一元函数的导数及其应用

这是一篇关于一元函数的导数及其应用的思维导图，主要内容包括：背景，导数的概念及其意义，导数的运算，导数在函数研究中的应用。

一元函数的导数及其应用

• 背景
  • 类比、联想，同时用运动变化的观点研究问题、“逼近（极限）”、“以曲代直”等微积分思想
  • 平均速度®瞬时速度
  • 割线斜率®切线斜率
  • 平均变化率®瞬时变化率
• 导数的概念及其意义
  • 经历数学抽象过程，学会用运动和变化的观点看问题
  • 导数的概念
  • 导数的几何意义
    • 会根据导数的几何意义解决与曲线的切线有关的问题，如求切线方程，两条曲线的公切线问题
    • 感知切线的斜率与函数的增长快慢的关系
• 导数的运算
  • 基本初等函数的导数公式
  • 导数的四则运算法则
  • 简单复合函数的导数
• 导数在函数研究中的应用
  • 数形结合思想的运用，利用导数研究函数的单调性和极值，“增长率”的快慢，学会利用“逼近”（极限）研究变化趋势，来得到相对准确图像。
  • 函数的单调性
    • 函数f(x)在区间I上单调递增Û
    • 是函数f(x)在区间I上单调递增的充分条件（但不是必要条件）
  • 函数的极值与最值
    • 极值与最值的区别与联系，可导函数取得极值的必要条件和充分条件，函数最值的存在的充分条件
    • 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，最值反映的是函数在整个定义域内的性质
    • 导函数在某点的函数值为零，是在这点取极值的必要条件（非充分条件）；函数在某点取极值的充分条件为：（1）在这点的导数为零；（2）导数在这点的附近左右两侧异号
    • 函数y=f(x)在闭区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值；最值产生的位置在极值点处或者是端点处
  • 函数导数在不等式中的应用
    • 全称和特称量词问题转化为函数最值问题
    • 构造函数通过单调性和最值解决与不等式有关的问题
  • 函数导数在方程中的应用
    • 函数的零点的存在性定理
    • 数形结合思想的应用