行列式学习笔记

线性代数第一章行列式的知识内容有数表的运算、行列式的性质、行列式的分类、行列式的概念、余子式和代数余子式、展开法则。

第一章 行列式 

• 实质
  • 数表的运算
    • 主对角线乘积-副对角线乘积
• 性质
  • 行列式与它的转置行列式相等
    • 转置
  • 对换行列式两行或者两列，行列式变号
    • 互换
  • 如果行列式有两行或者两列相等则此行列式为零
    • 比例
  • 行列式的某一行或列中所有元素都乘以同一数k等于用数k乘以此行列式。
    • 数乘
  • 行列式中某一行或列的所有元素的公因子可以提到行列式号的外面。
    • 数乘
  • 若行列式的某一行忽略的元素都是两数之和，逐行逐列拆
    • 拆分
  • 把行列式的某一行或列的各元素乘同一数，然后加到另一行或列对应的元素上去，行列式不变。
    • 相加
• 分类
  • 二阶
    • 对角线法则运算
  • 三阶
    • 对角线法则运算
  • 高阶
    • 按照一定规则n个数字排列成n✘n的正方形的数的乘积的代数和
  • 低阶
    • 对角线法则
    • 化成特殊行列式
  • 特殊行列式
    • 上三角
    • 范德蒙德行列式
    • 爪行行列式
• 行列式的概念
  • 全排列
    • 全排列概念
      • 
        • 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，共有（Pn= n）种排法。
    • 逆序
      • 逆序数
        • 一个排列中的"逆序"的总数，奇数时为奇排列，偶数时为偶排列。
      • 定义
        • 对于n个不同的元素，先规定个元素之间有个标准次序，于是在这 n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就有1个"逆序
  • 对换
    • 定义
      • 对换排列中任意两个数，其余不变。
    • 性质
      • 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
• 行列式按行或者列展开
  • 余子式和代数余子式
    • 代数余子式
      • 记作Aj=（-1）＾（+j）Mij
    • 余子式
      • 在n阶行列式中，划去元aij所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改 变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元aij的余子式。计作Mij。
  • 展开法则
    • 行列式等于它的任意行（列）与其对应的代数余子式乘积之和。