考研数三线性代数

本思维导图是对考研数三线性代数的知识整理，从第二章开始，主要包括：第二章矩阵；第三章向量；第四章线性方程组；第五章特征值与特征向量；第六章二次型。希望对你有帮助！

线性代数

• 第二讲 矩阵
  • 矩阵的概念及运算
    • 概念
      • 矩阵可以时方阵也可以不是方阵，是一个数表，也可以看成是列向量或行向量的组合
      • 特殊矩阵
        • 零矩阵：所有元素都为0
        • 对角矩阵（对角阵∧）：非主对角元素都为0
    • 运算
      • 数量运算
        • 矩阵数乘:kA是每个元素都乘k。 行列式数乘：|kA|=k^n|A|
      • 矩阵的乘法
        • 矩阵乘法无交换律：AB≠BA
        • 当C≠0时，AC=BC 推不出 A=B（当C可逆时才成立）
        • 乘积结果得到的矩阵中的Cij由A中的i行与B中的j列元素逐个相乘后的和得到
      • 只要满足4条中其中一条，就能推出其他三条
        • AB=BA
        • (A+B)^2=A^2+2AB+B^2
        • (A-B)^2=A^2-2AB+B^2
        • (A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)=A^2-B^2
      • 方阵的行列式
        • |A±B|≠|A|±|B|
        • 若A=0，则|A|=0；若|A|=0推不出A=0
  • 矩阵的转置、对称矩阵
    • 方阵转置的运算（经常用到）
    • 对称矩阵(方阵）
    • 反对称矩阵（对角线都是0，对称元素加负号）
  • 方阵的幂与多项式
    • 方阵的多项式
    • 方阵幂的运算
      • 用归纳法：先算A^2，A^3..总结规律得A^n
      • 当A主对角线上元素一样时，设法将A写成A=B+E,且B^n易求
  • 伴随矩阵
    • 定义
      • A*指A的代数余子式的转置构成的矩阵（求伴随时“横算竖写”，二阶方阵伴随“主互换，副变号”）
      • |A|中第i行的代数余子式在伴随矩阵A*中是第i列
      • aij的代数余子式Aij与aij的值无关，Aij=（-1）^τ(i+j)Mij,是一个数
      • 方阵才有伴随矩阵
    • （必考）核心公式：AA*=A*A=|A|E
      • 凡是看到A*（代数余子式），不是这个公式（多数）就是行列展开定理
  • 方阵的逆矩阵
    • 概念
      • 指方阵A通过一系列的变换得到E，而变换的步骤由A-1记录下来
    • 充要条件
      • |A|≠0
    • 相关公式
      • 主对角阵的逆为对角线上元素的倒数
      • 副对角阵的逆为副对角元素的倒数位置互换
  • 分块矩阵
    • 运算
      • 加减乘法与普通矩阵一样
      • 转置（先转置再添转置符号）
      • 拉普拉斯公式
        • A的阶数是m，B的阶数是n
      • 求幂
        • 副对角分块矩阵没有此性质
      • 求逆
        • 左行右列
      • 求伴随
        • 可用公式
      • 两个对角矩阵相乘交换律成立
    • 矩阵的初等变换
      • 特殊矩阵
        • 行阶梯型矩阵
        • 行最简形矩阵
          • 1.每一个非零行的第一个非零元为1
          • 2.非零行第一个非零元素1所在的列的其他元素都为0
        • 标准型
          • • 化为标准型时可以用列变换
    • 初等矩阵
      • 定义
        • 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵
      • 符号
        • E(i,j)表示交换i,j两行或i,j两列
        • E(i(k))表示用数k乘E的第i行或第i列
        • E(i,j(k))表示将E的k倍的j行（i列）加到i行（j列）
      • 初等矩阵的作用
        • 主要是将矩阵进行行列变换
          • 初等矩阵放左边时，将右边的行按左边初等矩阵的行相加减
          • 初等矩阵放右边时，将左边的列按右边初等矩阵的列相加减
      • 初等矩阵的运算性质
        • |E(i,j)|=-1（因为初等矩阵只经过一次初等变化） |Ei(k)|=k |E(i,j(k)|=1
      • 利用初等变换求矩阵的逆以及解矩阵方程
  • 矩阵的秩与矩阵等价
    • 概念
      • 单纯求矩阵的秩的时候既可以行变换又可以列变换，求解方程组的时候只能行变换
    • 定义
      • r(A)=3 ↔ A中有3阶子式不为0，但所有4阶（若还有）全为0
      • r(A)≥3 ↔ A中有3阶子式不为0
      • r(A)＜3 ↔ A中所有3阶子式全为0
      • 零矩阵的秩为0
      • 矩阵A≠0 ↔ r(A)≥1
      • A为n阶满秩矩阵 ↔ r(A)=n ↔ |A|≠0 ↔ A为可逆矩阵
    • 矩阵秩的性质（考试可以直接用）
