二次函数

九年级下册数学二次函数的相关知识点，包括二次函数的定义、平移、图像和性质、表达式、二次函数与一元二次方程、实际问题等。

二次函数

• 定义
  • 二次函数
    • 形如y=ax²+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的函数
      • ax²是二次项（a是二次项系数）
      • bx是一次项（b是一次项系数）
      • c是常数项
  • 抛物线
    • 二次函数的图像都是抛物线
• 平移
  • 上加下减看k，左加右减看h
• 图像和性质
  • y=ax²
    • 图像
      • 从二次函数y=ax²的图像可以看出： 如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时,y随x的增大而增大; 如果a＜0时，当x＜0时，y随x的增大而增大,当x＞0时，y随x的增大而减小。
    • 性质
      • 一般的，抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点。 当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点; 当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 对于抛物线y=ax²,｜a｜越大，抛物线的开口越小。
  • y=a(x-h)²+k
  • y=ax²+bx+c
• 实际问题
  • 求图形面积
    • 一般步骤
      • 1.分清题目中的数量关系，找出其自变量和函数关系。
      • 2.根据题目中的自变量和函数关系，列出二次函数的解析式。
      • 3.根据条件以及实际意义，列不等式组求出自变量的取值范围和函数的最大值或最小值。
      • 4.所求结果必须检验，将不符合题意的值舍去。
    • 求二次函数最大值或最小值的常用方法
      • 配方法
        • 根据a以及图像增减性确定最值为顶点值或端点值。
      • 公式法
        • 根据公式求出顶点坐标，由a确定函数开口方向，由图像或增减性确定最值为顶点值或端点值。
  • 求最大利润问题（一般步骤）
    • 1.建立利润与价格之间的函数关系式。
    • 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围。
    • 3.在自变量的取值范围内，确定最大利润。
  • 抛物线形实际问题（一般步骤）
    • 1.根据提题意建立适当的直角坐标系。 （需确定顶点，x轴，y轴三个条件里的两个条件。）
    • 2.把已知条件转化为点的坐标。
    • 3.合理设出函数解析式。
    • 4.利用待定系数法，求出函数解析式。
    • 5.根据求得的解析式进一步分析判断，并进行有关的计算。
• 二次函数与一元二次方程
  • 如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x₀,那么x=x₀,函数值是0，因此x=x₀是方程y=ax²+bx+c的一个根。
  • 函数图像与x轴的位置关系
    • 没有交点⇆方程无实数根⇆△＜0
    • 有一个交点⇆方程有两个相等的实数根⇆△=0
    • 有两个交点⇆方程有两个不相等的实数根⇆△＞0
  • 抛物线与x轴两交点的距离
    • ｜x₁-x₂｜=｜(√△)/a｜
• 表达式
  • 一般式
    • y=ax²+bx+c
      • 已知函数图像上三点
  • 顶点式
    • y=a(x-h)²+k
      • 已知二次函数的顶点坐标或最值
  • 交点式
    • y=a(x-x₁)(x-x₂)
      • 已知函数图像与x轴的两个交点
• 一般式化成顶点式的方法
  • （1）提：提出二次项系数
  • （2）配：括号内配成完全平方式（一加一减）
  • （3）化：化成顶点式