤π)为ωc=ωs/2
          • 滤波器通带增益为N
        • 3. 抽取，扩大
  • 4. CT信号的频域采样定理
    • 实现方式
    • x~(t)与x(t)关系
    • CT信号的频域采样定理 （即：频谱不混叠的条件）
      • x(t)为时限信号，即当|t|>Tm时，x(t)=0
    • 根据抽样频谱X~(jω)恢复原信号X(jω)
      • 时域加矩形窗
        • 窗宽为2π/ω0
          • ？
        • 幅度为ω0
      • 恢复频谱的内插公式
  • 5. CT系统的DT实现
    • 过程
      • 1. 采样：CT输入信号→DT输入信号
      • 2. DT系统hd[n]：完成具体任务所需的变换或运算
      • 3. 重建： DT输出信号→CT输出信号
        • 法一（左图）
          • 零阶保持
          • 由零阶保持恢复CT信号
        • 法二：带限精确重建
          • 即：离散化采样（公式3）的逆过程
          • 由周期变为非周期，在原点附近的一个周期内有如下图的公式（红笔）
          • • 2010年842真题
    • CT与DT单位冲激响应关系：
      • 证明
        • 由左图可得CT与DT频率响应关系
          • 二者关系不是采样公式3，可以理解为一种延拓
  • 6. 希尔伯特变换与信号的正交表示
    • 引入
      • 因果信号x(t)的傅里叶变换，实部与虚部满足希尔伯特变换关系
      • 因果系统的频响
      • 定义（复数的希尔伯特变换）
        • 正变换：
          • 卷积
        • 反变换：
    • 实信号的希尔伯特变换
      • 定义
        • 正变换：
          • 记作
        • 反变换：
      • 物理意义：理想π/2移相器
        • 推导：(1/πt)傅里叶变换，得-jsgn(ω)
      • 性质
        • 1. 两次希尔伯特变换=-1·原信号
          • 推导：时域卷积两次h(t)，对应频域乘两次H，正好反相
        • 2. 变换与原信号正交
          • 推导：Y(j0)=0（不严谨，未考虑相位）
    • 常用的希尔伯特变换
      • 余弦
        • • 推导1：CTFT，时域卷积
          • 推导2：余弦信号通过频率响应为h(t)的系统，
            • ω0>0，θ=-π/2，即右移π/2
              • cos偶函数，ω0<0一样
      • 正弦
        • • 推导1：CTFT，时域卷积
          • 推导2：正弦信号通过频率响应为h(t)的系统，
            • ω0>0，θ=-π/2，即右移π/2；ω0<0，θ=π/2，即左移π/2
              • 最终都是-cos
    • 实窄带信号的正交变换
      • 若：实窄带信号
        • 频带范围：
      • 则：变换
        • 证明：
      • 其中
        • 瞬时包络
        • 瞬时相位
        • 瞬时(角)频率
  • 7. 正弦载波幅度调制
    • 引入
      • 调制(Modulation)
      • 解调(De-Modulation)
      • 电话声音的频带为-4000~4000Hz
        • 历史规定，现在仍保持
        • 高保真唱片：22150Hz（两声道44300Hz）
      • 采样可以看作幅度调制的过程，这里是乘cos
      • CT信号
        • DSB正弦波幅度调制与同步解调
          • 双边带DSB
            • 时域
              • 表示式
                • 无直流分量A0
              • • 无法通过包络检波法解调
            • 频域
              • 频谱表达式
                • 无载频分量
            • 特点
              • 带宽
              • 功率
                • 只有有用
              • 调制效率
                • 100%
              • 优缺点
                • 优点：节省了载波功率
                • 缺点：不能用包络检波，需用相干检波，较复杂
          • 同步解调(相干解调)
            • 先对调制信号再做一次调制，然后进行低通滤波
            • 原理
              • • 为了无失真地恢复原基带信号，接收端必须提供一个与接收的已调载波严格同步（同频同相）的本地载波（称为相干载波），
            • 性能分析
        • 频分复用(FDM)
