圆

人教版九年级上第二十四章《圆》知识点梳理，包含：1.圆的有关性质（①圆的有关概念②垂径定理③弧、弦、圆心角④圆周角）2.点和圆、直线和圆的位置关系（①点和圆的位置关系②三角形的外接圆③直线和圆的位置关系④圆的切线⑤切线长⑥切线的判定和性质的应用⑦三角形的内切圆⑧圆和圆的位置关系）3.正多边形和圆（①正多边形的有关概念②正多边形的画法③正多边形的计算）4.弧长和扇形面积（①弧长公式②扇形面积公式③母线的定义④圆锥的侧面展开图及有关计算⑤弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算）

第二十四章 圆

• 24.1 圆的有关性质
  • 圆的有关概念
    • 定义
      • 动态
        • 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆
        • 
          • 固定的端点O叫做圆心
          • 线段OA叫作半径
          • 以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”
        • • 圆心确定圆的位置
          • 半径确定圆的大小
          • 确定一个圆应先确定圆心，再确定半径
          • 圆是一条封闭曲线
      • 静态
        • ☉O可以看成是到定点O的距离等于定长OA的所有点组成的图形
        • 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合
        • • 圆指的是圆周，而不是圆面
          • 强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面
    • 弦和直径
      • 连接圆上任意两点的线段叫作弦
      • 直径
        • 经过圆心的弦叫作直径
      • 弦心距
        • 圆心到弦的距离叫做弦心距
      • • 直径是弦，但弦不一定是直径
        • 最长弦、最短弦
          • 最长弦
            • 过圆内一点的最长弦为过此点的直径
          • 最短弦
            • 为过此点且与这条直径垂直的弦
      • 相交弦定理
        • 经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等
        • 几何语言
          • 若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
    • 弧
      • 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。
        • 以Ａ，Ｂ为端点的弧记作，读作“圆弧ＡＢ”或弧ＡＢ。
      • 半圆、优弧、劣弧
        • 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
          • 大于半圆的弧叫作优弧，一般用三个点表示
          • 小于半圆的弧叫作劣弧，用两个点表示
      • 等弧
        • 在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧
          • 等弧只有在同圆或等圆中才会出现
          • 度数或者长度相等的弧不一定是等弧
      • • 半圆是弧，而弧不一定是半圆
        • 无特殊说明时，弧指的是劣弧
        • 等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视
        • 圆中两平行弦所夹的弧相等
    • 同心圆与等圆
      • 同心圆
        • 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆
      • 等圆
        • 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆
      • 同心圆、等圆是指两个及两个以上的圆
      • 同圆
        • 是指同一个圆
      • 同圆或者等圆的半径相同
    • 圆心角
      • 顶点在圆心的角叫作圆心角
        • 无特殊说明，平时在圆中所说的圆心角都是指不大于平角的角
  • 性质
    • 旋转不变性
      • 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合
    • 对称性
      • 轴对称
        • 任何一条直径所在直线都是它的对称轴
      • 中心对称
        • 圆是中心对称图形，对称中心是圆心
    • • 圆有无数条对称轴
      • 因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”
  • 垂径定理
    • 
      • 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
      • 推论
        • ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
        • ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
        • ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
        • ④圆的两条平行弦所夹的弧相等
    • • 二推三
        • 过圆心
        • 垂直于弦
        • 平分弦（不是直径）
        • 平分弦所对的优弧
        • 平分弦所对的劣弧
        • 知道任意两个，就能推出其他三个结论
  • 弧、弦、圆心角
    • 圆心角
      • 定义
        • 顶点在圆心的角叫做圆心角
        • 
          • ∠AOB
    • 定理
      • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等
    • 推论
      • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
      • 如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等
    • • 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征
      • 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提
  • 圆周角
    • 定义
      • 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角
      • 
        • ∠AEB、∠ADB、∠ACB等
    • 圆周角定理
      • 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半
      • 推论
        • 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
      • 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
    • 圆周角与直径的关系
      • 半圆或直径所对的圆周角是直角
      • 90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆
    • • 圆周角必须满足两个条件
        • ①顶点在圆上
        • ②角的两边都和圆相交
      • 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中
    • 圆内接四边形
      • 定义
        • 顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形
      • 性质
        • 圆内接四边形的对角互补
        • • 外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角
          • 对角互补的四边形内接于圆
• 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
  • 点和圆的位置关系
    • 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有
    • 
      • 点P在☉O内
        • d＜r
      • 点P在☉O上
        • d=r
      • 点Ｐ在☉O外
        • ｄ＞ｒ
    • • 点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上
  • 三角形的外接圆
    • 确定圆的条件
      • 经过一个已知点能作无数个圆
      • 经过两个已知点A、B能作无数个圆
        • 这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上
      • 不在同一条直线上的三点确定一个圆
        • “确定”的含义是“存在性和唯一性”
    • 三角形的外接圆
      • 经三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形
      • • 外接圆的圆心叫作三角形的外心
          • 它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
        • 三角形三边的垂直平分线的交点是唯一的，因此三角形的外接圆有且只有一个，即三角形的外心唯一。但一个圆的内接三角形却有无数个
      • 注意
        • 锐角三角形的外心在三角形的内部
        • 直角三角形的外心是三角形斜边的中点
        • 钝角三角形的外心在三角形的外部
  • 直线和圆的位置关系
    • 位置关系
      • 1.相交
        • 直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交。这时直线叫做圆的割线
          • d＜r
      • 2.相切
        • 直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点
          • d=r
      • 3.相离
        • 直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离
          • d＞r
    • 判定和性质
      • 
      • 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
        • 
