第六章：平面几何（10考点）

管综数学第六章，平面几何共10考点，梳理了平面几何中三角形、多边形、圆和扇形的重点知识，有助于全面复习和掌握平面几何的相关考点。

第六章：平面几何（10考点）

• 三角形（5）
  • 三角形的边角关系
    • 角之间关系
      • 角的基础知识
        • 对顶角相等
        • 同位角相等
        • 内错角相等
        • 同旁内角互补
      • 内角与外角
        • 内角：三角形内角和180º，n边形内角和（n-2）×180º
        • 外角：三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和。三角形外角和360º
    • 边之间关系
      • 任意两边之和大于第三边
        • 未知最长边（要同时满足三个不等式）
          • ①a+b>c
          • ②a+c>b
          • ③b+c>a
        • 已知最长边（满足一个不等式即可）：两边之和>最长边
      • 任意两边之差小于第三边
        • 未知最短边（要同时满足三个不等式）
          • ①|a-b|<c
          • ②|a-c|<b
          • ③|b-c|<a
        • 已知最短边（满足一个不等式即可）：两边之差＜最短边
      • 若a,b,c可构成三角形，则另两边之差<任意一边<另两边之和
    • 边角之间关系
      • 大边对大角，大角对大边，等边对等角，等角对等边
        • 若∠A≥∠B≥∠C，则a≥b≥c
        • 若a≥b≥c，则∠A≥∠B≥∠C
      • 正弦定理（知三求一，且边角对应）
        • 基本公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）
        • 变形公式
          • a:b:c=sinA:sinB:sinC
          • a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
          • sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R
      • 余弦定理（三边一角时用）
        • 基本公式
          • a²+b²-c²=2ab·cosC
          • b²+c²-a²=2bc·cosA
          • a²+c²-b²=2ac·cosB
        • 变形公式
          • cosA=b²+c²-a²/2bc
          • cosB=a²+c²-b²/2ac
          • cosC=a²+b²-c²/2ab
      • 常见角度三角函数值
        • sin0º=sinπ=0，sin30º=sin150º=1/2，sin45º=sin135º=√2/2，sin60º=sin120º=√3/2，sin90º=1
        • cos0º=1，cos180º=cosπ=-1，cos30º=√3/2，cos150º=-√3/2，cos45º=√2/2，cos135º=-√2/2，cos60º=1/2，cos120º=-1/2，cos90º=0
        • tan0º=0，tan30º=√3/3，tan150º=-√3/3，tan45º=1，tan135º=-1，tan60º=√3，tan120º=-√3，tan90º不存在
        • 注：
          • 同角三角函数关系：tanA=sinA/cosA，sin²A+cos²A=1
          • 补角三角函数关系：∠A+∠B=180º，则sinA=sinB，cosA=-cosB，tanA=-tanB
  • 三角形面积公式
    • 底高公式
      • S△=1/2ah（a为底，h为高）
      • 两三角形同底时，其面积之比等于高之比（a同，s1:s2=h1:h2）
      • 两三角形同高时，其面积之比等于底之比（h同，s1:s2=a1:a2）
      • 两三角形同底等高时，面积相等
    • 夹角公式
      • 基本公式（两边夹一角）：S=1/2ab·sinC=1/2ac·sinB=1/2bc·sinA（三角形面积=任意两边之积×夹角正弦值÷2）
      • 变形公式（三角or三边加半径R）：S=abc/4R=2R²sinA·sinB·sinC
    • 海伦公式（三边）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=a+b+c/2
  • 特殊三角形
    • 直角三角形
      • 勾股定理（a²+b²=c²）
        • 钝角三角形：最长边平方>剩余两边平方和
        • 直角三角形：最长边平方=剩余两边平方和
        • 锐角三角形：最长边平方＜剩余两边平方和
      • 常用勾股数：(1,√2,√3),(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17)等，在此基础上扩大或缩小若干倍数均满足勾股定理
      • 直角三角形面积
        • 通用：S△=1/2ab=1/2ch，h=ab/c（h为斜边c上的高）
        • 等腰直角三角形
          • 三边之比：a:a:c=1:1:√2，a=c/√2
          • 面积公式：S=1/2a²=1/4c²，h=1/2c=a/√2（h为斜边c上的高）
        • 有一个角为30º的直角三角形
          • 三边之比：a:b:c=1:√3:2（a为30°所对直角边，c为斜边）