          • 目的
            • 充分利用信道的频带资源，提高信道利用率
          • 原理
            • 调制方式：
              • 调制后的各路信号频谱应无混叠
            • 解调方式：带通滤波→按各调制频率进行解调→低通滤波
          • 优缺点
            • 优点：信道利用率高，技术成熟
            • 缺点：
              • 设备复杂，滤波器难以制作
              • 在复用和传输过程中，调制、解调等过程会不同程度地引入非线性失真，而产生各路信号的相互干扰
          • 用途
            • 主要用于模拟信号
      • DT信号
        • 实现方式
          • y[n]=x[n]c[n]
            • c[n]=cosωcn
        • 调制信号频谱
    • DSB
      • 通信系统传输某个信号x(t)
        • 1. 调制：y(t)=x(t)cos(ωct)
          • 双边带正弦载波幅度调制
          • 调频91.5兆赫：fc=ωc/2π=91.5MHz
          • cos(ωct)为载波(Carrier Wave)
          • 要求x(t)是带限信号（截止频率ω0）
        • 2. 解调：
          • 接收到y(t)后，再次乘载波
            • w(t)=x(t)cos²(ωct)
            • W(jω)
          • 通过低通滤波器
            • 低通滤波器窗宽要求
            • 滤波器幅度（通带增益）：2
            • h(t)=
            • 时域分析：用滤波器滤掉了cos部分
      • 通信系统传输两个信号x1(t),x2(t)
        • 1. 调制：y(t)=x1(t)cos(ωc1t)+x2(t)cos(ωc2t)
        • 2. 解调
          • 解调x1(t)
            • w1(t)=x1(t)cos²(ωct)
              • 不发生混叠对ω0的要求
            • 通过低通滤波器
              • ωp<2ωc1-ω0
          • 解调x2(t)
            • w2(t)=x2(t)cos²(ωct)
            • 通过低通滤波器
      • 通信系统传输多个信号
        • 限制条件
          • • ①：不发生混叠
            • ②：成功解调
        • 载波之间不能太挤，差值要大于x(t)的截止频率ω0
        • 以上的调制与解调系统可以用电路实现的，即高频电子电路
    • 用电路实现DSB
      • 电路一：产生载波cos(ωct)的电路
        • 晶体振荡电路，晶振
        • 利用晶体的自激振荡
      • 电路二：相乘与相加的电路
      • 电路三：低通滤波器电路
      • 电路四：锁相电路
        • 输入与输出的时间t必须精确地同步
        • 把发送端的相位原封不动地传给接收端
        • 如果是数字信号，可以在x(t)前加一段固定的序列，实现锁相功能
    • 无线频带划分
      • 太赫兹通信：0.1T~10THz，6G，即上图断带部分
      • 频率过高时，可能出现量子效应
      • 跳频通信：常用于CDMA和WIFI
        • 发送端与接收端不断随机变换载波频率
        • 拉玛海蒂发明
  • 8. 脉冲幅度调制(CT信号)
    • 自然采样与时分复用
      • 采样可以看作幅度调制的过程，这里是乘c(t)，周期脉冲
      • 自然采样的脉冲幅度调制方式
        • y(t)=x(t)c(t)
          • c(t)：周期矩形脉冲序列
      • 时分复用(TDM)
        • 周期的矩形脉冲序列c(t)的周期远大于每个脉冲的宽度，利用相邻脉冲之间的间隙实现时分复用
    • 平顶采样形式的脉冲幅度调制
      • 采样可以看作幅度调制的过程，这里是乘c(t)，冲激串
      • 应注意它与自然采样的脉冲幅度调制方式之间的差别：c(t)矩形脉冲变冲激串，通过h0(t)
• CH6 连续时间信号与系统的复频域分析 （拉普拉斯变换）
  • 1. 拉氏变换的定义 (Laplacian Transform)
    • 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
      • 滤波器设计困难问题
        • 1. 连续→离散
        • 2. t无限→t有限
        • 3. 时域因果性
      • 傅里叶变换的狄里赫利条件：要求绝对可积
      • 拉普拉斯变换：考虑绝对不可积的信号，乘衰减因子
    • 定义
      • 双边
        • 正变换
          • X(s)是复频率s的函数，称复频谱
