导图社区 初中数学—实数
初中数学实数全攻略:从概念到运算一网打尽!掌握无限不循环小数、平方根与立方根的核心概念,学会用平方法、作差法精准比较实数大小。重点解析运算顺序:括号优先,乘方开方先行,加减最后。特别提醒非负数三性质:和为零则各项为零、和非负、最小值为零。科学计数法与近似数技巧帮你轻松应对精确度问题,数轴比较法让大小关系一目了然。
编辑于2025-03-29 20:52:46初中数学二次函数全攻略:掌握核心技巧,轻松解题!内容涵盖平面直角坐标系与函数基础、二次函数平移规律、解析式确定方法(顶点式/交点式/一般式)及实际应用。重点解析图像性质、对称轴公式(x=-b/2a)、顶点坐标求法,以及通过自变量取值判断a±b c符号的诀窍。教你三种比较函数值大小的方法,并强调建立坐标系实现数形结合的关键作用融合三角函数、相似三角形等几何知识,通过最值分析解决利润优化等实际问题。
初中数学反比例函数精讲:掌握核心,轻松解题!本文系统梳理反比例函数要点:从坐标系基础到k的几何意义(k决定面积),详解待定系数法求解析式的三步操作设式、代点、算k。重点分析双曲线特性:图象对称性(y=±x为对称轴)、象限分布规律(k>0在一三象限,k<0在二四象限),以及跨象限比较坐标的技巧。特别强调坐标法在几何问题中的高效应用,通过典型例题揭示如何利用图象特征快速求解函数解析式。
"初中数学整式与因式分解精华指南来啦!掌握这些核心知识点,代数难题轻松破解: 1 整式运算:从单项式到多项式,涵盖加减乘除步骤、幂的运算法则(零/正/负指数),重点突破去括号符号变化规律与合并同类项技巧。 2 因式分解:紧扣"一提二套"核心方法,运用平方差、完全平方公式,将多项式转化为整式积的形式。 3 求值策略:先化简再代入数值计算,代数式求解事半功倍。 附方法总结与符号变化口诀,基础考点一网打尽!"
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初中数学二次函数全攻略:掌握核心技巧,轻松解题!内容涵盖平面直角坐标系与函数基础、二次函数平移规律、解析式确定方法(顶点式/交点式/一般式)及实际应用。重点解析图像性质、对称轴公式(x=-b/2a)、顶点坐标求法,以及通过自变量取值判断a±b c符号的诀窍。教你三种比较函数值大小的方法,并强调建立坐标系实现数形结合的关键作用融合三角函数、相似三角形等几何知识,通过最值分析解决利润优化等实际问题。
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初中数学—实数
实数
分类
按实数的定义分类
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数
如π
负无理数
无限不循环小数
按正负分类
正实数
正有理数
正整数
负分数
正无理数
零
既不是正数也不是负数
负实数
负有理数
负整数
负分数
负无理数
方法总结
有理数都可以化成分数的形式
常见的无理数有四种形式
最简结果中含有π的式子
根号内含开方不尽的数
无限且不循环的小数
某些三角函数式
有关概念
数轴
实数与数轴上的点是一一对应的
三要素
原点、正方向、单位长度
相反数
实数a的相反数是-a,0的相反数是0
a和b互为相反数→a+b=0
方法总结
相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数);倒数是它本身的数是±1
倒数
实数a的倒数是
0没有倒数
a与b互为倒数→ab=1
绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作
a,a>0
0,a=0
-a,a<0
平方根、算数平方根、立方根
平方根
定义
如果一个数x的平方等于a
这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根),数a的平方根记作
特点
一个正数有两个平方根,它们互为相反数
0只有一个平方根,它是0本身
负数没有平方根
算数平方根
定义
如果一个正数x的平方等于a
这个正数x叫做a的算数平方根,a的算数平方根记作
特点
0的算数平方根是0
算数平方根都是非负数
a,a≥0
-a,a<0
的平方等于a(a≥0)
立方根
定义
如果一个数的立方等于a
这个数x叫做a的立方根,
特点
一个正数有一个正的立方根
一个负数有一个负的立方根
0的立方根是0
方法总结
对于算术平方根要注意
一个正数只有一个算术平方根,它是一个正数
0的算术平方根是0
负数没有算术平方根
算术平方根根号a具有双重非负性
被开方数a是非负数,即根号a中的a≥0
算术平方根根号a本身是非负数,即根号a≥0
科学计数法、近似数、精确度
科学计数法
把一个数N表示成(1≤绝对值a<10)a×
当绝对值N>10时,n等于原数N的整数位数减1
1250=1.25×10(3)
当0<绝对值N<1时,n是一个负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)
近似数
一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,用精确度来表示
如0.3125精确到百分位为0.31,精确到千分位位0.313
非负数的性质
非负数的概念
正数和零统称为非负数(正数和0),常见的非负数有
≥0
≥0
a≥0,a可代表一个数或代数式
非负数的性质
非负数的最小值是零
任意几个非负数的和仍为非负数
若几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0
实数的运算顺序
先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减
同级运算,按照从左至右的的顺序进行
如果有括号,就先算小括号里面的,再算中括号里的,最后算大括号里的,计算时,可以结合运算律,使问题简单化
实数的大小比较
在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小
作差比较法
a-b>0→a>b
a-b=0→a=b
a-b<0→a<b
倒数比较法
若a>0,b>0,1/a>1/b,则a<b
平方法
a>b>0
的比较可以转化为a和b的大小问题
初中数学——整式
整式
整式
单项式与多项式统称为整式
单项式
单项式是指由数字或字母的积组成的式子,单独一个数或一个字母也是单项式;
单项式中的数字因数叫做单项式的系数
单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数
多项式
几个单项式的和叫做多项式
多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项
-3π也是系数
多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数
幂的运算法则
正整数指数幂的运算法则
,其中m,n是正整数)
零指数幂的运算法则
负整数指数幂的运算法则
同类项与合并同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项,常数项都是同类项
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变
方法总结
同类项必须具备以下几个条件
所含字母相同
相同字母的指数分别相同
两者必须同时具备,缺一不可
同类项与项的系数无关,与项中字母的排列顺序无关,如
几个常数项都是同类项
-1,,5,,1/2
去括号与添括号
去括号符号变化规律
