初中数学—平面直角坐标系和函数

初中数学核心知识精要：平面直角坐标系与函数全解析！从坐标轴特征到象限规律，掌握点的位置确定方法深入理解变量关系，学会用解析法、列表法、图象法表示函数。重点突破：分式分母不为零、根式被开方数非负等自变量取值原则，通过列表描点连线三步精准绘制函数图像。本单元将坐标系与实际问题结合，培养数形结合思维，为函数应用奠定坚实基础。

初中数学—平面直角坐标系和函数

• 平面直角坐标系与点的坐标特征
  • 物体位置的确定
    • 一般地，在平面内确定物体的位置需要两个数据，常见的有：横坐标与纵坐标、方位角与距离等.
  • 平面直角坐标系
    • 由平面内具有公共原点且相互垂直的两条数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系.其中，水平的数轴叫做x轴或横轴（习惯上取向右为正方向），竖直的数轴叫做y轴或纵轴（习惯上取向上为正方向），两轴的交点O（0,0）称为坐标原点
  • 象限
    • 在平面直角坐标系中，x轴和y轴把坐标平面分成4个象限（每个象限都不包括坐标轴上的点）
  • 点的坐标的确定
    • 在平面直角坐标系中，由坐标平面内一点向x轴（或y轴）作垂线，垂足在x轴（或y轴）上的坐标叫做这个点的横坐标（或纵坐标）.这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开）
    • 如图
  • 各象限内点的坐标特征点
    • 第一象限
      • P ( x , y )
        • x > 0 , y > 0
    • 第二象限
      • P ( x , y )
        • x < 0 , y > 0
    • 第三象限
      • P ( x , y )
        • x < 0 , y < 0
    • 第四象限
      • P ( x , y )
        • x ＞ 0 , y < 0
  • 坐标轴上的点的坐标的特征
    • 点P ( x , y )在x轴上—y = 0 , x为任意实数；
    • 点P ( x , y )在y轴上— x = 0 , y为任意实数；
    • 点P ( x , y )在坐标原点— x = 0 , y = 0 .
  • 特殊点的坐标特征
    • 对称点的坐标特征
      • 点P ( x , y )关于x轴的对称点P1的坐标为的坐标为( x , -y )；
      • 点P ( x , y )关于y轴的对称点P2的坐标为的坐标为( - x , y )
      • 关于原点的对称点P3的坐标为( - x , - y ) .
    • 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
      • 平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同
      • 平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同.
    • 各象限角平分线上点的坐标特征
      • 第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.
• 与函数有关的概念及图像
  • 常量和变量
    • 在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量.
  • 函数的概念
    • 一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量
  • 函数的表示方法
    • 函数主要的表示方法有三种：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法
  • 函数图象的画法
    • （1）列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值
    • （2）描点：以x的值为横坐标，对应y的值为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；
    • （3）连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．
  • 确定自变量取值范围的方法
    • 1.当自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数.
    • 2.当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数的实数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数.
    • 3.当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数.
    • 4.在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分.
    • 5.使实际问题有意义.