          • s=σ+jω
        • 反变换
          • 推导：傅里叶变换乘衰减因子，换元
        • 有收敛域(Region Of Convergence, ROC)，必须注明
        • 物理意义：信号x(t)可分解成复指数est的线性组合，信号不同只是复指数est前的系数X(s)不同。
        • 存在的充要条件
          • 被积函数为收敛函数，即
            • 该式取决于σ值的选择，使拉氏变换存在时的s平面上的σ值就称为拉氏变换的收敛域
      • 单边 (Uni-lateral)
        • 正变换
          • 积分下限定义为零的左极限，目的在于s域分析时能够有效地处理出现在0时刻的冲激信号
          • • 注意单边通常加~
        • 反变换
        • 不需加注收敛域
        • 存在的（充要）条件
          • 对任意信号x(t) ，若满足上式，则 x(t)应满足
          • • ？
        • 因果信号的单边拉式变换等于其拉氏变换
    • 零极点
      • 有理函数X(s)：
        • zi：X(s)的零点
        • pj：X(s)的极点
      • 一个信号的X(s)在s平面上可以用它的零极点和收敛域表示
  • 2. x(t)的时域特性与其X(s)收敛域的关系
    • 1. X(s)的收敛域在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成
      • 要求x(t)是连续的，且不包含δ(t)等奇异信号
      • 证明：不管ω大小，都被σ限制住
    • 2. 对于有理拉氏变换来说，收敛域内没有任何极点
      • 废话，极点就是不收敛的点
    • 3. 若x(t)是时限信号(有限连续时间信号)，而且是绝对可积的，其收敛域为整个s平面
      • 证明：
    • 4. 若x(t)是右边信号（且绝对可积），且X(s)存在，则X(s)的收敛域在其最右边极点的右半边
      • 证明：
      • 例：
    • 5. 若x(t)是左边信号（且绝对可积），且X(s)存在，则X(s)的收敛域在其最左边极点的左半边
    • 6. 若x(t)是双边信号，则其收敛域是由s平面的一条带状区域组成
      • 证明：分成左＋右
    • 7. 总结：确定ROC的步骤
      • step1：由分母确定极点，将s平面分成几个带状区域
      • step2
        • 若为结果则取交集
          • 如Yzs(s)ROC至少为H(s)和X(s)ROC的交集
          • Yzi的ROC至少包含H(s)的ROC
            • y(0)和y'(0)的取值可能会把H(s)的极点消掉 导致Yzi的收敛域扩大
          • 如X(s)=X1(s)+X2(s)，则X(s)ROC至少为X1(s)和X2(s)的交集
          • “至少”：可能出现零极点相消的情况，从而ROC扩大
        • 若为过程则分析
          • 如已知Yzs(s)和X(s)的ROC，则分析得如何取H(s)ROC才能相交得到Yzs(s)ROC
          • 可能需要结合系统的因果性（题干给出）
            • 一般都是因果系统、右边信号，不用过于纠结其他可能
      • 养成注明ROC的习惯，方便后续进行反变换
        • 对于拉氏变换，不同ROC作反变换得到时域信号不同
        • 对于傅氏变换，Re{s}=0，没有s平面（都在jω轴上），没有ROC的分别
  • 3. 常用信号的拉氏变换
    • 1. 指数
      • 单边指数
        • • • Re(s)>-a
              • -a：拉氏变换的极点，画× （使拉氏变换表达式不收敛的点）
          • 推导：定义
          • a为虚数也成立（推导正弦型）
        • • • Re(s)<-a
          • 推导：定义
          • “反因果信号”
      • 双边指数
      • 推广
        • • • Re(s)>-a
    • 2. 阶跃
      • u(t)
        • • Re(s)>0
      • -u(-t)
        • • Re(s)<0
      • 可看作单边指数a=0的特例
      • 推广
        • • • Re(s)>0
    • 3. 冲激
      • δ(t)
        • 1
          • ROC：全部s
        • δ(t)抽样性质易证
      • δ(t-T)
        • • ROC：全部s
    • 4. 正弦型
      • 单边三角
        • • • Re(s)>0
        • • • Re(s)>0
        • 单边指数易推
      • 单边三角×指数
        • • • Re(s)>-a
        • • • Re(s)>-a
