函数极限与连续性

下图讲述了函数极限的领域、定义、性质、运算法则、夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、归结原则、无穷小比阶、连续与间断等。

3 函数极限与连续性

• 函数极限（极限的计算）
  • 邻域
    • （1） 一维的情形
    • （2） 二维的情形
  • 定义
    • 趋向
    • 函数的单词极限
      • 左极限：
      • 右极限：
    • 极限存在的充要条件
      • 左右极限存在且相等：
      • 无穷小量：
  • 性质
    • 1||| 唯一性
      • • 极限若存在 必唯一
          • 例1.3.1
    • 2||| 局部有界性
      • • 1|||
        • 2||| 设 f (x) 在闭区间 [a，b] 上连续，则 f (x) 在闭区间 [a，b] 有界；
          • 例1-3-2
        • 3||| 有限个有界函数的 和、差、积 仍为有界函数
        • 4||| 若 f'(x) 在有限区间（a，b）内有界，则 f(x)在该区间内有界
    • 3||| 局部保号性
      • • 和导数的几何应用结合解题
  • 运算法则
  • 夹逼准则
    • 若函数 f(x)，g(x) 及 h(x)满足：① f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)； ② lim g(x)=A， lim h(x)=A（A为常数或∞） 则 lim f(x) 存在，且 lim f(x)=A
      • 例1.3.9
  • 洛必达法则
    • 法则一
    • 法则二
  • 泰勒公式
    • 公式
      • 差函数的等价无穷小代换式：
    • 展开原则
      • A/B型（上下同阶）
        • 若分子（或分母）是 x 的 k 次幂，则应把分母（或分子）展开到 x 的 k 次幂
      • A-B型（幂次最低）
        • 将A，B分别展开到它们的系数不相等的 x 的最低次幂为止
  • 两个重要极限
  • 归结原则（海涅定理）
    • • 例1.3.14
    • ←往往用于否定问题
    • →考计算
  • 无穷小比阶
    • 定义
      • 无穷小：
        • 是动态过程，无穷小 ≠ 很小很小的数
      • 无穷大：
      • 无穷小与无穷大的关系：
    • 无穷小比阶
      • • 例1.3.17、1.3.19
    • 无穷小运算规则
      • 1||| 有限个无穷小的和也是无穷小
      • 2||| 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小
      • 3||| 有限个无穷小的乘积也是无穷小
      • 4||| 无穷小的运算
    • 常用等价无穷小
  • 七种未定式
    • 1. 化简
      • 1||| 提出极限≠0的因式
        • 例1.3.18
      • 2||| 等价无穷小代换
      • 3||| 恒等变形（基本：提公因式、拆项、合并、根号差 有理化、分子分母同除变量的最高次幂；分式 化成 ▽ 分子次数高、复杂 高级：变量代换/换元）
    • 2. 判断类型，七种：
      • （1）
        • 简单因式下放（幂函数、指数函数）；复杂因式上去（对数函数、反函数）
          • 例1.3.3
      • （2）
        • 有分母——通分——和差化积
        • 无分母——创造分母：提公因式、倒代换——通分——和差化积
      • （3）
        • 子主题
    • 3. 选择相应的方法进行计算（运算规则、夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、归结原则）
• 连续与间断（极限的应用）
  • 连续点的定义
  • 间断点的定义与分类
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
        • 子主题
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
        • 子主题
      • 振荡间断点
        • 子主题
  • 讨论间断点
    • 分段函数的分段点
    • 无意义点