导图社区 初中数学—二次函数
初中数学二次函数全攻略:掌握核心技巧,轻松解题!内容涵盖平面直角坐标系与函数基础、二次函数平移规律、解析式确定方法(顶点式/交点式/一般式)及实际应用。重点解析图像性质、对称轴公式(x=-b/2a)、顶点坐标求法,以及通过自变量取值判断a±b c符号的诀窍。教你三种比较函数值大小的方法,并强调建立坐标系实现数形结合的关键作用融合三角函数、相似三角形等几何知识,通过最值分析解决利润优化等实际问题。
初中数学反比例函数精讲:掌握核心,轻松解题!本文系统梳理反比例函数要点:从坐标系基础到k的几何意义(k决定面积),详解待定系数法求解析式的三步操作设式、代点、算k。重点分析双曲线特性:图象对称性(y=±x为对称轴)、象限分布规律(k>0在一三象限,k<0在二四象限),以及跨象限比较坐标的技巧。特别强调坐标法在几何问题中的高效应用,通过典型例题揭示如何利用图象特征快速求解函数解析式。
"初中数学整式与因式分解精华指南来啦!掌握这些核心知识点,代数难题轻松破解: 1 整式运算:从单项式到多项式,涵盖加减乘除步骤、幂的运算法则(零/正/负指数),重点突破去括号符号变化规律与合并同类项技巧。 2 因式分解:紧扣"一提二套"核心方法,运用平方差、完全平方公式,将多项式转化为整式积的形式。 3 求值策略:先化简再代入数值计算,代数式求解事半功倍。 附方法总结与符号变化口诀,基础考点一网打尽!"
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初中数学—平面直角坐标系和函数
二次函数
概念
一般形式
a,b,c是常数,a≠0
y叫做x的二次函数
任意一个二次函数都可以化成
注意
二次项系数a≠0
必须是整式
一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零
自变量x的取值范围是全体实数
二次函数的图像及性质
二次函数图象的特征
a
大于0
开口向上
小于0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab大于0
b与a同号
对称轴在y轴的左侧
ab小于0
b与a异号
对称轴在y轴的右侧
c
等于0
经过原点
与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
=0
有两个相等的实数根,与x轴有唯一交点(顶点)
有两个不相等的实数根,与x轴有两个交点
没有实数根,与x轴没有交点
方法总结
将抛物线解析式写成
则顶点坐标为(h,k)
对称轴为直线x=h,也可应用对称轴x=-b/2a
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)来求对称轴及顶点坐标
比较两个二次函数数值大小的方法
(1)直接代入自变量求值法
(2)当自变量在对称轴两侧时,看两个数到对称轴的距离及函数的增减性判断
(3)当自变量在对称轴两侧时,根据函数的增减性判断
当x=1时,决定a+b+c的符号
当x=-1时,决定a-b+c的符号
二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题
建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行相互转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键
二次函数关系式的确定
设一般式
(a≠0)
若已知条件是图像上三个点的坐标,则设一般式
将已知条件代入,求出a,b,c值
设交点式
x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标
将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式
设顶点式
顶点坐标是(h,k)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值
将已知条件代入,求出待定系数化为一般式
二次函数的平移
平移前后图象的形状和大小都相同,只是位置的不同
左加右减
对于x来说
上加下减
对于y来说