        • s域平移易推
  • 4. 拉式反变换
    • 拉氏反变换
      • m<n
        • 常用部分分式法，展开后求低阶项的反变换
        • m<=n时，称X(s)是有理的
      • m≥n
        • 先用长除法将分子中的高阶项提出，再用部分分式法
          • 分子长除分母，在前面提出：
            • 常数项：δ(t)的变换
            • s：δ'(t)的变换
            • s^n：δ(t)高阶导数的变换
    • 部分分式展开法：盖起来算其他仍然成立 （依据：留数定理，用比较系数法也可）
      • 例1
        • 盖上式边s+1，代入s=-1，得下式s+1的分子
      • 高阶
        • 解一：求导
          • 例2：讲义P91
            • A1,A22都可以“盖起来算其他”
            • 4是X(v)的二级极点，由留数计算准则3（赫维赛德展开式）可以得到Res[X(v)est,4]，从而直接得到X的拉氏反变换（留数定理，用留数算积分），这样得到的x(t)与部分分式展开后反变换得到的x(t)在e前的系数相等
              • 所以说用“盖起来算其他”展开部分分式的依据是留数定理
              • A1是一级极点2得到的，A21和A22都是二级极点4得到的
            • 这种方法体现原理但不好算，不建议用
        • 解二：算好其它再代特值
      • 总结：部分分式展开的方法
        • 解一：留数定理求反变换，再作正变换即得部分分式
        • 解二：盖起来算其他都成立
          • 速度快但局限，高阶、复根用不了
          • 首选，高阶、复根的系数可以算好其他再代特值
        • 解三：待定系数法（通分，看分子）
          • 解三-1：比较分子各项的系数
          • 解三-2：代特值把其他系数消掉
    • 例1
      • 看收敛域，决定做哪种反变换
    • 例2
      • 可能含有共轭复根，复根部分分子不能“盖起来算其他”，建议用比较系数法
  • 5. 单边周期信号的拉氏变换
    • • 证明：
      • ROC：R∩(Re{s]>0)
    • 1.周期重复的冲激信号
      • • 或：先求一个周期（为1）
        • 收敛域：右边的右边
    • 2.单边周期矩形脉冲
      • • 解一：定义求一个周期，代入
        • 解二：傅氏变换求一个周期，代入
        • 解三：x1(t)=u(t)-u(t-1)，拉氏变换求一个周期，代入
    • 3.抽样后的信号
      • • z变换
  • 6. 双边、单边拉式变换的性质
    • 1. 线性
      • 若
      • 则
        • 记X1(s)收敛域R1，X2(s)收敛域R2，则ROC至少包含
    • 2. 时移
      • • 和傅里叶变换完全一样，傅里叶变换是拉氏变换在s=jω轴的特例
    • 3. S域平移（指数加权/位移）
      • • 即收敛域右移Re{s0}
    • 4. 尺寸变换（展缩）
      • • 若a<0，再加一个反褶
    • 5. 时域微分
      • • ROC不变，零极点对消，有可能扩大
        • 如u(t)到δ(t)，收敛域扩大
      • 单边
        • • 证明：
          • 多了x(0-)项，有效地处理出现在0时刻的冲激信号
        • • 证明：
        • • 应为X~(s)，
    • 6. s域微分（像函数导数性质）
      • • ROC不变：e有更高阶无穷力
        • 推导：CTFT，jω凑微分，所以多了负号
    • 7. 时域积分
      • 双边
        • • 推导：卷积u(t)
      • 单边
        • • 其中
    • 8. 卷积
      • • 时域卷积，复频域乘积
        • ROC：至少R1∩R2
        • ROC扩大例子：极点相消
    • 9. 乘积
      • • 时域乘积，复频域卷积除2πj
    • 10. 初值定理和终值定理
      • 初值定理
        • 针对因果信号（t<0时x(t)=0），且在t=0处不包含冲激及其各阶导数
        • 证明：
      • 终值定理
        • 针对因果信号，且sX(s)的收敛域包含jω轴
        • 证明：
      • 例
  • 7. 用拉氏变换解常微分方程
    • • 复指数信号e^st是CT LTI系统的特征函数（本征函数）
      • H(s)：系统函数（特征值，本征值），s=σ+jω
      • CT LTI系统对e^st的响应
        • 要求e^st的s在H(s)的收敛域内，否则H(s)发散了
      • 任意信号通过LTI：
    • 连续非周期信号通过系统响应的频域分析
      • 已知描述LTI系统的微分方程
        • 1.