      • A,B均为m*n矩阵，则max{r(A）,r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
      • A,B均为m*n矩阵,则r(A±B)≤r(A)+r(B)
      • 设A为m*n矩阵，B为n*s矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤n
        • 证明1：A的零空间的基的个数，为n-r(A)→r(A)+r(零空间）=n，当AB=0时，B不一定有A的零空间的所有的基，所以r(A)+r(B)≤n
        • 证明2：
      • 设A为m*n矩阵，B为n*s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B)},秩越乘越小，求秩相等或比大小都可用同解证明可得。 特别的：若A可逆，则r(AB)=r(B);若B可逆，则r(AB)=r(A)。（一个矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵秩不变，相当于做了多次初等变换。
        • 证明：
      • A的秩：
        • 满秩n，r(A*)=r(A)=n
        • 少一个即n-1，r(A*)=1
        • 少两个即以上，r(A*)=0
      • 证明抽象矩阵秩的思想方法：
        • 1.证明等式用夹逼
        • 2.证明不等式用方程组解的包含关系
      • 若r(A)=1,则A必可拆成一列向量与一行向量之积
        • 1.先选一列最简单的
        • 2.行是原矩阵为左列的几倍
    • 等价矩阵
      • A经过有限次的初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，记作A ≌ B
      • 同型矩阵A与B等价 ↔ r(A)=r(B)
  • 线性方程组解的存在性判断
    • 概念
    • 定理
    • 矩阵方程
      • 有解的充要条件和方程组一样，即
      • 矩阵方程AX=B的求解
• 第三章 向量
  • 向量的关系
    • 相关性
      • 线性相关
        • 指k1a1+k2a2+k3a3...+ksas=0,其中k1,k2...ks不全为零（向量可以形成闭环）
        • 向量组成的行列式=0，或含有0向量
        • 向量组成的矩阵Am*n，r(A)<向量个数
        • 向量个数大于维数，则他们必相关。（未知数个数大于方程数，则有自由变量，有无穷多解，且总有一个ki不等于0）
        • 向量组A，AX=0有非零解
        • 向量少的线性相关，多加一些向量还是相关
      • 线性无关
        • 指k1a1+k2a2+k3a3...+ksas=0,其中k1,k2...ks全为零(向量无法组成闭环）
        • 行列式≠0
        • 矩阵满秩r(A)=s，阶梯型向量组
        • 单个非零向量线性无关
        • 向量组A，AX=0只有零解
    • 等价向量组
      • 概念
        • 两个向量组可以互相线性表出，但两个向量组中的向量个数不一定相同
      • 性质
        • 等价向量组的必要条件：等价的向量组有相同的秩。 注：但秩相等的向量组不一定等价
    • 线性表出
      • 线性表示的等价形式
        • • =s变量个数时，表示法唯一
          • <s时，表示法无穷多种
        • • 相当于r(a1,a2...as)≠r(a1,a2,...,as,B)
      • 相关定理
        • 看到题目关于向量个数就想到这两定理
  • 极大线性无关组、秩
    • 注
      • 只有零向量构成的向量组没有极大线性无关组
      • 向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的
    • 向量组的秩
      • 定义
        • 极大线性无关组中所含向量的个数
      • 定理
        • r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）
        • 经初等变换向量组的秩不变
  • 施密特正交化、正交矩阵
    • SMT正交化
      • 定义
        • 指计算出两两正交的向量，并单位化（正交规范）
      • 算法
    • 正交矩阵
      • 概念
        • 正交矩阵行（列）向量都为正交的单位化向量，单位向量乘以自身等于1，乘以别的向量等于0
      • 充分条件
      • 性质
• 第四章 线性方程组
  • 性质
  • 求齐次方程组Am*nX=0的基础解系（求解向量的极大线性无关组）
    • tip:如果AX=0只有零解，则它没有基础解系，齐次方程组解有两种：1.仅有零解。 2.有无穷多种解。
  • 非齐次方程组AX=b的通解
    • 齐次通解+特解
    • 当计算齐次基础解系通解时，只有一个自由变量，则设为1
    • 非齐次方程的解只有三种情况：
