考研数三概率论笔记

下图整理了考研数三概率论的内容，包含事件与概率、一维随机变量、二维随机变量、数理统计、大数定律与中心极限定理、数字特征。

概率论与数理统计

• 第一章.事件与概率
  • 知识点
    • 事件与概率的概念
      • 事件
        • 关系(4个)
          • 包含
          • 互不相容（互斥）
            • 概念
              • 指的是A,B不能同时发生，即AB=Φ
            • tip:基本事件是两两互不相容的
          • 对立（互逆）
            • 概念
              • 指的是要么A发生，要么B发生，不能同时发生但必须发生一个
            • tip
          • 独立(A,B独立：A,B发生与否互不影响)
            • 充要条件
              • （3）A逆与B独立⇔A与B逆独立⇔A逆与B逆独立
            • A,B,C相互独立定义
              • P(AB)=P(A) P(B)
              • P(AC)=P(A)P(C)
              • P(BC)=P(B)P(C)
              • P( ABC)=P(A) P(B)P(C)
              • tip:
                • A-B+C与CD不一定独立，因为有共同的C
        • 运算(3个)（文氏图）
          • 并(加)，A发生或B发生
          • 交(乘)，A,B同时发生
          • 差，A发生且B不发生，
        • 运算律(4个)
          • 交换律
          • 结合律
          • 分配率
          • 摩根率
      • 概率
        • 运算
          • 加法公式
          • 减法公式
          • 求逆公式
    • 重要概率不等式
    • 三大概型
      • 古典概型
        • 试验结果只有有限个且结果等可能的样本点
      • 几何概型
        • 时间发生的概率与其对应的长度，面积，体积成正比
      • 伯努利概型
        • 试验只有2个等可能的结果，A发生或不发生， A发生的概率为p
          • n重伯努利试验中，A发生k次的概率为n重伯努利试验中，A发生k次的概率为
    • 三大概率公式
      • 条件概率公式
        • • 推论：乘法公式
        • 性质
          • tip:
      • 全概率公式
        • B1,B2......Bn为完备事件组，则
      • 贝叶斯公式
  • 题型及方法
    • 利用古典概型求事件的概率
      • 抽签原理
      • 分配原理
    • 几何概型
      • 1.画出区域
      • 2.所求区域占总区域的比例
    • 文字型概率题
      • 步骤1.设事件
      • 步骤2.做翻译
      • 步骤3.套公式
    • 条件概率计算方法
      • 法1.条件概率公式
      • 法2.缩减样本空间
      • 法3.贝叶斯公式
      • 例题：
      • 例题：
    • 伯努利概型
      • 例题：
      • 例题：
• 第二章.一维随机变量
  • 知识点
    • 分布函数
      • 定义
        • X为随机变量，x为自变量
      • 性质
        • 0≤F(x)≤1
        • F(-∞)=0,F(+∞)=1
        • 单调不减
        • 右连续
        • 充要条件
        • P｛a<x<b｝=F(b)-F(a)
      • 分布函数表示事件概率
    • 一维离散
      • 概率分布表达形式
        • 公式法
        • 列表法
    • 一维连续
      • 概率密度定义
    • 八大分布
      • 0-1分布B(1,p)
      • 二项分布B(n,p)
      • 几何分布G(p)
        • 失败了k-1次，第k次成功
      • 均匀分布U(a,b)
      • 泊松分布P( λ )
      • 指数分布E( λ )
      • 正态分布N( μ，σ² )
        • 一般正态
          • 密度函数
        • 标准正态
          • 密度函数
          • 性质
        • 标准化
          • (X-μ)/σ
          • 性质
        • 背！
          • 1.
          • 2.
          • 3.级数
          • 4.分部积分法
  • 题型及方法
    • 求离散型随机变量的分布律与分布函数
      • 求分布律
        • 分布律概念