        • 2. 微分方程两边拉式变换
        • 3. 并利用时域微分特性
        • 4. 解代数方程
          • Yzs(s)=...
      • 从H(s)到H(jω)
        • 当H(s)的收敛域包括虚轴时，可得到H(jω)
        • 从H(s)的零、极点可在s平面上画出系统的频率响应H(jω)
    • 常微分方程的表达形式
      • 1. 方程形式
      • 2. 系统函数形式
      • 3. 框图形式
        • 定理
          • 直接II型框图推导
            • • 系数为1可不写
              • 系数为0可不画
        • 例
        • 补充
          • 积分器可由1/s替代
          • 框图就是电路图，电容就可以实现积分器
          • 横置的信号流图
            • 解一：写Y(s),X(s)
            • 解二：竖过来
            • 解三：梅森公式
          • 改写串联型、并联型
        • 系统基本连接
          • 1. 串联
          • 2. 并联
          • 3. 反馈
            • • 推导
                • 推知：
              • 建议现推，β(s)前可能为负
    • 求解（三种题型）
      • 一、 给因果x求y
        • • 因果信号，求出的其实是yzs（小于0时无状态）
      • 二、 给全时域的x，求y
        • 解一：分离常数的输出，转化成题型一
          • 解一：常数看作e^0t，输出H(0)e^0t
          • 解二：将常数代入原微分方程
          • 例1
          • 例2
        • 解二：拆成零状态和零输入，转化成题型三
        • 不能直接求全时域的X(s)，因为不收敛（两边的收敛域交集为空）
      • 三、 给输出的起始条件，求yzi,yzs
        • 因为0点有跳变，所以要用单边拉式变换
        • 零状态：大于0时有输入，小于0时无状态
        • 零输入：大于0时无输入，小于0时有状态
        • • 解一：输入拆成两个，分别算yzi，yzs
            • • x(t)本身是因果，拆一个x(t)≡0，会有由状态导致的零输入响应
              • 输入δ(t)，输出y1(t)，则Y1(s)=H(s)+Yzi(s)
                • Y1(s)≠H(s)，系统函数H(s)并不是Y1(s)，因为有状态导致的零输入
              • 输入u(t)，输出y2(t)，则Y2(s)=H(s)/s+Yzi(s)
                • 时域积分性质可推
          • 解二：算全响应，拆解
            • • 由右侧输入x导致，则为零状态
              • 由左侧状态导致，则为零输入
            • • 由H(s)的极点导致，则为自由响应yh[n]
              • 由X(s)的极点导致，则为强迫响应yp[n]
          • 稳态/暂态
            • 稳态响应：n→+∞时的系统响应
            • 暂态响应：n→+∞时趋于0的响应
            • 解一：n→+∞，观察yh[n]、yp[n]
              • 趋于非0常数的为稳态响应
              • 趋于0的为暂态响应
            • 解二：n→+∞时，输入x[n]=au[n]相当于输入常数a
              • 代入常数，输出稳态响应
              • 暂态相应=全相应-稳态响应
            • 例
          • 零极点+零状态 = 自由+强迫
            • • Yh(s)与Yp(s)不含相同极点
              • yzs(t)含有yh(t)和yp(t)的一部分
            • 例：2012年842
  • 8. 系统的复频域分析
    • H(s)的应用
      • 1. 求h(t)
      • 2. 求yzs(t)
      • 3. 求yzi(t)
        • 已知起始条件y(0-), y'(0-)等
        • 因它的分母多项式D(s)是系统微分方程的特征方程，故从H(s)极点可直接写出yi(t)的通解表示式
      • 4. 求系统的微分方程、模拟方框图
      • 5. 判断系统的稳定性、因果性
        • 稳定性
          • 稳定
            • 收敛域包括jω轴
              • 因果系统：极点全部在s平面的左半平面
              • 证明：
          • 不稳定
            • 因果系统：有一个极点在s平面的右半平面
          • 临界稳定
            • 除了左半平面有极点外，只要：
              • jω轴上有一对共轭的单阶极点
              • 坐标原点上有一个单阶极点
            • 例
        • 因果性
          • 右边信号
            • 不要由ROC直接判断因果性，还要借助h(t)，因为ROC可能是题目规定的（例6.19）
          • 推论：因果、稳定系统的极点全部处于s左边平面（对零点无限制）
