高数思维导图

一张思维导图带你了解张宇高数十八讲，内容有极限、多元微分、一元微分、二重积分、微分方程、一元积分等，结构型知识框架方便学习理解！

高数18讲

• 极限
  • 五个考点
    • 定义
    • 是常数
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 等式脱帽法-f（x）＝A+a
    • 收敛的充要条件（数列）
  • 计算方法
    • 化简
      • 等价无穷小代换
      • 及时提出极限不为0的因式
      • 恒等变形
        • 提取公因式
        • 换元
          • 普通的换元
          • 变限积分换元
            • 直接求导型
            • 拆分求导型
            • 换元求导型
        • 通分
        • 幂指函数
        • 因式分解
        • 分子有理化
        • 中值定理
          • 拉氏
          • 泰勒
          • 积分中值（抽象，把积分→函数）
          • 牛顿莱布
    • 泰勒
      • 公式10
      • 展开原则（乘除和加减）
    • 洛必达法则（结果不能是不存在，否则失效）
    • 无穷小比阶（题型）
  • 存在性
    • 具体型
      • 洛必达（优先）
      • 夹逼
    • 抽象型（单调有界准则）
    • 数列极限
      • 归结原则（两条）
      • 直接计算法
      • 定义法（先斩后奏）ⅠXn-aⅠ
      • 单调有界准则（记住几个不等式，归纳至少试三个）
      • 夹逼准则（基本放缩看无穷项和有限项）
    • 综合题类型
      • 积分
      • 导数
      • 中值定理
      • 方程列
      • 区间列（tanx＝x）
      • 极限
  • 连续性
    • 连续
      • 内点
      • 端点
    • 间断
      • 第一类
        • 跳跃
        • 可去
      • 第二类
        • 无穷
        • 振荡
    • 研究位置
      • 无定义点
      • 分段函数分段点
• 一元微分
  • 概念
    • 定义
      • 导数
        • 分段函数（含绝对值点）
        • 抽象函数（特指点和泛指点）
        • 四则运算
          • f（x)＝f1·f2
          • f（x)＝f1+f2
          • 不成立点（需要导数定义单独算）
      • 微分
  • 计算
    • 公式
    • 对数求导法（多项乘除开方）
    • 复合函数（微分形式不变性）
    • 隐函数
    • 反函数
    • 幂指函数（注意1的无穷）
    • 参数方程
    • 分段函数（含绝对值）
      • 分段点（定义）
      • 非分段点（公式）
  • 高阶导数
    • 归纳法
    • 莱布尼兹（UV）的n次方
    • 展开式（抽象＝具体）
  • 证明
    • 定理
      • 确定区间
      • 确定辅助函数
        • 简单四则运算
        • 复杂的构造
      • 确定使用定理
      • 常见的关键点总结
    • 微分等式
      • 方程的根 函数的零点
        • 零点定理证存在
        • 导数工具证唯一
        • 罗尔原话
        • 实系数奇次方程
    • 微分不等式
      • 单调性 凹凸性
      • 最值
      • 拉氏和柯西
      • 拉氏泰勒变体形式θ
  • 应用
    • 几何应用
      • 研究对象
        • 祖孙三代
        • 分段函数
        • 参数方程
        • 隐函数
      • 研究内容
        • 切线 法线 截距
        • 极值，单调性
          • 单调性判别
          • 一阶导是极值点的必要条件
          • 极值判别的三个充分条件
        • 拐点 凹凸性
          • 凹凸性判别
          • 二阶导是拐点的必要条件
          • 拐点判别的三个充分条件
        • 渐近线
        • 最值
          • 闭区间
          • 开区间（可疑点和端点极限都要考虑）
        • 微分不等式
          • 曲率与曲率半径
          • 相关变化率
• 一元积分
  • 概念
    • 祖孙三代七条关系
    • 定积分定义
      • 凑成i/n
      • 放缩形
      • 变量形
    • 反常积分的概念（两种）
  • 性质
    • 积分比大小
      • 看面积大小
      • 用保号性看正负和做差
    • 反常积分判别（记住的四个式子）
  • 计算
    • 公式
    • 不定积分
      • 凑微分法
      • 换元法
        • 三角函数代换
        • 恒等变形后三角函数代换
        • 根式代换
        • 倒代换
        • 复杂函数直接代换
      • 分部积分法（记住一条准则）
      • 有理函数积分
    • 定积分
      • 区间再现
      • 点火（华氏）公式
      • 含三角函数的积分等式
      • 区间简化公式
      • 对称下的积分
      • 分部积分法的升阶降阶（积分降阶）
      • 分段函数定积分（指定区间）
    • 变限积分
      • 分段函数变限积分（累加区间）
      • 直接求导型
      • 换元求导型（平均值是重点）
      • 拆分求导型
      • 换序型（二重积分换序）
    • 反常积分收敛条件下计算
  • 应用
  • 积分等式
    • 常用的
    • 证明某特殊积分等式求特殊积分
    • 积分形式中值定理
  • 积分不等式
    • 单调性
    • 处理被积函数六个方法
      • 积分保号性
      • 拉氏
      • 泰勒公式
      • 放缩法
      • 分部积分法
      • 换元法
    • 夹逼求解极限一类
    • 曲边梯形连续化与离散化
  • 物理应用
    • 总路程
    • 变力沿直线做功
    • 提取物体做功
    • 静水压力
    • 细杆质心
    • 微元法总结
• 证明题
  • 数列极限存在性
  • 十大定理
  • 方程根的个数与唯一
  • 积分等式与不等式
  • 不等式证明
• 微分方程
  • 一阶（五个）
  • 二阶可降阶（两个）
  • 高阶常系数（三个）
  • 换元法求解
    • 求导公式逆用
    • 自变量
    • 因变量
    • x，y地位互换
  • 应用
    • 极限，导数定义或积分等式建方程
    • 用几何应用建方程
      • 曲线切线斜率
      • f（x）与g（x）公切线斜率
      • 截距
      • 面积
      • 体积
      • 平均值
      • 弧长
      • 侧面积
      • 曲率
      • 形心
• 二重积分
  • 概念
    • 和式极限
    • 普通对称性
    • 轮换对称性
    • 二重积分比大小（对称性和保号性）
    • 周期性
  • 计算
    • 直系与换序
    • 极系与换序
    • 直极互化
  • 应用
    • 面积
• 多元微分
  • 概念
    • 极限
    • 连续
    • 偏导数
    • 可微
    • 偏导数连续
  • 计算
    • 复合函数求导法
    • 隐函数求导法
  • 应用
    • 无条件极值
    • 条件极值与拉氏乘数法
    • 偏微分方程
      • 偏导数和偏增量
      • 化已知偏微分方程为常微分方程
      • 化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题
• 综合题