近世代数思维导图

这是一篇关于近世代数思维导图的思维导图。该思维导图比较系统全面地归纳总结了关于这一部分的知识点，快收藏起来。

第一章：基本概念

• 集合（旧知识）
  • 元素与集合
    • a∈A 表示元素a属于集合A
    • a∉A 表示元素a不属于集合A
  • 集与集合
    • 子集
      • A⊇B 表示集合B是集合A的子集
      • A⊉B 表示集合B不是集合A的子集
    • 真子集
      • A⊃B 表示集合B是集合A的真子集
      • B⊄A表示集合B不是集合A的真子集
    • 交集 并集和补集
      • 子主题
  • 空集
    • 一个元素都没有的集合子用“∅”表示
  • 集合的积
    • 积集亦称交集，指两个（或多个）集合经交运算所得到的集合
    • A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}
• 代数运算
  • 概念
    • 称A×B到D的映射为A×B到D的代数运算
  • 表示方式
    • 代数运算通常用符号“。”表示：A 。B
  • 二元运算
    • 一个A xA到A的代数运算称为A上的(二元)代数运算
  • 规律（设是A上的一个代数运算，且a，b，c∈A)
    • 结合律
    • 交换律
    • 分配律
      • 设A上有两个代数运算 和 ，且a，b，c∈A
• 映射和变换
  • 映射
    • 概念
      • 指两个元素的集A和B之间元素经过一个法则f 而形成相互“对应”的关系
    • 表示方法
      • 记作f：A→B
    • 单射（只能一对一，不能多对一）
    • 满射（只要y中元素在x中都能找到原像）
    • 一 一映射（既是单射又是满射）
  • 映射表示
  • 变换
    • 概念
      • 一个集合A的映射叫做A的一个变换
    • 满射变换
      • 一个A到A的满射
    • 单射变换
      • 一个A到A的单射
    • 一 一变换
      • A与A之间的一 一映射
• 集合（新知识）
  • 集合的分类
    • 代表团
    • 全体代表团
  • 集合的关系
    • 等价关系
• 同构和自同构
  • 同构
    • 概念
    • 符号表示
    • 举例
  • 自同构
    • 概念
    • 举例
• 同态
  • 概念
    • 设(M,*)和(S,·)是两个群，σ:M→S，∀a,b∈M，有σ(a*b)=σ(a)·σ(b)，则称σ为M到S的同态或群映射
  • 同态映射
    • 一个集合A到另外一个集合B的映射f，叫做一个对于一个代数运算 。 和另一个代数运算 * , A到B的同态映射。
    • 设A=<S, *, Δ, k>和A’=<S’, *’, Δ’, k’>是两个具有相同构成的代数系统，f是从S到S’的一个映射，且对任意a,b∈S满足：f(a*b) = f(a) *’ f(b)f(Δa) = Δ’f(a)f(k) = k’则称f为由A到A’的一个同态映射，简称同态。A同态于A’,记作A~A’。
    • 同态满射
      • 对于代数运算 . 和 。 来说有一个A到B的满射的同态映射存在就说A和B同态满射。
  • 定理
    • 1）对于代数运算。和 . 来说，A与B同态，则有
      • 如果。适合结合律，则 . 也适合结合律
      • 如果。适合交换律，则 . 也适合交换律
    • 2）分配律也和1）如此