        • 例
    • 利用单边拉氏变换求系统全响应
      • 步骤
        • 1. 求H(jω)
        • 2. x(t)单边拉式变换，得X(jω)
        • 3. Y(jω)=X(jω)·H(jω)
        • 4. 对Y(jω)作单边拉式反变换，得y(t)
          • 注意得到的是全响应，与傅氏变换不同
    • 表示系统特性的方式
      • 系统构成
        • 子系统连接方式
          • 并联
          • 串联
          • 反馈
        • CT系统的基本运算单元
          • 加法器
          • 乘法器
          • 积分器
      • 表示系统特性的方式
        • 系统函数H(s)
        • 模拟方框图
        • 微分方程
    • 电路的复频域模型
      • 电阻
        • 时域
          • 复频域
      • 电感
        • 时域
          • 复频域
      • 电容
        • 时域
          • 复频域
      • 例
• CH7 z变换与离散时间LTI系统
  • 1. z变换定义
    • 从DTFT到z变换
    • 定义
      • 双边：
      • 单边：
      • z：复变量，且常为极坐标形式：
    • 零点、极点图
      • • K：比例因子
        • zi：零点，“○”
        • pk：极点，“×”
        • 重根：标数字
  • 2. 收敛域
    • 在z平面上所有使级数收敛的z的取值 构成了z变换的收敛域（ROC）
      • 充要条件
        • “绝对可和”
      • • 级数
    • 收敛域的主要特性
      • 1. 有限长序列
        • ROC也可能包含0点或∞点
          • 1. n1<0,n2>0时，ROC：0<|z|<∞
          • 2. n1<0,n2≤0时，ROC：0≤|z|<∞
            • n>0时x[n]=0
          • 3. n1≥0,n2>0时，ROC：0<|z|≤∞
            • n<0时x[n]=0
        • 证明
      • 2. 右边序列
        • • 1. 若n1≥0，则ROC：R_<|z|
            • 因果序列的ROC包含∞点
            • ∞点可能使X(z)不收敛，如：X(z)分子阶数大于分母
          • 2. 若n1<0，则ROC：R_<|z|<∞
        • 证明
      • 3. 左边序列
        • • 1. 若n2≤0，则ROC：|z|<R+
            • 反因果序列的ROC包含0点
          • 2. 若n2>0，则ROC：0<|z|<R+
      • 4. 双边序列
      • 5. 因果序列
        • ROC包含z=∞
          • ROC是整个s域的，也是因果
      • 6. 稳定序列
        • 充要条件：ROC包含单位圆|z|=1
        • 证明：单位样值序列绝对可和
          • • 左侧最后一行略有问题，应为|H(z)|<=…，因而该证明有误，应从“绝对可和”观点进行证明（见下）
    • 从拉氏变换到z变换
      • • 将jω轴向左弯折成单位圆
  • 3. 常见信号的z变换
    • 1. 有限长
      • 1.1. 冲激
        • δ[n]
          • 1
            • ROC：全部z
      • 1.2. 方波
        • u[n]-u[n-N]
          • • z≠0
    • 2. 因果
      • 2.1. 阶跃
        • u[n]
        • nu[n]
        • |z|>1
        • 可看作单边指数a=1的特例
      • 2.2. 单边指数
        • |z|>|a|
        • 推导：定义+等比级数求和
      • 2.3. 正弦型
        • 单边三角
          • |z|>1
          • 单边指数取易推，现推即可
            • • 模长r=1
        • 单边三角×指数
          • 在单边三角的基础上，改变模长
          • |z|>r
    • 3. 反因果
      • 3.1. 阶跃
        • -u[-n-1]
        • -nu[-n-1]
        • |z|<1
      • 3.2. 单边指数
        • |z|<|a|
        • 推导：定义+等比级数求和
          • -n-1：不含原点
    • 4. 双边
      • 4.1. 双边指数
        • • • ROC：
            • |b|<1时才收敛
  • 4. z变换的性质
    • 双边z变换的性质
      • 1. 线性特性
        • • ROC：至少R1∩R2（相加后可能扩大）
      • 2. 时移(位移)特性
        • • 证明：换元
            • 证明同DTFT，DTFT可看作z变换特例
      • 3. z域尺度变换（指数加权）
        • • 证明
        • z域反转
      • 4. 共轭序列