      • 1.无解，r(A)≠r(Ab)
      • 2.只有唯一解，r(A)=r(Ab)=n
      • 3.无穷多解，r(A)=r(Ab)＜n
  • 其他：
    • 求秩相等或比大小，可构造齐次方程组，求解相等或解的包含关系
• 第五章 特征值与特征向量
  • 5.1特征值特征向量概念公式
    • Aα=λα
      • λ为A的特征值
        • （1）A的特征值为λ，则aA+bE的特征值为aλ+b
        • （2）
        • （3）
        • （4）
        • （5）
        • A为n阶矩阵，λi为A的特征值
          • A的主对角线元素的和（迹）=特征值的和
          • A的行列式的值等于所有特征值的乘积
      • α为A的特征向量
        • 特征向量必须是非零向量
        • 每个特征值对应的特征向量个数为n-r(λiE-A)，也是λiE-A零空间的基的个数
        • A，B有相同的特征值，但特征向量差了一个P逆
        • A的同一特征值对应的特征向量作线性组合依旧是A的特征向量（因为同一特征值对应的特征向量的线性组合相当于这个特征值对应的λiE-A的零空间中的一个向量，还是在A的零空间中，所以还是A的一个特征向量）
        • A的不同特征值对应的特征向量作线性组合不是A的特征向量且线性无关
        • 单特征值只有一个线性无关的特征向量，k重特征值λ至多有k个无关的特征向量，即n-r(λE-A）≤k，当A可相似对角化时，等号成立
        • 子主题
      • A为n阶方阵
        • A的每行元素之和均为k，则k为A的特征值，A的特征向量为（1,1,1，...,1)的转置
    • |λE-A|α=0
      • |λE-A|=f(λ)=(λ-a)(λ-b)(λ-c)称为特征多项式
      • |λE-A|=0称为特征方程
        • 求特征值
          • |λE-A|=(λ-a)(λ-b)(λ-c)=0求出特征值，且特征值的个数等于A的阶数
        • 求特征向量
          • 将每个特征值代入λiE-A的矩阵中，求出（λE-A）α=0的基础解系
          • 特征向量如果是α1，阐述为“属于特征值λ1=1的所有特征向量为k1α1，（k1≠0）
  • 5.2相似矩阵
    • 定义
    • 性质
      • 四等
      • 五相似
      • tip:A与B相似可以推出“四等五相似”，但反过来不行。
      • A~B，但带转置与其他性质线性组合都不会相似
    • 相似矩阵特殊情形：相似对角化
      • 定义
        • →AP=PΛ
      • P可逆是A的特征向量，Λ是A的特征值
      • A与Λ相似的充要条件
        • A有n个线性无关的特征向量↔A的每个特征值线性无关的特征向量的个数恰好是特征根的重数↔|λE-A|=0的每个ki重根λi,n-r(λiE-A)=ki
      • 充分条件
        • n阶A矩阵有n个不同的特征值→A就有n个不相关的特征向量（反过来不行，因为A~Λ,A的特征值里有重根）
      • A~Λ求可逆矩阵P的步骤
        • 找对角阵
        • 找P
    • 5.3向量的正交性
      • 向量的长度
        • 长度为1的向量称为单位向量
      • Schmidt正交化
        • β3可以用这个方法求得
        • 再将β1，β2，β3单位化
      • 正交矩阵
        • 正交矩阵其特征值只能是1或者-1
        • 5）
      • 实对称矩阵
        • A为实对称矩阵，求正交矩阵Q并将A对角化
          • λi=λj，将特征向量正交后还需单位化
          • 特征值与特征向量在表达时需一一对应
  • 特征值与特征向量的逆问题
    • 1.给特征向量：用定义处理
    • 2.有相似：用相似的必要条件
    • 3.A可相似对角化：用秩（重根无关向量个数与重数相同）
    • 4.给特征值：用特征多项式为0
• 第六章 二次型
  • 6.1 二次型的概念
    • 概念（A为实对称矩阵，对二次型的讨论就是对实对称矩阵A的讨论）
    • 合同
    • 正定矩阵
      • 概念
        • 若二次型f的值大于0，则其所对应的对称矩阵A为正定矩阵
      • 必要条件
      • 判定方法
        • 定义法
        • 特征值法
  • 6.2 二次型的标准型
    • 概念
      • 只有平方项，没有混合项
    • 方法
      • 配方法
        • 先配一个变量，再配另一个变量
      • 正交变换法
  • 6.3规范型
    • 概念
      • 平方项系数只是1，-1,0
  • 矩阵的等价、相似
    • AB等价
      • A可通过初等变换得到B，r(A)=r(B)
    • AB相似
      • 定义
      • 判断方法
        • (λE-A)等价于(λE-B),即r(λE-A)=r(λE-B)