导图社区 解析几何
这是一篇关于解析几何的思维导图，主要内容包括：曲线与方程，直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线，圆锥曲线。
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解析几何
曲线与方程
笛卡尔坐标系
点P的笛卡尔坐标是在已给的确定尺度下该点到两个相互垂直的坐标轴的符号距离.坐标轴的焦点O称为原点.水平坐标轴称为横轴，通常为x轴，垂直坐标轴称为纵轴，通常为y轴.
对于坐标x，y而言，方程F(x,y)=0常常对应于一条曲线，它具有如下性质：这条曲线上的每个点P的坐标满足该方程；坐标满足该方程的任何点都在这条曲线上.
这个方程叫做曲线的方程
这条曲线叫做方程的曲线
方程是曲线的代数形式曲线是方程的几何形式
直线
基本概念
倾斜角
定义
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角.
规定
当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0
取值范围
0£a<p
斜率
解题时常常需要分类讨论
用倾斜角定义
斜率与倾斜角并不是一一对应的关系
用直线上两点定义
方向向量
法向量
与直线垂直的向量
求解
将方向向量旋转90度可得
直线的方程
横线与竖线
与x轴平行或重合的直线
特别地，x轴的方程为y=0
与x轴垂直的直线
特别地，y轴的方程为x=0
点斜式
斜截式
截距
x轴上的截距
直线与x轴交点的横坐标
y轴上的截距
直线与y轴交点的纵坐标
两点式
截距式
一般式
点法式
参数方程
消去参数可得直线的一般式
直线与直线的关系
平行
一般认为两条直线不重合，考虑重合的话，充要条件不成立.
垂直
夹角
交点
无解
相交
有一个解
重合
有无数个解
距离
两点之间的距离
点到直线的距离
直线方程必须为一般式，若不是一般式，化为一般式之后再用距离公式.
两条平行直线间的距离
特别注意：两个直线方程中x，y的系数要相同
对称
点关于点对称
中点坐标公式
向量法
点关于线对称
转化为点关于点对称
垂直平分线法
相关点法
线关于点对称
平行线之间的距离
转化为点关于点的对称
线关于线对称
先求交点，判断l与m的位置关系
夹角公式
利用角平分线的性质
转化为点关于直线对称
圆
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
圆心：就是那个定点
半径：就是那个定长
圆的方程
圆的标准方程
圆心
半径
圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆的位置关系
代数
相离
相切
一解
两解
几何
切线
切线方程
过某点
点在圆外，有两条切线，若只求得一个斜率值，则另一条切线的斜率不存在.
利用圆心到直线的距离等于半径
联立解方程组，判别式等于0
在某点处
点在圆上，有一条切线.若方程无解，则切线的斜率不存在.
方法一
方法二
切线长
弦长
几何法
弦长公式
圆与圆的位置关系
相离或内含
无法判断是内切还是外切
公切线
公切线的数量
公切线的计算
过两圆交点的直线
计算
两圆的方程相减即可得
椭圆
焦点在x轴上
焦点在y轴上
椭圆的方程
椭圆的标准方程
椭圆的一般方程
已知椭圆上两点求椭圆方程常用一般式
椭圆的参数方程
常用于三角换元
椭圆的性质
范围
顶点
直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆的方程，根据交点个数判断直线与椭圆的位置关系.
点在椭圆上
点在椭圆外
两点之间的距离公式
焦点弦
过焦点的直线与椭圆相交而成的弦长
斜率不存在
斜率存在
双曲线
双曲线的方程
双曲线的标准方程
双曲线的一般方程
已知双曲线上两点求双曲线方程常用一般式
双曲线的性质
渐近线
直线与双曲线的位置关系
直线与渐近线平行或重合
直线与双曲线没有交点
直线与双曲线有一个交点，此时直线与双曲线相交
直线与渐近线不平行
联立直线与双曲线的方程，根据交点个数判断直线与双曲线的位置关系.