        • 步骤1.定取值
        • 步骤2.算概率
        • 步骤3.验证1
      • 求分布函数
    • 求连续性随机变量分布函数与概率密度
    • 求随机变量函数Y=g(X)的分布，g(x)为复合函数
      • 离散型
      • 一般型（非离散型）
        • 例题
    • 求离散与连续混合型随机变量概率分布
      • tip:混合型一般都会用到全概率公式，且将离散的那部分当做完备事件组
      • 例题：
• 第三章.二维随机变量
  • 二维离散
    • 联合概率分布
    • 边缘概率分布
    • 条件概率分布
  • 二维连续
    • 联合概率密度
    • 边缘概率密度
    • 条件概率密度
    • 独立性
    • 两个常用的二维连续随机变量
      • 二维均匀
      • 二维正态
        • 定义
        • 性质
  • 知识点
    • 联合分布函数
      • 定义
      • 性质
        • 1.
        • 2.不独立：条件=联合/边缘
      • 边缘密度公式
      • 边缘分布函数公式
      • 概率计算公式
    • 关于二维随机变量的独立性
      • 证明X与Y不独立
        • 只要找具体的X与Y代入，使P(X≤x0,Y≤y0)≠P(X≤x0)P(Y≤y0),则X与Y不独立
    • 二维均匀分布的性质
      • 联合密度非零区域的图形只要不是矩形，X与Y一般都不独立
    • 正态分布相关问题
      • 一维正态分布
      • 二维正态分布
        • 概念：
        • 性质：
        • tip：
          • X与Y相互独立 充要条件 ρ=0，即X与Y不相关
    • 关于最大值最小值问题
      • 几个常用事件关系式
    • 求随机变量分布函数公式法
      • 2.
      • 3.
  • 题型及方法
    • 求联合分布、条件分布与边缘分布
      • 离散型
        • 求联合分布律
          • 步骤1：
          • 步骤2：
          • 步骤3：
        • 求边缘、条件分布律
          • 方法：按公式
      • 连续型
        • 求联合概率密度
        • 由联合密度求边缘概率密度
          • 步骤1：
          • 步骤2：
          • 步骤3：
        • 由联合概率密度求条件概率密度
          • 先求出边缘密度，再套条件密度公式
        • tip：
          • 若两个随机变量不是相互独立，求某确定数值条件下的条件概率时，一般用条件密度的积分来求，即：
    • 二维随机变量函数Z=g(X,Y)的分布
      • （X,Y）离散型
        • 定取值、找概率、验证为1
      • （X,Y）为连续型，Z为离散型
        • 定取值、利用积分求概率、验证为1
      • （X,Y）为连续型，Z为非离散型
        • 方法一 分布函数法：
        • 方法二 公式法
        • 例题：
      • 混合型（离散型X+连续型Y）
• 第六章.数理统计
  • 统计概念
    • 总体X
    • 样本x1,x2,x3.......
    • 总体期望
    • 总体方差
    • 样本均值
    • 均值期望
    • 均值方差
    • 样本方差
    • 样本方差的期望
  • 三大抽样分布
    • 卡方分布
      • 定义
      • 性质
    • t分布
      • 定义
      • α分位点
      • 性质
    • F分布
      • 定义
      • α分位点
      • 性质
  • 矩估计与最大似然估计
    • 矩估计
    • 最大似然估计
• 第五章.大数定律与中心极限定理
  • 切比雪夫不等式
  • 大数定律
    • 独立同分布的切比雪夫大数定律
    • 辛钦大数定律
    • 伯努利大数定律
  • 中心极限定理
    • 与正态分布的标准化过程一样
• 第四章.数字特征
  • 期望与方差
    • 期望
      • 公式
        • X为离散型
        • X为连续型
        • (X,Y)为离散型
        • (X,Y)为连续型
      • 性质
        • E( aX+bY+c)=aEX+bEY+ c
        • E( XY)=EX*EY⇔X, Y不相关
          • 特别地，X,Y相互独立，则E(XY)= EX*EY
    • 方差
      • 公式
      • 性质
    • 八大分布的期望与方差
  • 协方差与相关系数
    • 协方差
      • 公式（类似方差）
      • 性质
    • 相关系数
      • 公式
      • 性质
  • X与Y相互独立的5个必要条件，非充分