第五章：应用题（10考点）

管综数学第五章，应用题共10考点，分为基础应用题和核心应用题，内容详实、条理清晰、易于理解，是你不可或缺的学习助手。

第五章：应用题（10考点）

• 基础应用题（4）
  • 比例问题
    • 单位1的应用
      • 识别：一般情况下将“比”或“是”后面量设为单位“1”
      • 计算公式
        • 部分量÷该部分对应的比例=总量
        • 总量×该部分对应的比例=部分量
    • 统一不变量
      • 甲：乙=a:b，乙：丙=c:d，则甲：乙：丙=ac:bc:bd（统一不变量乙）
      • 甲：乙=a:b，增加若干乙后甲：乙（变）=c:d，统一不变量甲，则甲：乙=ac:bc，甲：乙（变）=ac:ad，即甲：乙：乙（变）=ac:bc:ad，乙增加的数字对应份数为ad-bc，由乙增加的数字÷对应的份数得到一份的量k，进而得出甲的量为ack，乙的量为bck，乙（变）的量为adk
      • 注：求出甲：乙：丙的最终比例并且得到一份的量k之后，用k乘最终得到的连比中的数字，从而得到每一个为多少，而不是将k代入甲乙丙原始的比例
  • 变化率问题
    • 单期变化率：从a到b的增长率为b-a/a×100%（即变化率=变化量÷变前量）
    • 多期变化率（复合增长率）：
      • 连续两次：(1+p)(1+q)-1，其中p,q分别为第一第二次增长率
      • 连续n次：(1+x1)(1+x2)(1+x3)…(1+xn)-1
    • 平均变化率：q=ⁿ√末期/初期-1=ⁿ√(1+x1)(1+x2)…(1+xn)-1
  • 利润问题
    • 基本公式
      • 利润=售价-进价
      • 利润率=利润/进价×100%=售价-进价/进价×100%=（售价/进价-1）×100%
      • 售价=进价×（1+利润率）
      • 进价=售价÷（1+利润率）
      • 折扣价=原价×折扣（如八折为0.8原价）
    • 恢复原值
      • 先提价p%再降价p%=先降价p%再提价p%，均无法恢复原值，此时会比原价小，因为a(1+p%)(1-p%)=a(1-p%)(1+p%)＜a
      • 先降价p%，再提价p%/1-p%；先提价p%，再降价p%/1+p%才能恢复原值（即把先提价或降价的部分作为分母，p%作为分子）
  • 植树问题
    • 开放型
      • 识别：直线长度为l，每隔k米植树一棵
      • 两端都种：l/k+1
      • 一段种，一端不种：l/k
      • 两段都不种：l/k-1
    • 封闭型
      • 识别：封闭环形周长为l米，每隔k米种一棵，则共需要种l/k棵
• 核心应用题（6）
  • 平均值问题
    • 基本公式：全班人数×全班平均分=男生人数×男生平均分+女生人数×女生平均分（有各自人数量和平均分量时用）
    • 加权平均公式：全体平均分=男生平均分×男生人数占比+女生平均分×女生人数占比（有占比时用，且男生占比+女生占比=1）
    • 杠杆原理（十字交叉法）：男生人数：女生人数=|女生平均分-全班平均分|：|男生平均分-全班平均分|（有三个均值or有两差值时用）
  • 溶液问题
    • 基本公式
      • 浓度=溶质质量÷溶液质量×100%
      • 溶质质量=浓度×溶液质量
      • 溶液质量=溶质质量+溶剂质量
    • 基本原则
      • 混合均匀：默认所有溶液均为均匀混合状态
      • 物质守恒：混合前后，溶质、溶液质量相同。（即c1×m1+c2×m2=c3×（m1+m2），其中c1和c2为A溶液与B溶液的浓度，c3为混合溶液的浓度，m1和m2分别为A溶液与B溶液的质量）
    • 进阶公式
      • 用水置换溶液
        • 识别：v表示溶液体积，m,n表示第一次和第二次置换的量
        • 现浓度=原浓度·v-m/m·v-n/v
      • 用溶质置换溶液
        • 识别：v表示溶液的体积，m,n表示第一次和第二次置换的量，p为原浓度，则1-p为溶剂占比
        • 现浓度=1-(1-p)·v-m/v·v-n/v
  • 路程问题
    • 直线定速公式
      • 基本公式：路程=速度×时间（s=vt）
      • 基本关系
        • s一定：v与t成反比（路程一定时，用的时间越多则速度越慢，反之，速度越快用的时间越少）
        • v一定：s与t成正比（速度一定时，用的时间越多则路程越远，反之，路程越远用的时间越多）
        • t一定：s与v成正比（时间一定时，速度越快路程越远，反之，速度越慢路程越近）
      • 基本模型
        • 识别：两人间隔s，同时出发，相遇或追及一次的时间为t
        • 直线相遇：s=s1+s2=(v1+v2)t
        • 直线追及：s=s1-s2=(v1-v2)t