如果括号外的因数是正数,那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同
如果括号外的因数是负数,那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
添括号符号变化规律
添括号时,如果括号前面是正号,那么括到括号里的各项符号都不变
如果括号前面是负号,那么括到括号里的各项符号都改变
求代数式的值
一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值
求代数式的值基本步骤
代入:一般情况下,先对代数式进行化简,再将数值代入
计算:按代数式指明的运算关系计算出结果
整式的运算
加减
整式的加减实质就是合并同类项
整式加减的步骤
有括号,先去括号
有同类项再合并同类项
注意去括号时,如果括号前面是负号,那么括号里各项的符号要改变
乘除
乘法
单项式与单项式相乘
把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘
m(a+b+c)=ma+mb+mc
多项式与多项式相乘
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
除法
单项式除以单项式
把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式
(a+b)÷m=a÷m+b÷m
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
因式分解
概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解
方法
提公因式法
第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数)
第二,确定字母或因式(取各项的相同字母)
第三,确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)
运用公式法
运用平方差公式
运用完全平方公式
一般步骤
一提
考虑是否有公因式,如果有公因式,应先提公因式
二套
考虑是否运用公式法分解因式,一般根据多项式的项数选择公式,二项式考虑用平方差公式,三项式考虑完全平方公式,超过三项的多项式,应利用分组分解法
分解因式
必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
初中数学—分式
分式
概念
形如A/B(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子叫做分式
分式有意义、无意义的条件
因为除数不能为0,所以在分式A/B中,若B≠0,则分式A/B有意义;若B=0,则分式A/B没有意义
分式值为零的条件
在分式A/B中,当A=0,且B≠0时,分式A/B的值为0
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的值不变,用式子表示是
其中M是不等于0的整式
分式的约分与通分
约分
利用分式的基本性质,约去分式的分子、分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式的变形叫做分式的约分
分子与分母没有公因式的分式,叫最简分式
通分
利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母的分式化为同分母的分式,这种分式变形叫做分式的通分
分式约分的步骤
第一步,找出分式的分子与分母的公因式,当分子、分母是多项式时,要先把分式的分子与分母分解因式
约去分子与分母的公因式
通分的关键是确定最简公分母
求最简公分母的方法
1.将各个分母分解因式
2.找各分母系数的最小公倍数
3.找出各分母中不同的因式,相同因式中取次数最高的,满足2、3的因式之积即为各分式的最简公分母
分式的运算
加减法
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再相加减
乘除法
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘
乘方
分式乘方要把分子、分母分别乘方
混合运算
先算乘方,再算乘除,进行约分化简后,最后进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的,运算结果必须是最简分式或整式
二次根式
二次根式
概念
式子
二次根式有意义的条件
方法总结
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时,首先要考虑被开方数为非负数,最后要考虑其他限制条件(如分母不等于零),最后解不等式(组)
性质
a,a≥0
-a,a<0
最简二次根式,同类二次根式
最简二次根式的概念
我们把满足被开方数不含字母,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式
同类二次根式的概念
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式
二次根式的运算
二次根式的加减法
合并同类二次根式
在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,则可把同类二次根式合并成一个二次根式
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法
乘法
除法
等式及方程
等式及其性质
概念
用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式
等式的性质
等式两边加(或减)同一个数(或式子),所得结果仍是等式
等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式
方程的有关概念
概念
含有未知数的等式叫做方程
方程的解
方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解也叫做它的根
解方式
求方程解的过程叫做解方程
二元一次方程
概念
含有两个未知数,且未知数的次数都是1,这样的方程叫做二元一次方程
一般形式
ax+by+c=0(a≠0,b≠0)
二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
解的特点
一般地,二元一次方程有无数个解
二元一次方程组
概念
方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组
一般形式
不同时为零
二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解
三元一次方程解
方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组
中考不考
一元二次方程
定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程
一般形式
a≠0
解法
开平方法
配方法
且
则
当二次项系数不为1时,先在方程两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1
在开方法的基础上推理
公式法
前提条件
根的判别式
>0
有两个不相等的实数根
=0
有两个相等的实数根
<0
没有实数根
韦达定理