一元二次函数、方程和不等式

一元二次函数、方程和不等式基本知识点梳理，包括等式性质与不等式性质、基本不等式的证明、二次函数与一元二次方程、不等式等内容。

第二章 一元二次函数、方程和不等式

• 等式性质与不等式性质
  • 不等关系与不等式
    • 不等式的定义
      • 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式
      • • 不等号：＞，＜，≥，≤，≠
        • “a≠b”应包含“a＞b”或“a＜b”
        • 不等式举例
          • f(x)＞g(x),f(x)≥g(x)
      • • 严格不等式
          • 用“＞”“＜”连接的不等式叫做严格不等式
        • 非严格不等式
          • 用“≥”“≤”连接的不等式叫做非严格不等式
    • • 将实际的不等关系转换成对应的不等式，要注意关键的文字语言与对应的数学符号之间的正确转化
  • 实数的大小比较
    • 特征
      • 任意实数的平方不小于 0
        • 
      • 任意两个实数都可以比较大小
        • 反之，可以比较大小的两个数一定是实数
    • 依据
      • 在数轴上不同的点 A 和点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大
      • 图
        • a＞b
          • 
        • a=b
          • 
        • a＜b
          • 
    • 基本事实
      • 如果 a-b 是正数，那么 a＞b
      • 如果 a-b 是负数，那么 a＜b
      • 如果 a-b 等于零，那么a=b
      • 符号表示
        • 
        • 
        • 
    • 方法
      • 作差法
        • 步骤
          • 作差
          • 变形
            • 常采用因式分解（将“差” 化成“积”）或配方（将“差”化为常数与几个平方和的形式）等恒等变形手段
          • 定号，下结论
            • 把两个实数大小的问题转化为判断差值符号的问题
            • • 确定结果与0的关系
          • • “定号”是目的，“变形”是关键
      • 作商法
        • 作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性
        • • a＞0,b＞0
  • 等式的基本性质
    • ①
      • 如果a=b，那么b=a
    • ②
      • 如果a=b，b=c，那么a=c
    • ③
      • 如果a=b，那么a±c=b±c
    • ④
      • 如果a=b，那么ac=bc
    • ⑤
      • 如果a=b，c≠0，那么
      • • 隐含着c≠0
  • 不等式的基本性质
    • ①对称性
      • 
    • ②传递性
      • 若 a＞b ， b＞c，则 a＞c
    • ③可加性
      • 
      • • 移项法则
          • 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边
        • 若 a＞b， c＞d，则 a+c＞b+d
    • ④可乘性
      • 若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc
      • 若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc
      • • 若 a＞b＞0 且 c＞d＞0，则 ac＞bd
        • 
        • 
  • 不等式性质的应用
    • 判断不等式是否成立的方法
      • 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明
      • 在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质进行判断
    • 求代数式的取值范围
      • 一般利用整体思想，通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”
• 基本不等式
  • 基本不等式
    • • • 正数a,b的算术平均数
      • • 正数a,b的几何平均数
      • 也叫作“均值不等式”
    • 重要不等式
      • ∀a,b∈R，有a²+b²≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立
    • • 既要记住基本形式，还要熟练掌握变形后的形式。因为所有的数学公式都只表示了若干个量之间的本质联系，而不能固定于某个特殊的形式
      • 当且仅当 a=b 时，取“=”号是指
        • 一方面是当 a=b时，取“=”
        • 另一方面，取“=”时，必有 a=b
      • a 和 b 代表的是实数，它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式
    • 表明
      • 两个正数的算术平均数大于等于（不小于）它们的几何平均数
  • 基本不等式的证明
    • 作差法
    • 几何证法
      • 
      • • 几何意义
          • 圆的半径不小于（大于等于）园内半弦长
  • 推广
    • 
    • • 
      • 
      • 
    • • 
  • 基本不等式的变形
    • 基本不等式链
      • 
      • 调和平均数≤几何平均≤算术平均≤平方平均
    • • 
      • 注意不等式适用的条件
  • 最值定理
    • 已知x,y都是正数
      • 
      • 
      • 即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值
    • • 积定和最小，和定积最大
      • 利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件
        • ①各项均为正数
          • 一正
        • ②其和或积为常数
          • 二定
        • ③必须验证取等号时条件是否具备
          • 三相等
• 二次函数与一元二次方程、不等式
  • 一元二次不等式及其解法
    • 定义
      • 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
      • • “只含有一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确地指出这些字母所代表的量，哪一个是变量，是“未知数”，哪一些是“参数”就可以
        • “次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制
      • 一般形式
        • ax²+bx+c＞0或ax²+bx+c＜0
          • a,b,c均为常数，a≠0
    • 解集
      • 满足一元二次不等式ax²+bx+c＞0或ax²+bx+c＜0的实数x组成的集合叫一元二次不等式ax²+bx+c＞0或ax²+bx+c＜0的解集（a≠0）
    • 解法步骤
      • ①将不等式化为右边为0，左边为二次项系数大于0的不等式
      • ②求出相应的一元二次方程的根
      • ③利用二次函数图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集
      • • 
        • 
    • 含参数的一元二次不等式的解法
      • 1.讨论二次项系数a与0的关系
        • a＞0
        • a=0
        • a＜0
      • 2.当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论△与0的大小关系
      • 3.确定无根时可以直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系
  • 二次函数与一元二次方程、不等式的解之间的关系
    • 零点
      • 一般地，对于二次函数y=ax²+bx+c，我们把使ax²+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax²+bx+c的零点
    • • 根据△与0的关系，判断二次函数图像与x轴的位置关系，及一元二次方程根的情况，进而确定不等式解集
  • 解分式不等式的基本思路
    • 转化为整式不等式求解
    • 分式不等式
      • 
    • 解法
      • 
  • 一元二次不等式恒成立问题
    • 在R上的恒成立问题
      • 不等式ax²+bx+c＞0的解集是全体实数（或恒成立）
        • 
          • 当a=0时，b=0,且c＞0
          • 当a≠0时，a＞0且△＜0
      • ax²+bx+c＜0的解集是全体实数（或恒成立）
        • 
          • 当a=0时，b=0,且c＜0
          • 当a≠0时，a＜0且△＜0
    • 在给定区间上的恒成立问题 （设f(x)=ax²+bx+c）
      • a＞0时，f(x)＜0在α≤x≤β时恒成立
        • 
          • f(α)＜0，且f(β)＜0
      • a＜0时，f(x)＞0在α≤x≤β时恒成立
        • 
          • f(α)＞0，且f(β)＞0
      • f(x)＞0在在α≤x≤β时恒成立
        • 
          • 其中A是f(x)＞0的解集
  • 绝对值不等式的解法
    • 基本性质法
    • 平方法
      • 两边平方去掉绝对值符号
    • 零点分区间法
      • 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
    • 几何法
      • 利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解
    • 数形结合法
      • 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解