      • 5. 时间反转(翻转) (time reversal)
        • 推广：实偶信号零极点取倒数
      • 6. 时域扩展（尺度变换）
        • • • ROC：
        • 证明：定义+换元
        • 推广：内插、抽取
        • k=-1：时域反转
      • 7. 求和（累加）
        • 无限项累加
          • • • ROC：至少R ∩ {||z|>1}
              • 证明
                • • 解一：差分
                  • 解二：看作u[n]和x[n]卷积，u[n]ROC为|z|>1
                    • 更好定ROC
                  • Z变换的差分和累加互为逆运算，无需像DTFT一样“修正直流分量”
          • 差分
            • ▽x[n]=x[n]-x[n-1]
              • • ROC：至少0<z<∞
                  • 有限长序列，ROC可能含0和∞
        • 有限项累加
          • 因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
            • 则
            • 可看作无限项累加的特例，公式一样，ROC取max
          • 要求因果序列，故可看作单边z变换性质
      • 8. z域微分（线性加权）
        • • 证明：z^-n求导，多了-z
            • DTFT频域微分，换元即得
      • 9. 时域卷积（序列卷积和）
        • • 时域的卷积和对应于Z域是乘积关系
      • 10. z域复卷积（时域相乘）
        • • 时域的乘积对应于Z域是复卷积关系
      • 11. Parseval定理
    • 单边z变换的特有性质
      • 1. 时移
        • 右移
          • x[n-1]
          • x[n-2]
          • x[n-m]
          • 推导
        • 左移
          • x[n+1]
          • x[n+2]
          • x[n+m]
          • 推导
      • 2. 单边周期
      • 3. 初值定理和终值定理
        • 初值定理
          • 因果序列x(n)=0,n<0,有
          • 证明：展开取极限
        • 终值定理
          • X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内(单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
          • 证明：展开取极限
  • 5. z逆变换
    • 定义：
      • 推导：IDTFT
    • 求解
      • 1. 部分分式法
        • n≥m，pk均为单极点
          • 例
            • 解一：z^(-1)看作整体，直接展开
              • • 蓝色系数
                  • 盖起来算其他（通法）
                  • 待定系数比较（观察）
                    • 观察常数项系数
                    • 观察z^(-1)前系数
                • 讨论ROC决定做哪种反变换
            • 解二：除z再乘z，z看作整体
        • n<m
          • pi为r重极点
      • 2. 幂级数展开法（长除法）
        • 求z^-n的系数即x[n]
        • 对有理z变换，幂级数展开可由长除法得到，但通常不易得到闭式解
      • 3. 围线积分法（留数法）
        • 洛朗定理（求x(n)）
          • c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合围线.
        • 留数定理（求围线积分）
          • zk为c内的第k个极点，zm为c外的第m个极点
          • Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上
        • 四准则（求留数）
          • 准则I：一阶极点
          • 准则III：-k阶极点
        • 例
  • 6. 用z变换求解差分方程
    • 系统函数H(z)定义
      • • 要求：松弛(零状态)LTI系统
        • 复指数信号a^n是DT LTI系统的特征函数（本征函数）
        • H(z)：系统函数（特征值，本征值）
      • DT LTI系统对a^n的响应
        • y[n]=H(a)a^n
        • 要求a^n的s在H(z)的收敛域内，否则H(z)发散了
    • 松弛LTI系统的常见表示形式
      • 1. 差分方程
        • • 如：y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=x[n-1]
      • 2. 系统函数H(z)
      • 3. 系统框图/信号流图
        • 直接II型框图推导
          • 证法一：时域