        • 注：
          • 两人相遇n次，则共同跑了2n-1个s
          • 两人在每两次相遇过程中都跑了前一次的2s1或2s2。因为第一次相遇是合跑1个s，后面每一次相遇都是合跑2个s，即v一定，s变为2s
    • 直线变速公式（s一定）
      • 识别：针对同一段路程，速度变化使得时间不同，根据路程相等列等式
      • 通用：s=v1t1=v2t2
      • 秒杀：v1·v2=s·△v/△T（s要取速度变化那点到终点的距离，△V为速度差，△T为时间差）
    • 环形定速公式（v一定）
      • 识别：从同一点同时出发，一圈周长为s，相遇或追及一次的时间为t
      • 跑圈相遇：s=s1+s2=(v1+v2)t（即两个人合跑一圈）
      • 跑圈追及：s=s1-s2=(v1-v2)t（即速度快的人比速度慢的人刚好跑多一圈）
      • 注：追及几次说明速度快的人多跑几圈
    • 火车过桥公式
      • 火车过桥：L火+L桥=V火·t
      • 火车过静止的行人：L火=V火·t
      • 火车过移动的行人：
        • 相遇：L火=(V火+V人)·t
        • 追及：L火=(V火-V人)·t
      • 火车过火车：
        • 相遇：L火1+L火2=(V火1+V火2)·t
        • 追及：L火1+L火2=|V火1-V火2|·t
      • 注：把桥看成有L无V；把静止人看成无L无V；把移动人看成无L有V；把火车看成有L有V
    • 行船公式
      • 单个物体运动：v顺=V船+V水；V逆=V船-V水
      • 单个物体在水中来回一圈：t=t顺+t逆=(S/V船+V水)+(S/V船-V水)
      • 水中追及与相遇：两个物体在水中追及与相遇与一般直线相遇与追及一样，因为水速被抵消
    • s-t图与v-t图
      • s-t图：斜率k=v=s/t，速度越快则图像越陡，两直线交点就是相遇
      • v-t图：线段与x轴围成的面积为S，两直线交点是速度相同，只有两个物体分别与x轴围成的面积相同才相遇
  • 工程问题
    • 定效工程公式
      • 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间
      • 比例关系
        • 工作总量s一定时，工作效率v与工作时间t成反比
        • 工作效率v一定时，工作总量s与工作时间t成正比
        • 工作时间t一定时，工作总量s与工作效率v成正比
      • 注：
        • 工作总量：分为具体量和抽象量两种，具体量一般题干会明确给出工作的具体数量，抽象量一般题干说完成这份工作，可以把工作总量看成单位“1”，或者为了方便计算，工作总量也可以取时间或效率的最小公倍数（若题目求工作总量，就不能设单位1）
        • 工作效率=工作总量÷工作时间，合作效率=各自效率相加，此外，还会出现效率正负问题，如进水排水中
    • 变效工程公式
      • 识别：针对同一段工作，效率的变化使得工作时间不同，根据同一段工作量相等列等式
      • 通用：s=v1t1=v2t2
      • 秒杀：v1·v2=s·△v/△T（注意s是从工作效率变化的点开始一直到结束）
    • 牛吃草公式
      • 存量+增量=工作时间×工作效率（默认工作效率为1，存量为a，一般来说n进=1）
      • a+v进·t=n·v出·t
      • 增量=工作时间×增长（减少的效率）
  • 集合问题
    • 两集合公式
      • A∪B=A+B-A∩B（注意此时A和B都是包含了A∩B）
      • A∪B=Ω-非A∩非B
      • 注：
        • 会A的与会B的和=（A+A∩B）+（B+A∩B）
        • A或B：A∪B=仅A+仅B+A∩B
    • 三集合公式
      • A∪B∪C=A+B+C-（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C（注意A∩B，A∩C，B∩C都包含了A∩B∩C）
      • A∪B∪C=Ω-非A∩非B∩非C
      • A+B+C=仅会一种+仅会两种+三种全会
  • 不定方程问题
    • 定义：未知数的个数大于方程的个数。即未知数为n个，方程只有n-1个
    • 方法
      • 陷阱：只有正整数才能让方程有可能唯一解，如果没有正整数限制，该方程不可能存在唯一解
      • 试数先从系数大的变量开始
      • 利用整除性质
        • 常见的分析是判断奇偶和尾数
        • 倍数关系：若结果和其中一项均为a的倍数，则另一项也为a的倍数（如2x+5y=20,其中x,y均属于正整数，则5y和20均为5的倍数，则2y也为5的倍数，2不可能为5的倍数，则y为5的倍数）