导图社区 第3章:一元一次方程(董向东制作)
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第3章:一元一次方程 (董向东制作)
方程及等式性质
等式的性质
a±c=b±c
a×c=b×c;a/c=b/c(c≠0)
同解原理
1.方程两边都加上或减去同一个数或整式,方程的解不变
2.方程两边都乘以或除以同一个不等于0的数,方程的解不变
方程的解
方程的解直接带入方程求未知字母的值
一元一次方程
可化为ax+b=0(a≠0)的整式方程
解方程 (不含参数)
基本法
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1,把一元一次方程化成x=a
1.去分母
等式左右两边同乘各分母最小公倍数
注意:1.不要漏乘;2.分子是多项式要添括号
2.去括号
去括号看符号:是正号,不变号;是负号,全变号
3.移项
移项要变号
4.合并同类项
一加两不变
5.系数化为1
可对方程先进行初步化简或整理,如利用分数基本性质把分母整数化
特殊解法
1. 拆分
2. 换元法
3. 整体
4. 由外向内去括号
5. 绝对值
|x|=a
当a>0时,x=±a
当a=0时,x=0
当a<0时,方程无解
将|ax+b|=c转化为ax+b=±c
将|ax+b|=cx+d转化为ax+b=±(cx+d)
含参方程问题
1. 讨论未知数的系数问题
2. 整数解
①解出方程(参数看做数)
②根据题中解的要求讨论
3. 错解方程
用错解带入,得到常数的解,再把常数代入,求出正解
4. 两个一元一次方程同解
只有一个方程含参数:解出不含参数的方程,再将x的值带入含参数的方程
两个方程含参数:分别求出两个方程的解,x=a的形式,再根据题目中两解之间的关系求参数
5. 已知方程解的情况求参数
直接将x的值带入方程,求得参数值
6. 一元一次方程解的情况(分类讨论) ax=b (没有写(a≠0)!)
①当a≠0时,方程有唯一解x=b/a
3x=6
x=2
②当a=0,b≠0时,方程无解
0x=6
无解
③当a=0,b=0时,方程的解为任意数
0x=0
x为任意值
简单应用
和,差,倍,分问题
主要找出和,差,倍,分关系的关键字,利用其中的等量关系列出方程
未知量成比例
通常设一份x,然后根据相关的已知条件列出等式
数字问题
两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b
面积体积
面积、体积不变
年龄问题
同增同减
工程问题
工作效率X工作时间=工作总量
用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式
行程
基本数量关系:路程=速度×时间
相向而行、同向而行、背向而行
可借用线段图,设立合适的未知数
1.相遇问题:速度和×行驶时间=两者路程和;快行距+慢行距=远距离
2.追及问题:速度差×追及时间=追及路程差;快行距-慢行距=原距离
环形
流水行船
1.顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速-水速
2.船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
3.漂浮物速度=流水速度
赛场积分
每队的胜场数+负场数+平场数=比赛场次; 得分总数+失分总数=总积分
配套问题
1.找比例关系
2.转换为等量关系(交叉相乘)
3.列,解方程
经济利润
利润=售价-进价
利润=进价×利润率
利润率=利润/进价×100%=(售价-进价)/进价*100
售价=进价×(1+利润率);售价=标价×打折数
折扣/10=售价/进价(售价=标价*折扣/10)
分段优惠问题
阶梯定价问题
方案选择问题
本息和=本金+利息
利息=本金×利润×期数
利息税=利息×20%
利息-利息税=实得利息
本金+利息-利息税=实得本利和
步骤
1、审
找出等量关系
2、设
设出合理的未知数(直接或间接),注意单位名称.
也可能需要先通过一个小等量关系来转化
3、列
依据找到的等量关系,列出方程.
4、解
求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
5、检
检验求出的值是否为方程的解,并检验是否符合实际问题.
6、确定所问值
方程的解不一定是题目所问的,根据方程的解确定问题的解
7、答
注意单位名称