          • 定理：30°所对直角边是斜边的一半
    • 等腰三角形
      • 三线合一：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线和底边上的高重合（但凡题目给出两条线重合，则必为等腰三角形）
      • 基本公式
        • h=√a²-(b/2)²，其中h为底边b上的高，a为腰
        • S=1/2bh=1/2b√a²-(b/2)²（即S=1/2底×高）
      • 等边三角形
        • h=√3a/2（即高=√3边长/2）
        • S=√3a²/4（即面积=√3边长²/4）
      • 顶角为120º的等腰三角形：
        • 三边之比：a:a:c=1:1:√3
        • S=√3a²/4（与等边三角形面积公式一样）
  • 三角形的全等与相似
    • 三角形全等
      • 判定
        • SSS（边边边）：三边对应相等的三角形全等
        • SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形全等
        • ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等
        • AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等
        • HL（斜边、直角边）：斜边及一条直角边对应相等的直角三角形全等
      • 全等的结论：若两个三角形全等，则两三角形的对应边、对应角、面积都相等
    • 三角形相似
      • 判定
        • 三边对应成比例（SSS）
        • 两角对应相等（AA）
        • 两边对应成比例且夹角相等（SAS）
        • 任意两边对应成比例的两个直角三角形相似（RT△中，SS）
      • 结论
        • 两个三角形三边对应比相等（相似比）：a1/a2=b1/b2=c1/c2=k
        • 两个三角形三个角对应相等
        • 两个三角形面积比等于边之比的平方（相似比）：s1/s2=k²
    • 相似模型
      • A字型：上面小三角形相似于整个大三角形（AA）
      • 8字型：上面倒三角形相似于下面正三角形（AA）
      • 阶梯型：阶梯上的每个三角形都相似于阶梯上的其他三角形（AA）
      • 射影定理：以斜边上的高为界限，左右两个小直角三角形相似于整个大直角三角形（AA）
      • 注
        • 一组对边平行的梯形：连接对角线，存在A字型相似
        • 一线三等角：左右两个三角形相似（AA）
        • 圆幂定理
          • 切割线定理
          • 双割线定理
          • 相交弦定理
  • 三角形的四心五线
    • 内心（三条角平分线交点）
      • 内心到三角形三边距离相等，均为内切圆半径r（内心即内切圆圆心）
      • 内切圆半径r
        • 任意三角形：r=2S△/a+b+c
        • 直角三角形：r=a+b-c/2（c为斜边）
        • 等边三角形：r=√3a/6
    • 外心（三条中垂线交点）
      • 外心到三角形三个顶点距离相等，均为外接圆半径R（外心即外接圆圆心）
      • 外接圆半径R
        • 任意三角形：R=1/2·a/sinA（正弦定理）
        • 直角三角形：R=c/2（c为斜边）
        • 等边三角形：R=√3a/3
    • 重心（三条中线交点）
      • 重心将中线分为长度比为2：1的两段，连接顶点的占两份，连接底边的占一份
      • S△左=S△右=S△下=1/3的整个S△，且分为六等份，每一个小三角形=1/6的S△
      • 重心（x1+x2+x3/3，y1+y2+y3/3）
      • 重心到三顶点距离的平方和最小
    • 垂心（三条高线的交点）
      • 垂心关于三边的对称点均在三角形的外接圆上
      • 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的两倍
    • 中位线
      • 中位线平行底边且等于底边的一半
      • 连接三角形三边中点，得到三条中位线将三角形分为四等份，每个小三角形=1/4的整个大三角形
      • 上面的小三角形相似于整个大三角形（A字型），相似比为1：2
    • 特殊三角形的四心五线
      • 等边三角形：四心合一（内心，外心，重心，垂心）的三角形必为等边三角形
      • 等腰三角形：底边上的四线合一（角平分线，中垂线，中线，高线），任意两线合一的三角形必为等腰三角形
      • 直角三角形：外心为斜边的中点，斜边中线等于斜边的一半（本质：斜边中点为外心）
• 多边形（3）
  • 平行四边形
    • 平行四边形
      • 定义：有两组对边分别平行的四边形称为平行四边形（一定要按顺/逆时针写S□，如果是S□ABCD则表示AC，BD必为对角线）
      • 面积：S=ah(a为底，h为高)
      • 性质
        • 对角线互相平分（但对角线不一定相等）
        • 两条对角线将平行四边形分为四个三角形，且上下三角形全等，左右三角形全等（SAS）
        • S□ABCD中，S△ABE=S△ADE=S△BCE=S△CDE=1/4的S□（对角线平分面积，分为四等份）
        • E为对角线交点，过E的任意直线都能将平行四边形分为面积相等的两部分（本质：中心对称图形中，过对称中心的任意直线均可平分面积）
