计数原理

这是一篇关于计数原理的思维导图，主要内容包括：分类加法计数原理分类乘法计数原理，排列和组合、排列数和组合数公式，二项式定理。

计数原理

• 分类加法计数原理分类乘法计数原理
  • 面对复杂计数问题，通过分类或分步先将它分解为若干个简单计数问题。
  • 运用分类加法原理是把一个复杂问题的解决过程分解为若干“类别”，要确保不重不漏，然后各个击破，分类解决。
  • 运用乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解成若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程，需要注意步骤的完整性与顺序性、关联性和独立性。
• 排列和组合、排列数和组合数公式
  • 通过比较，知道排列与组合的对应关系
    • 注意“一一对应”的思想的应用，例如求有限集合（n个元素）子集的个数问题，建立子集的个数与n位二进制代码的一一对应关系；组合数的性质:
  • 运用多元联系表示思想。采用树状图、表格、等值语言叙述、构造模型等多种方法
    • 常用问题模型：1.相邻问题"捆绑法"；2.不相邻问题"插空法"；3.定序问题“缩倍法”；4.分组分配问题：要注意是平均分组、部分平均分组、还是不平均分组；5.特殊元素优先法。6.利用递归或者数学归纳法解决。
• 二项式定理
  • 二项式展开式
    • 通项公式
  • 二项式系数的性质
    • 对称性
    • 增减性与最大值
    • 二项式系数的和
    • 与二项式相关的恒等式
      • 寻找其组合计数意义证明
• 在学习过程注意：1.从特殊到一般，将方法一般化，这是归纳。2.从不同的角度看待问题，灵活转换，这是转化与化归。3.关注原理，淡化技巧。很多问题无法直接套用公式，需要通过回归到原理本身来分析和解决。