第四章：数列（9考点）

管综数学第四章，数列的9个考点，系统地梳理了数列章节的重点知识，有助于理解和记忆数列相关的概念、公式和性质。

第四章：数列（9考点）

• 数列的定义及表示方法（2）
  • 数列的定义与分类
    • 定义
    • 分类
      • 按项的个数
        • 有穷数列
        • 无穷数列
      • 按项的变化趋势
        • 递增数列
        • 递减数列
        • 常数列（既是等差，又是等比，如果是0，则不是等比）
        • 摆动数列（正负交替）
  • 数列的基本公式
    • 通项公式：用n表示an
    • 递推公式：若已知第一项或前几项，且任意一项与它的前一项或前几项的关系可以用公式表示
    • 求和公式
      • sn=a1+a2+…+an
      • n=1时，a1=s1;n≥2时，an=sn-sn-1
• 等差数列（2）
  • 等差数列定义与基本公式
    • 定义：从第2项开始，后一项与前一项的差为一个常数。an+1-an=d（n是正整数，即n≥1）
    • 通项公式
      • an=a1+(n-1)d=na1+(a1-d)
      • an=am+(n-m)d
      • 注：d=0时可看成常数列，d≠0时可看成一次函数
    • 求和公式
      • sn=(a1+an)n/2
      • sn=na1+n(n-1)·d/2
      • sn=dn²/2+(a1-d/2)n
      • sn=An²+Bn（此时an=2A+(B-A)）
      • sn=na(n+1)/2（无论n是奇是偶都成立）
      • S2n-1/T2n-1=an/bn，sn/Tn=na(n+1/2)/nb(n+1/2)
      • 注：若sn=An²+Bn+C(n≥1)则an非等差数列，而是分段数列，在第二项开始成等差数列；若n=1时，s1=a1，n≥2时，sn=An²+Bn+C，an为等差数列
  • 等差数列性质
    • 下标差：an=am+(n-m)d，d=an-am/n-m
    • 下标和：若m,n,l,k属于正整数，m+n=l+k，则am+an=al+ak（务必保证左右项数相同）
    • 等差中项：a,b,c成等差数列→b是a,c的等差中项→2b=a+c（eg：a2+a3=2a2.5）
    • 片段和：若sn为等差数列前n项和，则sn,s2n-sn,s3n-s2n,…也成等差数列，公差为n²d
  • 注：
    • 当d>0，单调递增；d<0，单调递减
    • d=0时，sn为不含常数项的一次函数，sn=na1
    • d≠0时，sn为不含常数项的二次函数，sn=An²+Bn
    • 若sn是含常数项的二次函数，则an为分段函数，从第二项开始为等差数列
• 等比数列（2）
  • 等比数列定义与基本公式
    • 定义：从第2项开始，后一项与前一项的比为同一常数，an+1/an=q（n≥1）即要求an的每一项都不为0，a1与q≠0
    • 基本公式
      • 通项公式：an=a1qn-1 =amqn-m
      • 求和公式
        • 前n项和公式
          • q=1时，sn=na1
          • q≠1时
            • sn=a1(1-qn)/1-q=a1(qn-1)/q-1
            • sn=A·qn+B(A+B=0)，注意sn的n与qn的n一一对应
        • 无穷递缩等比数列：|q|<1且q≠0，当n→+∞，sn=a1/1-q
        • q≠1时，sm/sn=1-qm/1-qn
  • 等比数列性质
    • 下标差：an=amqn-m
    • 下标和：若m,n,l,k属于正整数，m+n=l+k，则am·an=al·ak（注意左右项数一致）
    • 等比中项：a,b,c成等比中项→b是a,c的等差中项→b²=ac
    • 片段和：若sn为等比数列的前n项和，则sn,s2n-sn,s3n-s2n也成等比数列，公比为qⁿ
  • 注：
    • 单调性（a1和0比，q和1比）
      • 单调递增
        • a1>0，q>1
        • a1<0，0<q<1
      • 单调递减
        • a1>0，0<q<1
        • a1<0，q>1
    • 等比数列通项公式可以看成关于n的类指数函数形式
    • q≠1时，sn=Aqn+B(A+B=0)，注意sn与qn的n一一对应
• 递推数列（3）
  • 类等差数列与类等比数列
    • 类等差数列：
      • an+1-an=f(n)
      • 累加法：a2-a1=f(1) ，a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)把全部式子加起来得到an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
    • 类等比数列
      • an+1/an=f(n)
      • 累乘法：a2/a1=f(1)，a3/a2=f(2),…,an/an-1=f(n-1)把全部式子乘起来得到an/a1=f(1)f(2)…f(n-1)
  • 构造等差数列与构造等比数列
    • 构造等差数列：
      • an+1-an=qan·an+1（an≠0）
      • 同除an·an+1：得到1/an-1/an+1=q，即1/an+1-1/an=-q，此时1/an为等差数列
    • 构造等比数列：
      • an+1=pan+q(p≠1)
      • 同加q/p-1：得到an+1+q/p-1=p(an+q/p-1)，即an+q/p-1为等比数列
  • 列举找规律（无法使用累加和累乘，一般出现三项）
    • an+2=|p·an+1±q·an|
    • an+1=p·an+q/x·an+y
    • an·an+1·an+2=an+an+1+an+2
    • an+an+1+an+2=C
    • an+an+1=C
    • an·an+1=C