初中数学--九年级上册

这是一篇关于九年级上册的思维导图，主要内容包括：一元二次方程，二次函数，旋转，圆，概率初步。总结全面细致，适合做为复习资料。

九年级上册

• 一元二次方程
  • 概念
    • 一般形式
      • ax²+bx+c=0(a≠0)
    • ①一个未知数 ②未知数次数是2 ③是整式方程
    • 根的判别式
  • 解方程
    • 直接开平方法
      • 化为 x²=p
    • 配方法
      • 化为 (x+n)²=p
        • 步骤：①移项（常数项）②二次项系数化为1 ③配方（完全平方公式） ④开方求解
    • 公式法
    • 因式分解法
      • 化为ab=0
        • 步骤：①移项（左边）②分解成ab=0 ③转化（令a=0、b=0）④求解
      • 方法
        • 提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘法
  • 根与系数的关系
  • 实际问题
    • ①读题 ②设未知数（一般求什么设什么） ③找等量关系，列方程 ④解方程 ⑤验算 ⑥答
• 二次函数
  • 概念
    • 形如 y=ax²+bx+c（a≠0，且b,c为常数）的函数
    • 图像画法
      • 描点法 ①列表 ②描点 ③连线
        • ∣a∣越大，开口越大
          • 平移法
  • 形式
    • y=ax² (a≠0)
      • 顶点（0，0），对称轴 x=0
    • y=ax²+k (a≠0)
      • 顶点（0，k），对称轴 x=0
    • y=a(x-h)² (a≠0)
      • 顶点（h，0），对称轴 x=h
    • y=a(x-h)²+k (a≠0)
      • 顶点（h，k），对称轴 x=h
    • 左加右减，上加下减
    • 一般式
  • 待定系数法求解析式
    • 一般式
      • ax²+bx+c=0(a≠0)
        • 任意三点
    • 顶点式
      • y=a(x-h)²+k (a≠0)
        • 顶点
    • 交点式
      • y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)
        • x轴交点
  • 性质
    • a＞0
      • 开口向上，最小值，对称轴左侧递减、右侧递增
    • a＜0
      • 开口向下，最大值，对称轴左侧递增、右侧递减
    • 对称轴
      • 任意两对称点的横坐标之和的一半
  • 与一元二次方程的关系
    • 与x轴交点即y=0时
      • ∆＞0
        • 两个交点
          • 两个不相等的实数根
      • ∆＝0
        • 一个交点
          • 有两个相等的实数根
      • ∆＜0
        • 没有交点
          • 无实数根
    • 图像法解一元二次方程
      • 求与x轴交点的坐标
      • 画出y=ax²与y=-bx-c的图像，求交点坐标
      • 画出y=ax²+bx与y=-c的图像，求交点坐标
  • 与一元二次不等式的关系
  • 实际问题
    • ①读题 ②设未知数（一般求什么设什么） ③找等量关系，列方程，自变量的取值范围 ④解方程 ⑤验算 ⑥答
• 旋转
  • 图形的旋转
    • 定义
      • 把一平面图形绕平面内某一点O转动一个角度
    • 三要素
      • 旋转中心、旋转角、旋转方向
      • 旋转中心
        • 两对对应点所连线段的垂直平分线的交点
    • 性质
      • 对应点到旋转中心的距离相等
      • 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
      • 旋转前后图形全等
    • 旋转作图
      • ①找：旋转中心、方向、旋转角、关键点 ②连：关键点和旋转中心 ③转：作旋转角 ④截：截取相等的线段 ⑤连：连接各对应点 ⑥写出结论
  • 中心对称
    • 定义
      • 把一图形绕某一点旋转180º，与另一图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称
        • 两个图形
    • 性质
      • 对称点所连线段都经过对称中心，且被平分
      • 中心对称的两图形全等
    • 中心对称图形
      • 一个图形绕某一点旋转180º，能与自身重合
        • 一个图形
    • 原点对称的点的坐标
      • P(x，y)关于原点的对称点P′(-x，-y)
    • 中心对称作图
      • ①确定对称中心和关键点 ②连接：连接两点并延长 ③截取：等长截取 ④顺次连接
• 圆
  • 圆的基本概念
    • 定义
      • 在一个平面内，线段饶它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆：动态定义
      • 平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（这个定点叫做圆心，定长叫做半径）：静态定义
    • 确定圆的两大条件
      • 圆心——位置
      • 半径——大小
    • 弧
      • 定义
        • 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（优弧、半圆、劣弧）
      • 劣弧
        • 小于半圆的弧
          • 劣弧AB
      • 优弧
        • 大于半圆的弧
          • 优弧ACB（三字母表示）
      • 弧长
        • n°的圆心角所对的弧长为
    • 弦
      • 定义
        • 圆上任意两点所连线段
      • 弦心距