      • • 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质
        • 从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定
  • 圆的切线
    • 切线的性质定理
      • 圆的切线垂直于过切点的半径
      • • 切线和圆只有一个公共点
        • 切线和圆心的距离等于圆的半径
        • 切线垂直于过切点的半径
        • 经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；
        • 垂直于切线且过切点的直线必过圆心
    • 切线的判定方法
      • 定义法
        • 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
      • 距离法
        • 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
      • 判定定理
        • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
        • • ①直线与圆有一个交点
          • ②直线与过交点的半径垂直
          • 缺一不可
  • 切线长
    • 定义
      • 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长
      • • 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段
    • 定理
      • 过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
      • • 切线长定理包含两个结论
          • 线段相等
          • 角相等
    • • 圆外切四边形的两组对边之和相等
  • 切线的判定和性质的应用
    • 辅助线的做法
      • 常见：连接圆心和切点
      • 利用垂直构造直角三角形解决问题
    • 证明直线与圆相切的三种途径
      • ①证直线和圆有唯一公共点
        • 用的较少
      • ②证直线过半径外端且垂直于这条半径
      • ③证圆心到直线的距离等于圆的半径
  • 三角形的内切圆
    • 内切圆
      • 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
      • 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心
      • • 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形
        • 如果三角形三边长为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积为
    • 直角三角形中内切圆半径与三边之间的关系
      • 已知：如图，在 Rt △ABC 中 ， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边，⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆 ，半径为 r。
        • 2r=a+b-c
  • 圆和圆的位置关系
    • • 设两圆的半径分别为
      • 圆心距为d
    • 关系
      • 相离
        • 外离
          • 定义
            • 两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
          • 图形
            • 
        • 内含（含同心圆）
          • 定义
            • 两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含
          • 图形
            • 
            • 
              • 同心圆：d=0
        • 公共点个数
          • 0
      • 相切
        • 外切
          • 定义
            • 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切
            • • 这个唯一的公共点叫做切点
          • 图形
            • 
        • 内切
          • 定义
            • 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切
            • • 这个唯一的公共点叫做切点
          • 图形
            • 
        • 公共点个数
          • 1
      • 相交
        • 定义
          • 两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交
        • 图形
          • 
        • 公共点个数
          • 2
• 24.3 正多边形和圆
  • 正多边形的有关概念
    • 正多边形
      • 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
      • • 圆内接正多边形
          • 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆
        • 圆外切正多边形
          • 把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形，是这个圆的外切正n边形
    • 正多边形的中心
      • 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心
    • 正多边形的半径
      • 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径。
    • 正多边形的边心距
      • 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距
    • 中心角
      • 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角
  • 正多边形的画法
    • 用量角器等分圆
      • 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆
      • 根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形
    • 用尺规等分圆
      • 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图
      • ①正四、八边形
        • 
        • 
        • 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形
      • ②正六、三、十二边形的作法
        • 
        • 
        • 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点
        • 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点
        • 同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
      • • 画正n边形的方法
          • ①将一个圆n等分
          • ②顺次连结各等分点
  • 正多边形的计算
    • 设正多边形的边数为n，半径为R，边长为a，则有
      • ①正n边形的内角和（n-2）×180°
      • ②正多边形的内角：
      • ③正多边形的中心角：
      • ④正n边形的外角：
      • ⑤正多边形的周长：C=n*a
  • 正多边形的性质
    • 对称性
      • 轴对称
        • 正多边形都是轴对称图形
          • 一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心
      • 中心对称
        • 边数为偶数的正多边形也是中心对称图形
          • 它的对称中心是正多边形的中心
    • • 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形
      • 正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形
      • 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
      • 各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形
      • 各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形
• 24.4 弧长和扇形面积
  • 弧长公式
    • 弧长
      • 在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长
    • 弧长公式
      • 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有这样的关系：
      • • 要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
        • 公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位
  • 扇形面积公式
    • 扇形的定义
      • 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形
    • 扇形的面积
  • 母线的定义
    • 圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线
    • • 有关概念
        • 经过圆锥顶点和底面圆心的直线称为圆锥的轴
        • 连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高
        • 圆锥的轴截面是等腰三角形
  • 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算
    • 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形
    • 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr
      • 圆锥的侧面积
      • 圆锥的全面积