点在双曲线上
点在双曲线外
特别注意直线与渐近线不平行
抛物线
焦点到准线的距离为P
抛物线的方程
抛物线的性质
对称轴为x轴
对称轴为y轴
顶点为原点，离心率 e=1
直线与抛物线的位置关系
直线与对称轴平行
直线与抛物线相交，有一个交点
直线与对称轴不平行
联立直线与抛物线的方程，根据交点个数判断直线与抛物线的位置关系.
点在抛物线上
点在抛物线外
特别注意直线与对称轴不平行
圆锥曲线
统一定义
当e<1时，P的轨迹是椭圆
当e=1时，P的轨迹是抛物线
当e>1时，P的轨迹是双曲线
左焦点
右焦点
椭圆与双曲线就差一个负号
中点弦
直曲联立
点差法
规律与应用
易错点
椭圆的定义中，要求2a>2c. 若2a=2c，则轨迹为两焦点之间的线段；若2a<2c，则轨迹不存在.简单记为两边之和大于第三边.
（1）双曲线的定义中，要求2a<2c. 若2a=2c，则轨迹为两焦点向外的射线；若2a>2c，则轨迹不存在.简单记为两边之差小于第三边.
（2）双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点.
画错抛物线的图象，不能正确识别抛物线的开口方向.
直曲关系
（1）忽略斜率不存在时，直线与圆锥曲线之间的关系.
（2）直线与双曲线联立方程，忽略直线与渐近线不平行这一必要条件.
（3）直线与抛物线联立方程，忽略直线与对称轴不平行这一必要条件.
（4）在联立方程时，如果二次项系数带参数，需要讨论二次项系数是否为0.
当切点在曲线上时，可以直接写出切线方程，也可以利用点斜式设出直线方程，通过联立，判别式为0求出斜率.此时切线只有一条，若关于斜率的方程无解，则切线的斜率必定不存在，直接写出即可.
当切点不在曲线上时，通过点斜式设出直线方程，直曲联立，利用判别式为0解得斜率即可.此时一般切线有两条，如果只算出一个斜率，那么另一条切线的斜率必定不存在，可以直接写出.
易混点
（1）当抛物线的焦点在y轴上时，可以将抛物线的方程化做函数，利用函数的方法解决相关问题
（2）凡是曲线上一点与曲线的焦点发生关系，那么必然会用到曲线的定义
（3）椭圆中a,b,c之间的关系与双曲线中a,b,c之间的关系不同，容易混淆.
规律
对称性
设曲线方程为f(x,y)=0
当f(x,y)=f(-x,y)时，曲线关于y轴对称
当f(x,y)=f(x,-y)时，曲线关于x轴对称
当f(x,y)=f(-x,-y)时，曲线关于原点对称
当f(x,y)=f(y,x)时，曲线关于直线y=x对称
可以将这种判断方法迁移到函数，解决对称性和奇偶性的相关问题
一般方程
当m=n>0时，表示圆的方程
当m>0，n>0，且m¹n时，表示椭圆
当mn<0时，表示双曲线
m>0，n<0时，焦点在x轴上
m<0，n>0时，焦点在y轴上
共焦点
离心率相同
共渐近线
最值问题
曲线换成直线或者函数图象也是同样的解法
异侧求和
同侧求差
根据需要，可以通过曲线的定义或者对称性转化问题
基本不等式法
函数法
三角换元
消元法
轨迹问题
本质
求轨迹是求曲线的形状和性质，求轨迹方程是求x与y之间的代数关系式.
求点P(x,y)的轨迹方程就是求坐标x和y之间的某种代数关系.
直接法
直接利用已知条件进行列式、化简即可
定义法
将问题转化为椭圆、双曲线和抛物线的定义，直接给出轨迹方程
根据已知条件，寻找轨迹点与已知条件之间的关系，要充分利用几何知识.
参数法
引入某个关键量作为参数，根据已知条件，将点P的坐标x和y表示成参数的式子，消参即可得轨迹方程.
