高等数学预备知识

高等数学预备知识思维导图，讲述了函数 的概念与条件、函数的图像、数列、三角函数、指数运算法则、一元二次方程基础、因式分解公式等。

高等数学预备知识

• 一、 函数的概念与条件
  • 1. 函数 y=f(x)
    • 设 x 与 y 是两个变量，D 是一个给定数集，若对于每个值 x∈D，按照一定法则，有一个确定值 y 与之对应，则称 y 为 x 的函数，记作 y=f(x).称 x 为自变量 ，y 为因变量。称数集 D 为此函数的定义域，定义域一般由实际背景中变景的具体意义或者函数对应法则的要求确定。
  • 2. 反函数
    • 设函数 y=f(x) 的定义域为 D，值域为 R。如果对于每一个 y∈R，必存在 x∈D 使得 y=f(x) 成立，则由此定义了一个新函数 x=φ(y)。这个函数就成为函数 y=f(x) 的反函数，一般记作 x=f-1(y)，它的定义域为R，值域为D。相对于反函数来说，原来的函数也称为直接函数。
    • 严格单调函数必有反函数
      • 导数≠0，必有反函数
  • 3. 复合函数
    • 设 y=f(x) 的定义域为 D1，函数 u=g(x) 在 D 上有定义，且 g(D)包含于D1，则由 y=f[g(x)] (x∈D)确定的函数，称为由函数 u=g(x) 和函数 y=f(u) 构成的复合函数，它的定义域为 D，u 为中间变量。
      • 例1.1.1、1.1.2、1.1.3、习题1.1.1
  • 4. 四种特性
    • ①有界性
      • 设 f(x)的定义域为D，数集 I包含于D，如果存在某个正数 M，使对任一 x∈I，有 |f(x)|≤M，则称f(x)在I上有界；如果这样的M不存在，则称f(x)在I上无界
        • 注：有界性的讨论必须指明区间，区间内不存在极限值为∞的点
    • ②单调性
      • 设 f(x)的定义域为D，数集 I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1，x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称 f(x) 在区间 I 上单调增加。反之单调减少。
        • 对任何x1≠x2∈D
          • 单调增函数：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
          • 单调减函数：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
          • 单调不减函数：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0
          • 单调不增函数：(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≤0
    • ③奇偶性
      • 设 f(x)的定义域D关于原点对称（即若x∈D，则-x∈D）。若对于区间I上任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。若对于区间I上任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
        • 设f(x)是定义在[-L,L]的任意函数，则F1(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数，F2(x)=f(x)+f(-x)必为偶函数。
        • 奇函数y=f(x)的图形关于坐标原点对称，当f(x)在x=0处有定义时，必有f(0)=0
        • 偶函数y=f(x)关于y轴对称，且当f'(0)存在时，必有f'(0)=0
        • 函数y=f(x)与y=-f(x)的图形关于x轴对称；函数y=f(x)与y=f(-x)的图形关于y轴对称；函数y=f(x)与y=-f(-x)的图形关于原点对称。
        • 函数y=f(x)的图形关于直线x=T对称的充分条件是 f(x+T)=f(T-x) 或 f(x)=f(2T-x)
    • ④周期性
      • 设 f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D，有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期
    • 重要结论
      • 奇偶
        • 微分
          • 若 f(x) 是可导的偶函数，则f'(x)是奇函数
            • 例1.4.1(1)
          • 若 f(x) 是可导的奇函数，则f'(x)是偶函数
            • 例1.4.1(2)
        • 积分
          • 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
            • 例1.8.6
          • 连续偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数
            • 例1.8.6
      • 周期
        • 微分
          • 若 f(x) 是可导的周期为T的周期函数，则f'(x)也是以T为周期的周期函数
            • 例1.4.2
        • 积分
          • 若连续函数f(x)以T为周期且在一个周期上积分=0，则f(x)的一切原函数也以T为周期
            • 例1.8.8
      • 有界
        • 若f(x)在有限区间(a,b)内可导且f '(x)有界，则f(x)在(a,b)内有界
• 二、 函数的图像
  • 直角坐标系下的图像
    • 常见图像
      • 基本初等函数与初等函数
        • 基本初等函数
          • 1||| 常函数
            • y=A（常数）
              • 图形为平行于x轴的水平直线
          • 2||| 幂函数
            • （a为常数）
              • • 研究最值
                  • 单调性相同
                  • 单调性不同
                • x＞0时，
          • 3||| 指数函数
            • （a为常数）
              • • 定义域（-∞，+∞），值域（-∞，+∞）
                • 单调性：a＞1时 ↑；0＜a＜1时 ↓
                • • 正负有别
                • 特殊函数值：
          • 4||| 对数函数
            • • • 定义域（0，+∞），值域（-∞，+∞）
                • 单调性：a＞1时 ↑；0＜a＜1时 ↓
                • • 正负有别
                • 特殊函数值：
                • 常用公式：
          • 5||| 三角函数
            • 正弦 sinx、余弦 cosx
              • • 定义域（-∞，+∞），值域 [-1，+1]
                • 奇偶性：y=sinx 奇，y=cos 偶，x∈(-∞，+∞)
                • 周期性：T=2π，x∈(-∞，+∞)
                • 有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1
                • 特殊函数值：
            • • • 奇偶性：在其定义域内都为奇函数
                • 周期性：T=π
                • 特殊值函数：
            • • • 奇偶性：y=secx 偶，y=cscx 奇（在其定义域内）
                • 周期性：T=2π
          • 6||| 反三角函数
            • • • 单调性：y=arcsinx ↑，y=arccosx ↓
                • 奇偶性：y=arcsinx 奇（在其定义域内）
                • 特殊函数值：
                • 性质：
            • • • 单调性：y=arctanx ↑，y=arccotx ↓
                • 奇偶性：y=arctanx 奇（在其定义域内）
                • 有界性：
                • 特殊函数值：
                • 性质：
        • 初等函数
          • 由基本初等函数经有限次四则运算，以及有限次复合步骤所构成的并且可以由一个式子所表示的函数
            • 幂指函数：
      • 分段函数
        • 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数
          • 绝对值函数
          • 符号函数
          • 取整函数 y=[x]，往左取最近的整数
            • • 定义域：R；值域：Z
              • x-1＜[x]≤x
    • 图像变换
      • 平移变换
      • 对称变换
      • 伸缩变换
  • 极坐标系下的图像
    • 用描点法画常见图像
      • 心形线（外摆线）
      • 玫瑰线
      • 阿基米德螺线
      • 伯努利双纽线
      • 对数螺线
    • 用直角系观点画极坐标系下图像
  • 参数法——参数方程
    • 摆线（平摆线）
    • 星形线（内摆线）
• 三、 常用基础知识
  • 1. 数列
    • （1） 等差数列
    • （2） 等比数列
      • • （首项=1）
    • （3） 常见数列前n项和
  • 2. 三角函数
    • （1） 三角函数基本关系
    • （2） 诱导公式
      • • 奇变偶不变，符号看象限
    • （3） 特殊三角函数值
    • （4） 重要公式
      • 1||| 倍角公式：
      • 2||| 半角公式：
      • 3||| 和差公式：
      • 4|||
      • 5||| 万能公式：
  • 3. 指数运算法则
    • a b是正实数，α β是任意实数
  • 4. 对数运算法则
    • • 多项相乘 相除 乘方 开方→先取对数 化简 再运算
  • 5. 一元二次方程基础
  • 6. 因式分解公式
  • 7. 阶乘与双阶乘
  • 8. 常用不等式