        • 在同一个圆中圆心到圆任意一弦的距离
    • 圆心角与圆周角
      • 圆心角
        • 同一平面内，顶点在圆心的角
        • 特点
          • 1.一弧对一个 2.同弧等弧所对的圆心角相等
      • 圆周角
        • 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
        • 特点
          • 1.一弧对无数个 2.同弧等弧所对的圆周角相等
  • 圆的定理
    • 垂径定理
      • ①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
      • ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
      • 知二推二
        • ①经过圆心（直径） ②垂直于弦 ③平分弦（不是直径） ④平分弧
    • 弧、弦、圆心角的关系
      • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
        • 知一推二
    • 圆周角定理
      • 一条弧对应的圆周角等于对应的圆心角的一半
        • 弧的度数即是所对圆周角的度数
        • 同弧或等弧所对的圆周角相等
      • 两大推论
        • 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径
        • 圆内接四边形对角互补
          • 内接四边形的每一个外角都等于它的内对角
  • 四点共圆
    • 共斜边的两直角三角形的顶点在同一圆上
    • 对角互补的四边形，顶点共圆
      • 一外角等于其内对角
    • 定边对定角共圆
      • 两点在一线段同侧，且与线段端点所连夹角相等
  • 点与圆的位置关系
    • 点在圆内
      • d＜r
    • 点在圆上
      • d＝r
    • 点在圆外
      • d＞r
  • 不共线三点定圆
    • 外接圆
      • 外心
        • 三角形三边垂直平分线交点
        • 到三个顶点的距离相等=r
    • 内切圆
      • 内心
        • 三角形三条角平分线的交点
        • 到三边距离相等
      • 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
  • 直线和圆的位置关系
    • 相交
      • d＜r
        • 两个交点
          • 割线
    • 相切
      • d＝r
        • 一个交点
          • 切线
    • 相离
      • d＞r
        • 没有交点
  • 切、割线定理
    • 切线
      • 判定定理
        • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
      • 性质定理
        • 圆的切线垂直于过切点的半径
      • 切线长定理
        • 圆外一点可以引圆的两条切线，且切线长相等，点与圆心的连线平分两条切线的夹角
    • 相交弦定理
      • 弦AB与CD交于点P，则PA·PB=PC·PD
    • 切割线定理
      • 由点A引切线AB，割线AD交圆O于C，切点为B，则AB²=AC·AD
      • 证明：作直径MB，∴∠D=∠M=∠ABC，∴△ACB∽△ABD
    • 割线定理
      • 由点A引割线线AB，AC分别交圆O于D、E，（作切线AM，切点为M）则AE·AC=AD·AB（=AM²）
      • 割线造相似
        • △AEB∽△ADC
          • △ADE∽△ABC（∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB）
  • 正多边形、扇形和圆锥
    • 正多边形
      • 各边相等且各角也相等
    • 扇形面积
      • 圆心为n°的扇形面积为
    • 圆锥
      • 母线
        • 顶点与圆周任意一点的连线
          • 母线长相等
      • 高
        • 顶点与底面圆心的连线
          • 垂直于底面
      • 侧面积
      • 体积
• 概率初步
  • 事件
    • 确定性事件
      • 必然事件
        • 一定条件下，必然发生的事件
          • P(A)=100%=1
      • 不可能事件
        • 一定条件下，必然不会发生的事件
          • P(A)=0
    • 随机事件
      • 一定条件下，可能发生的也可能不发生的事件
        • 0＜P(A)＜1
  • 概率
    • 定义
      • 刻画事件发生可能性大小的数值
    • 计算公式
      • P(A)=m/n
    • 意义
      • 事件A发生的概率：一次试验，有n种可能的结果，且可能性都相等，事件A包含其中的m种结果
    • 列举法
      • 枚举法
        • 对象单一，等可能结果数目较少
          • 步骤：①列举所有等可能的结果 ②计算
      • 列表法
        • 两个因素且可能出现的结果数目较多
          • 步骤：选一个条件为横行，另一个条件为竖列，列出表格
      • 画树状图
        • 涉及两个及更多个因素时
          • 步骤：①一个因素一步 ②利用公式计算
  • 频率估计概率
    • 生活中的随机事件→大量重复试验→事件发生的频率→估计事件发生的概率→评判生活中的事件
    • 频率是统计值，与试验的次数有关，概率是理论值，试验次数越多，频率越趋向于概率