            • • 由此定理可以画出框图
            • • 系数为1可不写
              • 系数为0可不画
          • 证法二：z域
        • 一般形式
          • • 与CT正好相反，CT是aN在上a0在下
        • 说明
          • 出现y[n+m]：换元，令n'=n+m
          • 延时器可由z^-1替代
        • 例
          • 解一：代公式，直接写
          • 解二：写X(z)代入图中（黄笔）
            • 注意这里写的H(z)只是左边系统的，最后串联系统要相乘
      • 4. 单位样值响应h[n]
        • 输入x[n]=δ[n]时的输出
      • 5. 状态方程
    • LTI系统的因果性和稳定性
      • 因果系统
        • 包含z=∞
      • 稳定系统
        • 包含单位圆|z|=1
      • 因果稳定：极点都在单位圆内
      • 反因果稳定：极点都在单位圆外
    • 离散LTI系统的z域分析
    • 求解（三种题型）
      • 一、 给因果x求y
      • 二、 给全时域的x，求y
        • • 第一问
        • 解一：分离常数的输出，转化成题型一
          • 解一：常数看作1^n，输出H(1)1^n
            • 总结：四种系统输入复指数
              • 输入常数：看作复指数
            • 如题干条件给出输入x[n]=1^n，输出y[n]=...的关系，则可知H(z)的ROC包含Re{z0}=1
          • 解二：将常数代入原差分方程
          • • • y[n]变换成u[n]形式还是u[-n-1]形式，要考虑H(z)与X(z)收敛域的交集
            • x[n]拆成u[n]的形式，而不是-u[-n-1]
              • 要考虑H(z)的ROC，使得X(z)与H(z)有交集
              • 此题拆成-u[-n-1]也可，|z|<1同H(z)也有交集
            • 经典的错误：u[n]和u[-n-1]直接变换得X(z)
              • 错因：ROC为|z|<1和|z|>1，无交集，不收敛（这样算的X(z)的右侧不等于X(z)）
        • 解二：拆成零状态和零输入，转化成题型三
          • 0处通常算作零状态（有争议）
      • 三、 给输出的起始条件，求yzi,yzs
        • • 解一：输入拆成两个，分别算yzi，yzs
          • 解二：算全响应，拆解
            • • 由右侧输入x导致，则为零状态
              • 由左侧状态导致，则为零输入
  • 7. 离散LTI系统的频率响应
    • 单位圆上计算频响
      • 稳定系统收敛域一定包含单位圆，故几何计算画单位圆，用于稳定系统
    • 频响的几何确定法
      • • 式1：零极点形式，zr为零点，pk为极点
        • 式2：极坐标形式（因式均为复数）
      • 幅频特性
        • • Ar：零点极半径
          • Bk：极点极半径
      • 相频特性
      • 例
        • 例1
          • • 求解常用余弦定理
            • 零点2，极点1/2关于单位圆“对称”，从而H为全通系统（2024年842真题）
        • 例2
          • • |H(e^jω)|以2π为周期
            • 可能要求大致画出幅频特性图（17真题）
    • 配置零极点（设计滤波器）
      • 配置方法
        • 增强频率ω处的幅度响应：放置一个极点尽可能靠近z=e^jω（单位圆上的一个点）
          • 分母(长度)变小
        • 抑制频率ω处的幅度响应：放置一个零点尽可能靠近z=e^jω（单位圆上的一个点）
          • 分子(长度)变小
      • 低通滤波器的零极点配置
        • 分析
          • 低通滤波器在ω=0处有最大增益（幅度）
          • ω=π处截止
            • ω(数字角频率,也作θ) = Ω(模拟角频率)T
              • （教材差异）
          • • 教材差异，此处的低通滤波器为右半边的
        • 配置方法
          • 在单位圆内接近z=1处放置更多极点，使其幅度响应逼近理想低通特性
            • 增强0处
          • 在z=-1配置一个零点，对于ω=π提供零增益，从而使得幅度响应在较高频率衰减更陡峭
            • 抑制ω=π处
      • 滤波器的阶数：指频率响应的极点个数
  • 8. 系统函数的实现
    • 1. 非递归式滤波器结构
      • 系统函数
      • 差分方程
      • 框图
    • 2. 递归式滤波器结构
      • 系统函数
      • 差分方程
      • 框图
    • 3. H(z)更一般的形式
      • • 注意第三个式子，下面一定有1
      • M=N
        • 直接形式I
        • 直接形式II
          • • 节省了N个延迟单元
            • 若干个直接形式II的结构进行互联，可构成复杂系统
    • 4. 互联系统
      • 串联
      • 并联