数学建模——博弈论笔记

这里面包含完美信息下的序列博弈、扩展式博弈、策略式博弈、不完美信息下的序列博弈、策略式博弈求解等等。

博弈论

• 扩展式博弈
  • 一种博弈问题的常用描述方式
  • 例子
    • 绑架博弈、伽利略与宗教法庭、与汽车经销商的讨价还价
  • 完美信息
    • 所有的信息集都只有一个节点
    • 当参与者作出决定时，知道博弈的所有情况
  • 不完美信息
    • 至少有一个或多个信息集包含多个决策节点
    • 参与者做决定时不知道自己处于哪一阶段状况
• 策略式博弈
  • 三要素
    • 参与者集
    • 参与者的策略集
    • 参与者的收益函数
  • 例子
• 博弈描述方式
• 策略式博弈求解
  • 策略
    • 严格劣势策略
      • 无论其他参与者的策略是什么，若策略S'的收益严格低于策略S"的收益，则策略S'严格劣于策略S"
    • 占优策略
      • 一个策略严格优于其他策略，则称占优策略
    • 弱劣策略
    • 弱占优策略
      • 若（1）无论其他参与者的策略是什么，S'策略的收益至少等于S"的收益；（2）对于其他参与者的一些策略，S'策略的收益大于S"策略的收益，则S'弱占优于S"策略
  • 重复剔除严格劣势策略准则（IDSDS）
    • 例子
• 稳定博弈
  • 两人或三人非连续博弈中的纳什均衡
    • 纳什均衡
      • 定义组成
        • 1.参与者是理性的。
          • 自己收益最大化
        • 2.信念是正确的。
          • 对其他参与者的行为作出准确预测
      • 若每个参与者根据对其他参与者策略的信念，采用最大化自身收益的策略，则这样一个策略组合是纳什均衡。
    • 最优反应法 （多重纳什均衡求解）
      • 对于其他参与者的每个策略集合，一个参与者的最优反应是使她收益最大化的一个策略。
      • 例子
        • （b,x）和（a,y）都是纳什均衡
  • N人非连续博弈中的纳什均衡
    • 对称博弈
      • 所有参与者除了有相同的选择之外，且有相同的收益
      • 能否产生对称均衡由收益函数是否具有倾向效应和挤出效应决定
      • 例子
        • 星肚史尼奇、航空安全、实习申请博弈
    • 非对称博弈
      • 例子
        • 市场进入博弈、国内动乱
    • 多重纳什均衡的解 （两个选择准则）
      • 非劣纳什均衡
        • 优先选择
        • 参与者不选择弱劣的纳什均衡
      • 收益占优纳什均衡/帕累托标准
        • 收益占优：其他策略组合中不存在每个参与者有一个严格更高的策略
        • 基于集体理性→最有利于每一个人
  • 连续博弈中的纳什均衡
    • 不用微积分求解纳什均衡
      • 例子：相同产品的价格竞争、价格一致承诺化解价格竞争、竞选总统
    • 使用微积分求解纳什均衡
      • 例子：差别化产品的价格竞争（戴尔和惠普）、猛犸象捕杀、配额资助对慈善资助的影响力
• 随机版本的博弈
  • 混合策略
    • +随机参与的概率
    • 总存在纳什均衡
  • 经典
    • 1.参与者想要按对方没有预料的方式作出行动
      • 让自己无法预测
      • 例子：点球、警车巡逻与毒贩交易、战争防线
    • 2.挤出效应的对称博弈论
      • 旁观者效应（多少人提供帮助的概率）
  • 极大极小策略
    • 即用来使参与者达到最优状态的策略，即会设想到其他参与者会通过选择策略来使参与者的收益最小
    • 对于任何纯冲突的两个参与者而言，极大极小策略即纳什均衡
    • 例子：福尔摩斯与莫瑞特
• 演化博弈与生物学
  • 演化稳定策略
    • 使群体对任何一次小的冲击都能保持稳定状态
    • 严格纳什均衡（多总体模型）
    • 例子：鹰鸽博弈、屎壳郎、侧边斑点蜥蜴
  • 复制者动态模型
    • 静止点
    • 吸引子
• 非固定居所机构的互动博弈
  • 世代交替模型
    • 对行为的反馈来自未来
    • 例子：部落防御
  • 人存于世模型 （多人合作模型）
    • 对行为的反馈来自其他人 （交换信息）
    • 例子：eBay交易平台
• 非固定居所参与者的重复互动博弈
  • 重复博弈
    • 堑壕战：有限次视野
    • 堑壕战：无限次视野
  • 冷酷策略
    • 任何违背游戏规则的行为都会招致惩罚，即双方在未来阶段都会被击中
    • 例子：针对重复囚徒困境的实验证据
  • 动态规划
  • 应用
    • 名誉
    • 例子：吸血蝙蝠和互利主义、国王的债权人、福特公司和日工资5美元的规定
• 廉价谈话博弈
  • 一个零成本的行动称为消息。以消息为载体的博弈称为廉价谈话博弈。
  • 例子：防御性医疗、股票购买建议
  • 前博弈沟通
• 信号传递博弈
  • 精炼贝叶斯纳什均衡
    • 序贯理性
      • 参与者会基于其他参与者行动的信念制定一个最佳行动
    • 一致信念
      • 接收者的后验信念与发送者最大化自身利益的行动一致
  • 行动
    • 分离均衡
      • 观察到的行动可以判断发送者的类型
    • 半分离均衡
      • 对所属类型透露出一点信息
    • 混同均衡
      • 行动不透露实情
  • 例子：次品与二手车市场、恋爱、边缘政策博弈
• 不完全信息博弈
  • 转换为不完美信息博弈 ——自然赋予XX属于某种类型的概率
    • 自然
    • 类型
  • 贝叶斯博弈
    • 期望收益
    • 贝叶斯纳什均衡
  • 例子：拍卖博弈（参与者拥有私人信息）、委员会与评审团的投票 类型为连续体时的一级密封价格拍卖博弈（微积分）
• 不完美信息下的序列博弈
  • 子博弈精炼纳什均衡
    • 如果策略组合的每个子博弈的子策略组合都是一个纳什均衡，那么这个策略组合就是一个子博弈精炼纳什均衡
  • 承诺
    • 限制未来的行为
    • 益处：来源于他人了解到你以某种方式限制自己的行为后作出的回应
• 完美信息下的序列博弈
  • 子博弈精炼纳什均衡
    • 思想：将既定的参与者的最佳行动扩展到所有偶然事件中（不仅仅是那些在均衡博弈中发生的事件）
    • 对于完全信息博弈而言，在每一个决策节点处，源于这一策略的行动能使参与者的收益最大化，那么这个策略就是~。
  • 逆向归纳法
    • 步骤
      • 1.为每一个最后的决策节点找到最佳行动
      • 2.在每个这样的决策节点，用有相应收益的抉择点取代树状图的一部分，设想出一个最佳博弈
      • 3.重复前两个步骤直到最初决策节点
    • 例子
      • 古巴导弹危机、种族歧视与运动队……
      • 等待博弈
        • 抢先博弈
          • 排队博弈例子
        • 消耗战