        • 注：依次连接任意四边形的各边中点所得的四边形称为中点四边形，不管原四边形的形状怎样，中点四边形的形状总是平行四边形
    • 矩形
      • 定义：有一个角是直角的平行四边形称为矩形（长方形，正方形）
      • 面积：S□=ab（a为长，b为宽）
      • 性质
        • 矩形拥有平行四边形所有性质
        • 对角线相等
        • 既是轴对称图形，又是中心对称图形
    • 菱形
      • 定义：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形（菱形，正方形）
      • 面积：S□=1/2·对角线1·对角线2=1/2·AC·BD（AC，BD分别为两条菱形的对角线）
      • 性质
        • 菱形具有平行四边形的所有性质
        • 对角线互相垂直平分，且平分每一组对角
        • 对角线把菱形分为四个全等的直角三角形（SAS），每一个小直角三角形=1/4的S□
        • 注
          • 任意对角线垂直的四边形ABCD面积均为1/2对角线的乘积（菱形，筝形）
          • 菱形的中点四边形一定为矩形（长方形，正方形）
    • 正方形
      • 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形
      • 性质
        • 两组对边分别平行，四条边都相等，邻边互相垂直
        • 正方形的两条对角线把正方形分为四个全等的等腰直角三角形
        • 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质（知道对角线时，面积也可用1/2对角线的乘积算）
  • 梯形
    • 基本公式
      • 定义：只有一组对边平行的四边形称为梯形
      • 面积：S梯形=（a+b）h/2（其中，a为上底，b为下底，h为高）
    • 基本定理
      • S1/S2=(a/b)²，对角线分成的上、下三角形相似
      • S1/S4=a/b，两三角形高相同，面积之比等于底之比
      • S△ADB=S△ACB，同底等高的三角形面积相等
      • S3=S4，对角线分成的左、右三角形面积相等（S△ADE=S△BCE）
      • S1·S2=S3·S4，梯形对角线分成的四块面积，相对的两块面积乘积相等，此为蝴蝶定理，适用于所有凸四边形（但只有一组对边平行的梯形才有S3=S4。凸四边形是指每个内角都＜180º）
      • S1：S2：S3：S4=a²:b²:ab:ab
  • 正多边形
    • 正六边形
      • 定义与性质
        • 六条边都相等的六边形为正六边形
        • 正六边形的内角和为720º，每个内角均为120º（n边形内角：(n-2)×180º）
      • 面积计算公式（a为边即相邻两点的距离，b为隔了一个点的两点直线距离）
        • S=6×(√3a²/4)=3√3a²/2（本质：6个边长为a的等边三角形）
        • S=2×(√3b²/4)=√3b²/2（本质：2个边长为b的等边三角形）
        • b=√3×a
    • 正八边形
      • 定义与性质
        • 八条边都相等的八边形为正八边形
        • 正八边形的内角和为1080º，每个内角均为135º
      • 面积计算公式：S=8×(1/2·a²·sin45º)=2√2a²（a为正八边形的中心到任意顶点的距离，非边长）
    • 正十二边形
      • 定义与性质
        • 十二条边都相等的十二边形为正十二边形
        • 正十二边形的内角和为1800º，每个内角均为150º
      • 面积计算公式：S=12×(1/2·a²·sin30º)=3a²(a为正十二边形的中心到任意顶点的距离，非边长)
• 圆和扇形（2）
  • 圆和扇形的基本公式
    • 圆
      • 定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆（即圆心到每一个点的距离相等d=r）
      • 周长与面积
        • 周长C=2πr
        • 面积S=πr²
      • 圆周角与圆心角
        • 圆周角：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角
        • 圆心角：顶点在圆心上的角
        • 同弧或等弧所对的圆周角相等
        • 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
        • 直径所对的圆周角为直角
    • 扇形与弓形
      • 定义：一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形称为扇形
      • 扇形弧长：l=aº/360º·2πr=θr（aº为扇形角的角度，θ为扇形角的弧度，r为扇形半径）
      • 扇形面积：S=aº/360º·πr²=1/2·lr=1/2·θr²（aº为扇形角的角度，l为扇形弧度，r为扇形半径）
      • 弓形：S弓形=S扇形-S三角形
  • 圆幂定理（本质：相似三角形对应边成比例）
    • 切割线定理：PA²=PB·PC（切线的平方等于线段整长×线段在圆外长度的乘积，∠1=∠2是弦切角定理）
    • 双割线定理：PA·PB=PC·PD（两线段的每条线段整长×线段在外面的长度乘积相等，A字型相似，圆外的小三角形相似于整个大三角形）
    • 相交弦定理：PA·PB=PC·PD（两条弦被交点分成的两线段乘积相等，8字型相似，左边三角形相似于右边三角形）