导图社区 九年级上册第4单元图形的相似(总第29章)(董向东制作)
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九上第4单元 图形的相似 (总第29章) (董向东制作)
成比例线段
线段的比
两条线段长度的比叫做这两条线段的比
注意
在求线段的比时,两条线段的长度必须用同一长度单位表示
利用线段的比得出来的线段长度为正数
比例线段
四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么这四条线段叫做比例线段
在比例式a:b=b:c中,b叫做a和c的比例中项
比例性质
基本性质
如果a:b=c:d,那么ad=bc;
如果ad=bc(b≠0,d≠0),那么a:b=c:d
合比性质
基本内容
,
相关衍生
等比性质
,其中(b+d+...+n≠0),则
推论:
反比性质
更比性质
若a:b=c:d,则a:c=b:d
平行线分线段成比例
基本定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
图像展示
定理证明
三条平行线截两条直线,两条直线上所得的六条线段对应成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例
相似多边形
定义
性质
①相似多边形的对应角相等,对应边的比相等
传递性
判定
对应角相等,对应边成比例的多边形相似
所有正方形都相似
所有正三角形都相似
所有等腰直角三角形都相似
探索三角形相似的条件
从定义上来说,是三组角对应相等,三组边对应成比例
最少几个元素
AA
SAS
SSS
作图满足条件; 实验的方法
简单应用
黄金分割
文字说明
把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值,则这个比值即为黄金分割。
图形理解
点C为线段AB的黄金分割点
一条线段的黄金分割点有两个
AC与AB(或BC与AC)的比称为黄金分割比(或者称之为黄金分割率)
比值为,计算时通常取近似值0.618
比值求法
作一条线段的黄金分割点

已知线段AB
步骤
经过点B做BD⊥AB,使BD=AB
连接AD,在DA上截取DE=DB
在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
AB=AC,∠A=36°
BC:AB=≈0.618
底角平分线将其腰黄金分割
相似三角形判定定理的证明
平行判定法
平行于三角形的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
三边判定法
三边成比例的两个三角形相似
边夹角判定法
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两角判定法
两角分别相等的两个三角形相似
直斜判定法
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
同一图形中作图证相似,然后再证原图形与作出的三角形全等
利用相似三角形测高
测量物体的高度
利用阳光下的影子
利用光线平行
利用标杆
转化为A字形
平行或AA
利用镜子反射
利用入射角=反射角
测量物体的宽度
利用A字型或8字型
相似三角形的性质
相似三角形对应边的比等于相似比,对应角相等
相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
类比
相似多边形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
对应对角线的比、对应边上的高(中线、角平分线)的比等于相似比
重心的性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
图形的位似
两个多边形不仅相似,而且对应顶点所在的直线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上),像这样的两个图形叫做位似图形。
必须同时具备三个条件
两个图形相似
对应顶点的连线相交于一点
对应边互相平行(或在同一条直线)
位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
位似图形对应点连线的交点是位似中心。
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
位似图形上任意一对对应点,到位似中心的距离之比等于位似比
坐标变换规律
以原点为位似中心的位似图形,位似比为k时,那么原图形上的点(x,y),在位似图形上的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)
位似图形的画法
确定位似中心
作位似中心与各关键点连线
根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点
顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形
回顾与思考
常见相似模型
平行线型
A字型
8字型
斜交线型
反A型
反8型
母子型
射影定理
一线三等角
同侧型
异侧型
中点型
旋转型
简单的实际问题