第五章-比与比例

这是一张关于比与比例思维导图，结构清晰，内容涵盖比的意义、基本性质，比例及其性质，百分比的意义及运算，比例行程问题，以及和差关系与比例分配等方面。

比与比例

• 比的意义
  • 比和比值
    • a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比，记作a: b或写成a/ b，其中 b≠0：读作a比b、或a与b的比，a 叫做比的前项，b叫做比的后项，前项a除以后项b所得的商叫做比值.
  • 比、分数和除法的关系
    • 比：前项：后项=比值，分数：分子/分母=分数值，除法：被除数/除数=商， 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数； 比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比值相当于分数的分数值和除式的商
  • 比、分数和除法的区别
    • 比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算
• 比的基本性质
  • 比的基本性质
    • 比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变
  • 最简整数比
    • 比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比
  • 三连比的性质
    • 1、如果a:b=m:n，b:c=n:k，那么a:b:c=m:n:k； 2、如果k≠0，那么a:b:c=ak :bk:ck
• 比例及其性质
  • 比例
    • a、b、c、d四个量中，如果a:b=c:d，那么就说 a、b、c、d成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例. 比例a：b=c：d也可以表示为a/ b = c/ d 其中a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项.
  • 比例外项和比例内项
    • 如果a: b= c：d那么第一比例项a和第四比例项d叫做比例外项，第二比例项b和第三比例项c叫做比例内项
  • 比例中项
    • 对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a：b= b：c，那么把b叫做a和c的比例中项
  • 比例的基本性质
    • 如果a: b=c:d或a/b = c/d那么ad=bc，反之，如果a、b、c、d都不为零，且ad=bc，那么a:b=c:d或a/ b = c/ d，两个外项的积等于两个内项的积.
• 比例性质的运用
  • 根据比例的意义和性质解题
    • 根据a: b = c: d，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值
  • 比例尺
    • 比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比，即：图上距离：实际距离
• 和差关系与比例分配
  • 已知两个量的数量比与数量和
    • 两个量A､ B，数量之比为a: b，数量之和为x，则A的数量为ax/ （a+ b），B的数量为bx/（a+ b）
  • 已知两个量的数量比与数量差
    • 两个量A､ B，数量之比为a: b(a > b)，数量之差为x，则A的数量为ax/ （a-b），B的数量为bx/（a-b）
  • 设k法
    • 若A: B = a: b，可设A = ak，B = bk，其中k≠ 0，那么：A+ B = ak+ bk = （a+ b）k，A- B = ak- bk = （a- b）k
• 比例行程问题
  • 路程、速度和时间三个量之间的基本关系
    • 路程=速度×时间，速度=路程/时间，时间=路程/速度
  • 两个物体运行时间相同
    • 当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，它们走过的路程之比就等于 它们的速度之比.
  • 两个物体运行路程相同
    • 当两个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，它们所用的时间之比就等于 它们速度的反比
• 百分比的意义及运算
  • 百分比
    • 把两个数量的比值写成n/100的形式 ，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作n%，读作百分之n，符号“%”叫做百分号
  • 百分数、小数和分数与混合运算
    • 混合运算时，先将百分数化为小数或分数，再进行计算
• 百分数的简单应用
  • 求甲是乙的百分之几？
    • 甲/乙×100%
  • 求甲的百分之几是多少？
    • 甲×百分之几
  • 己知甲，且甲是乙的百分之几，求乙
    • 甲/百分之几
• 增长率与下降率
  • 甲比乙做了百分之几？
    • （甲-乙）/乙×100%
  • 甲比乙少了百分之几？
    • （乙-甲）/乙×100%
  • 增长率：即增长了百分之几
    • 增长的量／基础的量×100%
  • 下降率：即下降了百分之几
    • 下降的量／基础的量×100%
• 七(2)熊子旷